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2012-2013学年广东省深圳市宝安区高二(下)期末数学试卷(文科)


2012-2013 学年广东省深圳市宝安区高二(下)期末数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 2 1. (5 分)不等式 x<x 的解集是( ) A.(0,1) B.(﹣∞,0)∪ (1,+∞)C.[1,+∞) D.[0,1] 2. (5 分)sin15°?cos15°=( ) A .1 B.﹣1

C.

D.﹣2

3. (5 分)函数 f(x)=ln(x ﹣1)的单调增区间是( A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞)

2

) C.(1,+∞)

D.(﹣∞,﹣1)

4. (5 分)已知函数 A.±2 B.0,2

,则使得 f(x)=1 成立的所有 x 的值为 C.0,﹣2
2 2 2





D.0,±2 )

5. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 a +c ﹣ac=b ,则角 B 的大小为( A. B. C. D.

6. (5 分)等差数列{an}中,记 Sn=a1+a2+…+an,若 S9=72,则 a2+a4+a9=( A.14 B.12 C.24 7. (5 分)若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是( ) A .6 B.2 C .3
a b

) D.16

D.4 )

8. (5 分)设函数 y=g(x)为奇函数,f(x)=2+g(x)的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=( A.﹣6 B.﹣2 C .3 D.4
2 2

9. (5 分)圆 C 与圆(x+2) +(y﹣1) =1 关于直线 y=x+2 对称,则圆 C 的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 A.(x+1) +y =1 B.(x﹣1) +y =1 C.(x+1) +y =2 D.(x+3)2+y2=1 10. (5 分)若实数 x,y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的取值范围是 ( A. B. C.
2 2

) D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11. (5 分)已知一组命题:p:3>4,q:3<4,利用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还是假命题 _________ (填“真”或者“假”)

12. (5 分)已知数列{an}中 a1=1 且

(n∈N) ,an= _________ .

13. (5 分)若关于 x 的不等式 mx ﹣mx+m﹣1>0 的解集为?,则实数 m 的取值范围是 _________ . 14. (5 分)投资生产 A 产品时,每生产 100t 需要资金 200 万元,需场地 200m ,可以获利润 300 万元;投资生产 2 B 产品时, 每生产 100m 需要资金 300 万元,需场地 100m ,可以获利润 200 万元.现单位可以使用资金 1400 万元, 2 场地 900m , 请你用你所掌握的数学知识进行投资组合, 使得单位获得最大利润, 可能获得的最大利润为 _________ 万元. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知椭圆 C 的方程为 (1)求 k 的取值范围; (2)若椭圆 C 的离心率 ,求 k 的值. .
2

2

16. (12 分)已知函数 (1)求使 f(x)<0 的 x 的集合. (2)若 m<f(x)对 x>0 的所有实数恒成立,求 m 的取值范围.

17. (14 分) (2013?中山模拟)设 F1,F2 分别是椭圆 C:

的左右焦点,

(1)设椭圆 C 上的点

到 F1,F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM,PN 的斜率都存在, 并记为 kPM,KPN 试探究 kPM?KPN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,并证明你的结论. 18. (14 分) (1)研究函数 f(x)=lnx﹣x 的单调区间与极值. (2)试探究 f(x)=lnx﹣ax(a∈R)单调性. 19. (14 分) (2013?香洲区模拟) 在锐角△ ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C, 所对的边, 且满足 (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 a+c=5,且 a>c,b= ,求 的值. .

20. (14 分) (2007?上海模拟) 设数列{an}是首项为 0 的递增数列, (n∈N) , an+1]满足:对于任意的 b∈[0,1) ,fn(x)=b 总有两个不同的根. (1)试写出 y=f1(x) ,并求出 a2; (2)求 an+1﹣an,并求出{an}的通项公式; n﹣1 (3)设 Sn=a1﹣a2+a3﹣a4+…+(﹣1) an,求 Sn.

