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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-2)多媒体教学优质课件:1.5.3 定积分的概念


1.5.3 定积分的概念

求曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (1)分割: 在区间[a,b] 上等间隔地插入n-1个点,将 它等分成n个小区间:
y
y=f ( x )

b?a . 每个小区间宽度△x ? n

? a, x1 ? , ? x1 , x2 ? , ? xi ?1 , xi

? , , ? xn ?1 , b ? ,
O
a xi xi xi+1 ?x b

x

(2)取近似求和:

y y=f ( x )

任取 xi?[xi-1, xi] ,
第 i 个小曲边梯形的面积 用高为 f(xi) 而宽为△ x 的 小矩形面积 f(xi) △ x 近 似之.
O
a

xi xi xi+1

b

x

?x

取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近 似值:

S ? ? f (x i ) ?x.
i ?1

n

(3)取极限:

y y=f ( x )

所求曲边梯形的面积S为

S ? lim ? f (x i ) ?x.
n ?? i ?1

n

O

a

xi xi xi+1

b

x

?x

1.定积分的计算和简单应用.(重点)
2.利用定积分求平面区域围成的面积.

(难点)

探究点1
以下四步:

定积分的定义

从求曲边梯形面积S的过程中可以看出, 通过

分割——近似代替——求和——取极限得到解
决.
曲边梯形面积 S ? lim ?
?x ?0 i ?1 n

1 f ?xi ??x ? lim ? f ?xi ?. n ?? i ?1 n

n

变速运动的路程 1 s ? lim ? v ?x ?i ?t ? lim? v ?x ?i . ?t ?0 n ?? i ?1 i ?1 n
定积分的定义
n n

如果函数 f(x)在区间 [a,b]上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? ? xi ?1 ? xi ? ? xn ? b
将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间 [xi-1 ,xi ]上任取一点ξ i(i = 1,2,...,n),作和式

?
i ?1

n

b?a f (xi )?x ? ? f (xi ) n i ?1
n

当n ? ?时,上述和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数f ( x)在区间[ a, b]上的定积分, 记作

?a f ( x)dx
即?
b a

b

b?a f ( x)dx ? lim? ? f (xi ). n ?? n i ?1
n

这里,a和b分别叫做积分下限和积分上限, 区间[a, b]叫做积分区间,函数f ( x)叫做被积函数, x叫做积分变量,f ( x)dx叫做被积式.

定积分的定义的理解: ?a

b

b?a f ( x)dx ? lim? ? f (xi ). n ?? n i ?1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间.

y

y ? f ( x)

O

a

x b

积分上限

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim? ? f (xi ). n ?? n i ?1
n

积分下限

被 积 函 数

被 积 式

积 分 变 量

探究点 2

定 积 分 ? f ( x ) dx 的 几何 意义 :
a
b

b

如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0, 那么定积分 ? f ( x )dx 表示
a

由直线 x=a,x=b,y=0 和曲线 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积 .
y y?f ( x)

O

a

b x

按定积分的几何意义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、

x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为

S = ? f(x)dx.
a

b

(2) 设物体运动的速度 v=v(t) ,则此物体在时间区

间[a, b]内运动的距离s为

s = ? v(t)dt.
a

b

根据定积分的定义,右边图形

y f(x)=x2

的面积为

S??

1

0

1 f ( x )dx ? ? x dx ? . 0 3
1 2

1 S? 3
O
1

x

同样地,1.5.2中汽车在0≤t≤1
这段时间内经过的路程

5 s ? ? v ( t )dt ? ? ( ?t ? 2)dt ? . 0 0 3
1 1 2

总结提升:
(1) 定积分是一个数值 , 它只与被积函数及积分
区间有关,而与积分变量的记法无关,即
b b b

?

a

f ( x )dx ? ? f (t )dt ? ? f (u)du.
a a

(2) 定义中区间的分法和xi的取法是任意的.

(3)

?

b

a

f ( x )dx ? ?? f ( x )dx .
b
b a

a

特别地, 当a ? b时, ? f ( x)dx ? 0.

当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所

围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,

积 分 ? f ( x )dx 在 几 何 上
a

b

y

y??f (x)
b

表示上述曲边梯形面积 的负值.

S ? ? [ ? f ( x )]dx
a

b

S ? ? [? f ( x)]dx
a

? ? ? f ( x )dx
a

b

O a
b c

b x
? ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx ?? a c
b

f(

?

b

a

f ( x )dx ? ? S .

y?f ( x)

探究点3

用定积分表示图中阴影部分的面积

根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图 中蓝色阴影部分的面积?
y y?f ( x)

(x S1 ? y x) )dx ? ? fg(
S2 ? ? g ( x)dx
a
a

b

b

O

a
b a

b x
b a

S ? S1 ? S2 ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx.

