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【步步高】2014-2015学年高中数学 第二章 2.1数列的概念与简单表示法(二)导学案新人教A版必修5


§2.1

数列的概念与简单表示法(二)

课时目标 1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项; 3.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列. 1. 如果数列{an}的第 1 项或前几项已知, 并且数列{an}的任一项 an 与它的前一项 an-1(或 前几项)间的关系可以用

一个式子来表示,那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. * 2.数列可以看作是一个定义域为正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数, 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值. 3.一般地,一个数列{an},如果从第 2 项起,每一项都大于它的前一项,即 an+1>an, 那么这个数列叫做递增数列.如果从第 2 项起,每一项都小于它的前一项,即 an+1<an,那 么这个数列叫做递减数列.如果数列{an}的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.

一、选择题 1.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数项 D.不能确定 答案 A 2.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是( ) * A.an+1=an+n,n∈N * B.an=an-1+n,n∈N ,n≥2 * C.an+1=an+(n+1),n∈N ,n≥2 * D.an=an-1+(n-1),n∈N ,n≥2 答案 B 1 1 3.已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足 an+1= an+ n,则此数列第 4 项是( ) 2 2 1 3 5 A.1 B. C. D. 2 4 8 答案 B 2 4.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1·a2·a3…an=n ,则:a3+a5 等于( 25 25 A. B. 9 16 61 31 C. D. 16 15 答案 C 2 2 解析 a1a2a3=3 ,a1a2=2 , 2 a1a2a3a4a5=5 ,a1a2a3a4=42, 2 2 3 9 5 25 则 a3= 2= ,a5= 2= . 2 4 4 16 61 故 a3+a5= . 16

)

1

5. 已知数列{an}满足 an+1

? ?2a =? ? ?2a -1
n n

?0≤an<1?, ? 2? ? ? ?1≤an<1?. ?2 ? ? ?
1 D. 7

6 若 a1= , 则 a2 010 的值为( 7

)

A.

6 7 答案 解析

5 B. 7 C

3 C. 7

5 3 6 计算得 a2= ,a3= ,a4= ,故数列{an}是以 3 为周期的周期数列, 7 7 7 3 又知 2 010 除以 3 能整除,所以 a2 010=a3= . 7 6.已知 an= A.a1,a30 C.a10,a9 答案 C 解析 =

n- 98 ,则这个数列的前 30 项中最大项和最小项分别是( n- 99 B.a1,a9 D.a10,a30 n- 99+ 99- 98 n- 99

)

∵an=

99- 98

n- 99

+1 99- 98 +1 的图象上, +1 的图象,

∴点(n,an)在函数 y=

x- 99

在直角坐标系中作出函数 y=

99- 98

x- 99

由图象易知 当 x∈(0, 99)时,函数单调递减. ∴a9<a8<a7<…<a1<1, 当 x∈( 99,+∞)时,函数单调递减, ∴a10>a11>…>a30>1. 所以,数列{an}的前 30 项中最大的项是 a10,最小的项是 a9. 二、填空题 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且有 a1=3,4Sn=6an-an-1+4Sn-1,则 an=________. 1-n 答案 3·2 * 8.已知数列{an}满足:a1=a2=1,an+2=an+1+an,(n∈N ),则使 an>100 的 n 的最小值 是________. 答案 12 an+1 n+2 * 9.若数列{an}满足:a1=1,且 = (n∈N ),则当 n≥2 时,an=________.

an

n

答案 解析

n n+
2 ∵a1=1,且

an+1 n+2 * = (n∈N ). an n
2

a2 a3 a4 an-1 an · a1 a2 a3 an-2 an-1 3 4 5 n n+1 = · · ·… · , 1 2 3 n-2 n-1 n n+ 即 an= .
∴ · · …