, x∈[an,

2012-2013 学年广东省深圳市宝安区高二(下)期 末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. (5 分)不等式 x<x 的解集是( ) A.(0,1) B.(﹣∞,0)∪ (1,+∞)C.[1,+∞) 考点: 专题: 分析: 解答: 一元二次不等式的解法. 不等式的解法及应用. 化简表达式可得 x(x﹣1)>0,由二次方程和二次表达式的关系可得答案.
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2

D.[0,1]

解:原不等式 x<x 可化为:x ﹣x>0, 分解因式可得 x(x﹣1)>0, 解得 x<0 或 x>1, 故选 B 点评: 本题考查一元二次表达式的解法,求得对应一元二次方程的根是解决问题的关键,属基础题. 2. (5 分)sin15°?cos15°=( ) A .1 B.﹣1

2

2

C.

D.﹣2

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题. 分析: 直接利用二倍角公式化简表达式,求出值即可. 解答: 解:因为 sin15°?cos15°= sin30°= = .
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故选 C. 点评: 本题是基础题,考查二倍角公式的应用,考查计算能力. 3. (5 分)函数 f(x)=ln(x ﹣1)的单调增区间是( A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞)
2

) C.(1,+∞)

D.(﹣∞,﹣1)

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 t=x2﹣1,则 y=lnt,求出函数 f(x)的定义域,然后研究函数 t=x2﹣1,y=lnt 的单调性,根据复合函数单 调性的判断方法即可求得增区间. 解答: 解:设 t=x2﹣1,则 y=lnt, 2 由 x ﹣1>0,得 x<﹣1 或 x>1, 所以函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪ (1,+∞) , 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,t 是 x 的减函数,y 是 t 的增函数, 当 x∈(1,+∞)时,t 是 x 的增函数,y 是 t 的增函数, 故 f(x)的增区间为(1,+∞) , 故选 C. 点评: 本题考查复合函数单调性的判断,属中档题,先把原函数分解为基本初等函数,然后根据复合函数的判定
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方法:“同增异减”即可判断,注意在函数定义域内求解.

4. (5 分)已知函数 A.±2 考点: 专题: 分析: 解答: B.0,2

,则使得 f(x)=1 成立的所有 x 的值为 C.0,﹣2 D.0,±2





函数的零点. 函数的性质及应用. 利用分段函数在不同区间上的解析式不同即可求出 x 的所有值.
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解:① 当 x>0 时,由 e =1,得 x﹣2=0,解得 x=2; ② 当 x≤0 时,由|x+1|=1,得 x+1=±1,解得 x=0 或﹣2. 综上可知:x=﹣2 或 0 或 2. 故选 D. 点评: 正确理解分段函数的意义是解题的关键. 5. (5 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,若 a +c ﹣ac=b ,则角 B 的大小为( A. B. C. D.
2 2 2

x﹣2



考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由三角形的三边 a,b 及 c,利用余弦定理表示出 cosB,把已知的等式变形后代入即可求出 cosB 的值,根 据 B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出角 B 的度数. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:由已知可得 b =a +c ﹣ac,得到 a +c ﹣b =ac,
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所以根据余弦定理得:cosB= ∵ B∈(0,π) , 则∠ B= .

= ,

故选 D. 点评: 此题考查了余弦定理及特殊角的三角函数值.做题时注意整体代入思想的运用,牢记特殊角的三角函数值. 6. (5 分)等差数列{an}中,记 Sn=a1+a2+…+an,若 S9=72,则 a2+a4+a9=( A.14 B.12 C.24 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由条件可得 ) D.16

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=9a5,故有 a5=8,故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5,代入可得答案.

解答: 解:∵ 等差数列{an}前 n 项和为 Sn,设公差为 d, ∴ S9=72= = =9a5,∴ a5=8.

故 a2+a4+a9=3a1+12d=3a5=24, 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的定义和性质,等差数列的通项公式,前 n 项和公式的应用,属基础题.