例1 利用定积分的定义,计算 ? x dx的值.
3 0

1

解 : 令f( x )= x3 .
(1)分割 在区间 ?0,1? 上等间隔地插入n - 1个分点, ?i- 1 i ? 把区间 ?0,1? 等分成n个小区间 ? , ?(i = 1,2, · · ·, ? n n? i i- 1 1 n), 每个小区间的长度为Δx = = . n n n

i (2) 近似代替、作和 取ξ · · · ,n ? , ?i = 1,2, i = n ?i? 则? f ? x ? dx ? Sn = ? f ? ? ?Δx 0 i=1 ? n ?
1 n

?i? 1 = ?? ? ? n i=1 ? n ?
n

3

1 1 1 2 1? 1 ? 2 3 = 4 ?i = 4 ? n ? n +1? = ? 1+ ? . n i=1 n 4 4? n ?
n

2

1? 1 ? 1 (3)取极限 ? x dx = lim S n = lim ? 1 + ? = . 0 n→ ∞ n→ ∞4 ? n? 4
1 3

2

探究点4 定积分的基本性质
性质1

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx (k为常数)
a
b

b

性质2

? [ f ( x ) ? f ( x )] dx ? ?
a 1 2

b

a

f1 ( x )dx ? ? f 2 ( x )dx
a

b

性质3.定积分关于积分区间具有可加性

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx (其中a<c<b)
a c

c

b

y

y?f ( x)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

性质3 不论a,b,c的相对位置如何都有

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
y
a c

c

b

y=f ( x)

f )( dx x)dx ? ?? f (x f )( dx x)? dx f (x ?)f dx (x f? )( dx x dx f (。 x)dx? ? ?a f?a(x ? ?a)。 a ? a a ? c ? c c

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

a

c

b

x

例 2 利用定积分的定义,计算 ? (-t2 + 5)dt.
0

2

解 : 令 f(t)= -t + 5.
(1)分割 在区间 ?0,2? 上等间隔地插入n - 1分点, ? 2(i- 1) 2i ? 把区间 ?0,2? 等分成n个小区间 ? , ?(i = 1,2, · · ·, n? ? n 2i 2(i- 1) 2 n), 每个小区间的长度为Δx = = . n n n

2

2i (2) 近似代替、作和 取ξ · · · ,n ? , ?i = 1,2, i = n
n 2i 2 2 ? 2i ? 则? f(t)dt ? Sn = ? f ? ? ?Δx = ?[-( ) + 5]? 0 n n i=1 ? n ? i=1 2 n

8 n 2 8 1 = 10 - 3 ?i = 10 - 3 ? n(n +1)(2n +1) n i=1 n 6
4 1 1 = 10 - (1 + )(2 + ) 3 n n

(3)取极限

2 (-t ? +5)dt = lim Sn 0 n→ ∞

2

4 1 1 ? lim[10 ? (1 ? )(2 ? )] n ?? 3 n n 8 22 ? 10 ? ? . 3 3

22 所以 ? (?t ? 5) dt ? . 0 3
2 2

1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2

0

a ①

x

(1)在图①中,被积函数f(x)= x2在[0,a] 解: 上连续,且f(x)? 0,根据定积分的几何意
a 2 义,可得阴影部分的面积为A ? ? 0 x dx

y

f(x)=x2

x

-1 0

2

x



(2)在图②中,被积函数f(x)= x2在[-1,2] 上连续,且f(x)? 0,根据定积分的几何意
2 义,可得阴影部分的面积为A = ? 2 x -1 dx

y
f(x)=1

a

0

b x



(3)在图③中,被积函数f(x)= 1在[a,b] 上连续,且f(x)> 0,根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面积为A = ? b a dx

f(x)=(x-1)2-1

y

-1 0

2 x



(4)在图④中,被积函数f(x)=(x - 1)2 - 1在[-1,2] 上连续,且在[-1,0]上f(x) ? 0,在[0,2]上f(x) ? 0, 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
2 2 2 A= ?0 [(x 1) 1] dx [(x 1) - 1] dx -1 ?0

2.利用定积分的几何意义说明等式 ?

? ? 2

? 2

sin xdx ? 0

成立.
解: 在右图中,被积函数f(x)= sinx
ππ π 在[- , ]上连续,且在[- ,0] 2 2 2 π 上sinx ? 0,在[0, ]上sinx ? 0,并 2 有A1 = A2 ,所以?
π 2 π 2

y
f(x)=sinx
?

?
2

1

A1 -1

A2

? 2

x

f(x)dx = A2 - A1 = 0

3. 计算积分

?

1

0

1 - x 2 dx.

解:由定积分的几何意义知,定积分值等于
曲线y = 1- x2 ,x轴,x = 0及x = 1所围 的面积
面积值为圆的面积的
1 4

所以?

1

0

π 1- x dx = . 4
2

1.求曲边梯形面积

分割——近似代替——求和——取极限
2.定积分定义

3.定积分几何意义
4.定积分计算性质

健康身体是基础,良好学风是条件,勤奋 刻苦是前提,学习方法是关键,心理素质是保 证.


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