2 2 * 10.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n +λ n,n∈N ,则实数 λ 的最小值是________. 答案 -3 2 2 解析 an≤an+1?n +λ n≤(n+1) +λ (n+1) * ?λ ≥-(2n+1),n∈N ?λ ≥-3. 三、解答题 1 1 * 11.在数列{an}中,a1= ,an=1- (n≥2,n∈N ). 2 an-1 (1)求证:an+3=an; (2)求 a2 011. 1 1 (1)证明 an+3=1- =1- an+2 1 1-

an+1

=1- 1 1- 1 1-

1

an

1 1 1 =1- =1- =1- an an-1-an -1 1- an-1 an-1 an-1 =1-(1-an)=an. ∴an+3=an. (2)解 由(1)知数列{an}的周期 T=3, 1 a1= ,a2=-1,a3=2. 2 1 1 又∵a2 011=a3×670+1=a1= ,∴a2 011= . 2 2 n 9 n+ * 12.已知 an= (n∈N ),试问数列{an}中有没有最大项?如果有,求出这个 n 10 最大项;如果没有,说明理由. ? 9 ?n+1 ? 9 ?n 解 因为 an+1-an=? ? ·(n+2)-? ? ·(n+1) ?10? ?10? 9 10 ? ?n+1 ? ? 9 ?n+1 8-n,则 n+ ? =? ? ·? n+ - =? ? · ? 9 9 ?10? ? ? ?10? ? 9 ?n+1 8-n>0, 当 n≤7 时,? ? · 9 ?10? ? 9 ?n+1 8-n=0, 当 n=8 时,? ? · 9 ?10? ? 9 ?n+1 8-n<0, 当 n≥9 时,? ? · 9 ?10? 所以 a1<a2<a3<…<a7<a8=a9>a10>a11>a12>…, 9 9 故数列{an}存在最大项,最大项为 a8=a9= 8. 10 能力提升

3

13. 已知数列{an}满足 a1=-1, an+1=an+ 答案 解析 1 -

n

1 n+

, n∈N , 则通项公式 an=________.

*

n n
1 n+ ,

∵an+1-an=

1 ∴a2-a1= ; 1×2 1 a3-a2= ; 2×3 1 a4-a3= ; 3×4 … … 1 an-an-1= ; n- n 1 1 1 以上各式累加得,an-a1= + +…+ 1×2 2×3 n- 1 1 1 1 1 =1- + - +…+ - 2 2 3 n-1 n 1 =1- .

n

n

1 1 ∴an+1=1- ,∴an=- .

n

n

14.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)·an+1-nan+an+1an=0(n=1,2,3,…), 则它的通项公式是________. 1 答案

2

2

n

解析 ∵(n+1)an+1-nan+anan+1=0, ∴[(n+1)an+1-nan]·(an+1+an)=0, ∵an>0,∴an+an+1>0, ∴(n+1)an+1-nan=0.

2

2

an+1 n = . an n+1 a2 a3 a4 a5 an ∴ · · · ·…· a1 a2 a3 a4 an-1 1 2 3 4 n-1 = · · · ·…· , 2 3 4 5 n an 1 ∴ = . a1 n
方法一 1 1 又∵a1=1,∴an= a1= .

n 方法二 (n+1)an+1-nan=0, ∴nan=(n-1)an-1=…=1×a1=1,
1 ∴nan=1,an= .

n

n

函数与数列的联系与区别 一方面,数列是一种特殊的函数,因此在解决数列问题时,要善于利用函数的知识、函 数的观点、函数的思想方法来解题,即用共性来解决特殊问题.
4

另一方面, 还要注意数列的特殊性(离散型), 由于它的定义域是 N 或它的子集{1,2, …, n}, 因而它的图象是一系列孤立的点, 而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连 续的曲线,因此在解决问题时,要充分利用这一特殊性,如研究单调性时,由数列的图 象可知,只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即 an>an-1),则图象呈上升趋势,即 * 数列递增, 即{an}递增?an+1>an 对任意的 n (n∈N )都成立. 类似地, 有{an}递减?an+1<an * 对任意的 n(n∈N )都成立.

*

5


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