7. (5 分)若实数 a,b 满足 a+b=2,则 3 +3 的最小值是( ) A .6 B.2 C .3 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. a b 分析: 根据 a+b=2,利用基本不等式求得 3 +3 的最小值. 解答: a b 解:由于实数 a,b 满足 a+b=2,则 3 +3 =≥2
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a

b

D.4

=2

=6,

当且仅当 a=b=1 时,等号成立, 故选 A. 点评: 本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式使用条件和等号成立条件,属于基础题. 8. (5 分)设函数 y=g(x)为奇函数,f(x)=2+g(x)的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=( A.﹣6 B.﹣2 C .3 D.4 )

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 g(x)的最大最小值分别为 M﹣2,m﹣2,由奇函数的性质可得(M﹣2)+(m﹣2)=0,变形 可得答案. 解答: 解:∵ 函数 y=g(x)为奇函数,∴ g(﹣x)=﹣g(x) , 又 f(x)=2+g(x)的最大值为 M,最小值为 m, 所以 g(x)的最大最小值分别为 M﹣2,m﹣2, 由奇数的性质可得(M﹣2)+(m﹣2)=0, 解得 M+m=4 故选 D 点评: 本题考查函数的奇偶性,涉及函数的最值问题,属基础题.
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9. (5 分)圆 C 与圆(x+2) +(y﹣1) =1 关于直线 y=x+2 对称,则圆 C 的方程是( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A.(x+1) +y =1 B.(x﹣1) +y =1 C.(x+1) +y =2 D.(x+3) +y =1 考点: 关于点、直线对称的圆的方程. 专题: 直线与圆. 分析: 设出对称圆的圆心(a,b) ,由
2 2

2

2

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以及

,求得 a、b 的值,即可求得圆 C 的方程.

解答: 解:设圆(x+2) +(y﹣1) =1 的圆心 C(﹣2,1)关于直线 y=x+2 对称点为 C(a,b) , 由 以及 ,求得 a=﹣1,b=0.
2 2

再由这两个圆的半径相等,得圆 C 的方程是 (x+1) +y =1, 故选 A. 点评: 本题主要考查求一个圆关于一条直线的对称的圆的方程的方法,关键是求出对称圆的圆心坐标,属于中档 题. 10. (5 分)若实数 x,y 满足 x +y +xy=1,则 x+y 的取值范围是 ( A. B. C.
2 2

) D.

考点: 两角和与差的正弦函数;圆的参数方程. 专题: 计算题.

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分析: 由 x +y +xy=1?xy=(x+y) ﹣1,令 x+y=t,利用不等式的性质即可求得 t 的范围. 2 2 2 解答: 解:∵ x +y +xy=1?xy=(x+y) ﹣1, 又∵ xy≤ ,

2

2

2

∴ (x+y) ﹣1≤ 则 4t ﹣4≤t , ∴ ﹣ ≤t≤ ,即﹣
2 2

2

,令 x+y=t,

≤x+y≤ , ].



∴ x+y 的取值范围是[﹣ 故选 A. 点评: 本题考查不等式,利用 xy≤

是转化的关键,属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 11. (5 分)已知一组命题:p:3>4,q:3<4,利用逻辑连接词“或”构造的新命题是真命题还是假命题 “真”或者“假”) 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的真假判断与应用. 阅读型. 利用复合命题的判定规律,P、q 至少有一个是真命题,则 p 或 q 为真命题,来判定即可. 解:∵ P 假,q 真,∴ PⅤ q 为真命题. 故答案是真 点评: 本题考查复合命题的真假判定规律.
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真 (填

12. (5 分)已知数列{an}中 a1=1 且

(n∈N) ,an=



考点: 专题: 分析: 解答:

数列递推式. 计算题. 本题考查数列的概念,由递推数列求数列的通项公式,适当的变形是完整解答本题的关键. 解:根据题意,an+1an=an﹣an+1,
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两边同除以 anan+1,得 于是有: ,

, ,…, ,

上述 n﹣1 个等式累加, 可得 又 a1=1,得 所以 , ; ,

故答案为 . 点评: 解答本题用到的累加法是求数列通项公式以及数列前 n 项和的重要方法 13. (5 分)若关于 x 的不等式 mx ﹣mx+m﹣1>0 的解集为?,则实数 m 的取值范围是 m≤0 . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 因为二次项系数含有字母 m,所以分 m=0 和 m≠0 两种情况讨论,当 m=0 时明显看出对于任意实数 x 不等 式不成立,当 m≠0 时,借助于不等式对应的二次函数的图象的开口方向和与 x 轴有无交点列式求解. 解答: 解:当 m=0 时,原不等式的解集显然是空集;
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2

当 m≠0 时,要使关于 x 的不等式 mx ﹣mx+m﹣1>0 的解集为?, 则
2

2

,解得 m<0.

所以,使关于 x 的不等式 mx ﹣mx+m﹣1>0 的解集为?的实数 m 的取值范围是 m≤0. 故答案为 m≤0. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,考查了分类讨论的数学思想方法,训练了“三个二次”间的关系,是基础 题,也是易错题. 14. (5 分)投资生产 A 产品时,每生产 100t 需要资金 200 万元,需场地 200m ,可以获利润 300 万元;投资生产 2 B 产品时, 每生产 100m 需要资金 300 万元,需场地 100m ,可以获利润 200 万元.现单位可以使用资金 1400 万元, 2 场地 900m , 请你用你所掌握的数学知识进行投资组合, 使得单位获得最大利润, 可能获得的最大利润为 1475 万 元. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米,利润为 S 百万元,先分析题意,找出相关量之间的不等关系, 即 x,y 满足的约束条件,由约束条件画出可行域;要求应作怎样的组合投资,可使获利最大,即求可行域 中的最优解,在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解,即将目标函数看成是一条直线,分 析目标函数 Z 与直线截距的关系,进而求出最优解. 解答: 解:设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 百米,利润为 S 百万元,
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2

则约束条件为:



目标函数为 S=3x+2y, 作出可行域, 使目标函数为 S=3x+2y 取最大值的(x,y)是直线 2x+3y=14 与 2x+y=9 的交点(3.25,2.5) , 此时 S=3×3.25+2×2.5=14.75 百万元=1475 万元. 故答案为:1475.

点评: 在解决线性规划的应用题时,其步骤为:① 分析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件?② 由约 束条件画出可行域?③ 分析目标函数 Z 与直线截距之间的关系?④ 使用平移直线法求出最优解?⑤ 还原到现实 问题中. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知椭圆 C 的方程为 (1)求 k 的取值范围; (2)若椭圆 C 的离心率 ,求 k 的值. .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据题意,方程
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表示椭圆,则 x ,y 项的系数均为正数且不相等列出不等关系,解可

2

2

得答案. (2)先根据题意利用 k 表示出 a,b,进而根据离心率列出关于 k 的方程,则 k 的值可得. 解答: 解: (1)∵ 方程 表示椭圆,





解得 k∈(1,5)∪ (5,9) (2)① 当 9﹣k>k﹣1 时,依题意可知 a= ∴ c= ∵= ∴ ∴ k=2; ,b=

② 当 9﹣k<k﹣1 时,依题意可知 b= ∴ c= ∵= ∴

,a=

∴ k=8; ∴ k 的值为 2 或 8. 点评: 本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质,注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同,考 查运算能力,属基础题.

16. (12 分)已知函数 (1)求使 f(x)<0 的 x 的集合. (2)若 m<f(x)对 x>0 的所有实数恒成立,求 m 的取值范围. 考点: 其他不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)= <0 即可求得使 f(x)<0 的 x 的集合;
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(2)依题意,当 x>0 时,求得 m<f(x)min 即可. 解答: 解: (1)∵ f(x)= <0,

∴ x<﹣2 或﹣1<x<0, ∴ 使 f(x)<0 的 x 的集合为{x|x<﹣2 或﹣1<x<0}; (2)∵ x>0,m<f(x)恒成立, ∴ m<f(x)min. 又当 x>0 时,f(x)= =x+ +3≥2 +3(当且仅当 x= ,即 x= 时取“=”) .

∴ 当 x>0 时,f(x)min=3+2 . ∴ m<3+2 . 点评: 本题考查分式不等式的解法,考查函数恒成立问题,考查基本不等式的应用,属于中档题.

17. (14 分) (2013?中山模拟)设 F1,F2 分别是椭圆 C:

的左右焦点,

(1)设椭圆 C 上的点

到 F1,F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标

(2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M,N 两点,当直线 PM,PN 的斜率都存在, 并记为 kPM,KPN 试探究 kPM?KPN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,并证明你的结论. 考点: 椭圆的标准方程;轨迹方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1) 根据椭圆 C 上的点 到 F1, F2 两点距离之和等于 4, 可知 2a=4, 求得 a. 把点
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和 a 代入椭圆的标准方程,可求得 b.进而可得椭圆的标准方程和焦点坐标.

(2)设 KF1 的中点为 B(x,y)则点 K(2x+1,2y) ,把 K 的坐标代入椭圆的标准方程,可得到 x 和 y 的 关系式即点 B 的轨迹方程 (3) 设M (x0, y0) , N (﹣x0, ﹣y0) , p (x, y) 把这些点代入椭圆的标准方程, 得到

后两式相减可得到 解答: 解: (1)由于点 2a=4, 椭圆 C 的方程为

的值,然后表示出 kPM,KPN 后相乘并将

的值代入可得到结论.

在椭圆上,

焦点坐标分别为(﹣1,0) , (1,0) (2)设 KF1 的中点为 B(x,y)则点 K(2x+1,2y) 把 K 的坐标代入椭圆 中得

线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 (3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 设 M(x0,y0)N(﹣x0,﹣y0) ,p(x,y) M,N,P 在椭圆上,应满足椭圆方程, 得

kPM?KPN=

=﹣

kPM?KPN 的值与点 P 及直线 L 无关 点评: 本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合问题.椭圆在圆锥曲线中所占比重最大,考查的也最多, 要强化复习. 18. (14 分) (1)研究函数 f(x)=lnx﹣x 的单调区间与极值. (2)试探究 f(x)=lnx﹣ax(a∈R)单调性. 考点: 分段函数的应用;函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数的定义域,求出函数 f(x)的导函数,在定义域下令导函数大于 0 得到函数的递增区间, 令导函数小于 0 得到函数的递减区间. (2)首先求出函数的导数,然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间.
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解答:

解: (1)f′ (x)= ﹣1=



令 f′ (x)<0 得 x>1 令 f′ (x)>0 得 0<x<1 所以函数 f(x)=lnx﹣x 的单调减区间是(1,+∞) ,单调递增区间是(0,1) . ∴ f(x)在 x=1 处取得极大值﹣1,无极大值. (2)f′ (x)= ﹣a…(2 分) (Ⅰ )∵ x>0,所以当 a≤0 时,f′ (x)= ﹣a>0,f(x)在(0,+∞)是增函数…(4 分) 当 a>0 时,f(x)在(0, )上 f′ (x)= ﹣a>0,f(x)在( ,+∞)上 f′ (x)= ﹣a<0, 故 f(x)在(0, )上是增函数,f(x)在( ,+∞)上是减函数. 点评: 本题主要考查导数与函数单调性的关系,会熟练运用导数解决函数的极值与最值问题.求函数的单调区间, 应该先求出函数的导函数,令导函数大于 0 得到函数的递增区间,令导函数小于 0 得到函数的递减区间. 19. (14 分) (2013?香洲区模拟) 在锐角△ ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C, 所对的边, 且满足 (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 a+c=5,且 a>c,b= ,求 的值. .

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )利用正弦定理化简已知的等式,根据 sinA 不为 0,可得出 sinB 的值,由 B 为锐角,利用特殊角的三 角函数值即可求出 B 的度数; (Ⅱ )由 b 及 cosB 的值,利用余弦定理列出关于 a 与 c 的关系式,利用完全平方公式变形后,将 a+c 的值代 入,求出 ac 的值,将 a+c=5 与 ac=6 联立,并根据 a 大于 c,求出 a 与 c 的值,再由 a,b 及 c 的值,利用余 弦定理求出 cosA 的值,然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后,将 b,c 及 cosA 的值代 入即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a﹣2bsinA=0, ∴ sinA﹣2sinBsinA=0,…(2 分)
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∵ sinA≠0,∴ sinB= 又 B 为锐角,则 B=

,…(3 分) ;…(5 分) ,又 b=
2 2

(Ⅱ )由(Ⅰ )可知 B=
2

, ,…(7 分)

根据余弦定理,得 b =7=a +c ﹣2accos 整理得: (a+c) ﹣3ac=7, ∵ a+c=5,∴ ac=6, 又 a>c,可得 a=3,c=2,…(9 分) ∴ cosA= = =
2

,…(11 分)



=|

|?|

|cosA=cbcosA=2×

×

=1.…(13 分)

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算法则,完全平方公式的运用,以及特殊角的三角函数

值,熟练掌握定理及法则是解本题的关键. 20. (14 分) (2007?上海模拟) 设数列{an}是首项为 0 的递增数列, (n∈N) , an+1]满足:对于任意的 b∈[0,1) ,fn(x)=b 总有两个不同的根. (1)试写出 y=f1(x) ,并求出 a2; (2)求 an+1﹣an,并求出{an}的通项公式; n﹣1 (3)设 Sn=a1﹣a2+a3﹣a4+…+(﹣1) an,求 Sn. 考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)由题意可得当 n=1 时,f1(x)=|sin(x﹣a1)|=|sinx|,结合对任意的 b∈[0,1) ,f1(x)=b 总有两个不 同的根可得 a2=π,代入可求 f1(x)a2=π (1)类比(1)的方法可分别求 f2(x) ,f3(x) ,及 a2,a3,a4 归纳可得 an+1﹣an=nπ,从而利用叠加法可 求
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, x∈[an,

(3)当 n=2k,k∈Z(4) ,S2k=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2k﹣1﹣a2k,n=2k+1,S2k+1=S2k+a2k+1 两种情况讨论求解 解答: 解: (1)∵ a1=0,当 n=1 时,f1(x)=|sin(x﹣a1)|=|sinx|,x∈[0,a2],…(2 分) 又∵ 对任意的 b∈[0,1) ,f1(x)=b 总有两个不同的根,∴ a2=π ∴ f1(x)=sinx,x∈[0,π],a2=π…(4 分) (1)由(1) , ∵ 对任意的 b∈[0,1) ,f1(x)=b 总有两个不同的根,∴ a3=3π…(5 分) (2)

∵ 对任意的 b∈[0,1) ,f1(x)=b 总有两个不同的根,∴ a4=6π…(6 分) 由此可得 an+1﹣an=nπ,…(8 分) 利用叠加可求得 …(10 分)

(3)当 n=2k,k∈Z(4) ,S2k=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2k﹣1﹣a2k(5) =﹣[(a2﹣a1)+(a4﹣a3)+…+(a2k﹣a2k+1)] =﹣[π+3π+5π+…+(2k﹣1)π]= ∴ …(13 分)

当 n=2k+1,k∈Z, ∴ …(16 分)

点评: 本题主要数列与三角函数是综合知识的应用,及由数列的递推公式求解数列的通项公式,叠加法的应用及 数列求和公式的应用.


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