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河北省石家庄市2012-2013学年高二下学期期末考试数学试题


高二年级第二学期期末考试·数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.命题“ ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q ”的否定是( ) A. ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q B. ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q C. ?x ? ?R Q , x3 ?Q
2

D. ?x ? ?R Q ,

x3 ?Q
2

2.已知直线 l 过定点(-1,1),则“直线 l 的斜率为 0”是“直线 l 与圆 x +y =1 相切”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

3.定义差集 A-B={x|x∈A,且 x ? B},现有三个集合 A、B、C 分别用圆表示,则集合 C-(A-B)可表示下列图中阴影部 分的为( )

4.设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f (? ) ? ( ) A. -

5 2

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4

D.

1 2

5.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC、CB 的长, 则该矩形面积小于 32cm 的概率为( ) A.
2

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5

6.如图,在四面体 ABCD中, E, F 分别是 AC 与 BD 的中点, 若 CD ? 2 AB ? 4 , EF ? AB ,则 EF 与 CD 所成角为( ) A. 90
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 30

?

7.已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 A 、 B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,

C 的离心率为( )A. 2
2 2

B. 3

C. 2

D. 3

8. 已知 A 、 B 、 C 是圆 O : x ? y ? 1 上三点, OA ? OB ? OC ,则 AB ? OA ? (

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

)

A.

3 2

B. ?

3 2

C. ?

3 2

D.

1 2
9. 如图,某几何 体的正视图(主视 图)是平行四边 形,侧视图(左视

图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )A. 6 3 B. 9 3 10. 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

C. 12 3

D. 18 3

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则( )

A. f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? 单调递减 ? 2? ? ?? ? 单调递增 ? 2?

B. f ( x) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

C. f ( x) 在 ? 0,

D. f ( x) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递增 ?4 4 ?

11.定义在(-∞,+∞)上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且 f(x)在[-1,0]上是增函数,下面五个关于 f(x)的命 题中:①f(x)是周期函数;②f(x)图象关于 x=1 对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在[1, 2]上为减 函数;⑤f(2)=f(0),正确命题的个数是( 12.函数 y ? A.2 )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 的图象与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图象所有交点的横坐标之和等于( ) 1? x
B.4 C.6 D.8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 s ? ____. 14.若数列 ? an ? , n ? N

?

*

?

为各项均为正数的等比数列,

?lg an ? 成等差数列,公差

d ? lg 3 ,且 ?lg an ? 的前三项和为 6 lg 3 , 则 ?an ? 的通项公式为_______.
15. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元, 若每批生产 x 件,则 平均仓储时间为

x 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元, 为使平均到每件产品的 8

生产准备费用与仓储费用之 和最小,每批应生产产品____件. 16.过抛物线 x ? 2 py ? p ? 0 ? 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A 、 B 两点, A 、 B 在 x 轴上的正射影分
2

别为 D 、 C .若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ,则 p ? _____. 三.解答题(共 6 个小题,共 70 分.请将正确答案填写在答题纸上.) 17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A、B 、C 对应边分别为 a, b , c . 已知 cos 2A ? 3cos(B ? C ) ? 1. (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积为 S ? 5 3, b ? 5, 求 sin B ? sinC 的值. 18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,

G PA ? 平面ABCD, E为BD的中点, 为PD的中点,

?DAB ? ?DCB, EA ? EB ? AB ? 1,PA ?

3 ,连接 CE 并延 2

长交 AD 于 F .(1)求证: AD ? 平面CFG ; (2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) 某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动.根据市场行情,该商场决定从 3 种品牌的 服装类商品、2 种品牌的家电类商品、4 种品牌的日用类商品中,任选出 3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)求选出 的 3 种商品中至少有一种是日用类商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售,即在该类商品成本价的基础上每件提高 180 元作 为售价销售给顾客,同时给该顾客 3 次抽奖的机会,若中奖一次,就可以获得一次奖金.假设该顾客每次抽奖 时获奖的概率都是 1/2,每次中奖与否互不影响,且假设每次获奖时的奖金数额都为 x 元,求顾客购买一件此 类商品时中奖奖金总额 ? 的分布列和数学期望 E? , 并以此测算 x 至多为多少时, 此促销方案使商场不会亏本?

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点为 B (0, 4) ,离心率 e ?

5 , 5

直线 l 交椭圆于 M、N 两点. (1)若直线 l 的方程为 y ? x ? 4 ,求弦 MN 的长; (2)如果Δ BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式. 21. (本小题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 f (x ) ? ax ? (2 ? 5a)x ? 5ln x .
2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 3 和 x ? 5 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? x ?
2

5 5 5 x ,若对任意 x1 ? (0, ] ,均存在 x2 ? (0, ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围. 2 2 2

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为

? ? 4sin ? , ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 2 2. 4?

(I)求 C 1 与 C 2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C 1 的圆心,Q 为 C 1 和 C 2 交点连线的中点,已知直线 PQ 的参数方程为

?x ? t 3 ? a ? ?t ? R 为参数 ? , 求 a,b 的值. ? b y ? t 3 ?1 ? ? 2
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f

? x ? ? x ? a , 其中 a ? 1. ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解集;
? 2x
? a ? ? 2f ? x ? ? 2 的解集为 ?x |1 ? x ? 2? ,求 a .

(I)当 a =2 时,求不等式 f (II)已知关于 x 的不等式 f

高二年级下学期期末考试数学答案 一、选择题.DAAAC 三、解答题.

DBCBA

CD

二、填空题.13. 9

14. an ? 3
2

n

15.

80

16. 2

17.(I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1 ? 2 cos A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?

1 ,角 2

A ? 60? .
(I I)

1 bc sin A ? 5 3 2 ?c?4 S?
, 由 余 弦 定 理 得:

a 2 ? 21


?2R ?

2

a2 ? ? 28 sin 2 A
bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?
. 18.

19. 解: (I)设选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品为事件 A,

1 1 3 1 1 1 1 P(? ? 2 x) ? C32 (1 ? ) ? ( ) 2 ? P(? ? 3 x) ? ? ? ? 2 2 8, 2 2 2 8, 1 3 3 1 3 E? ? 0 ? ? x ? ? 2 x ? ? 3x ? ? x 8 8 8 8 2 .???10 分 ∴ 顾客中奖次数的数学期望 3 x 设商场将每次中奖的奖金数额定为 x 元,则 2 ≤180,解得 x≤120,
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为 120 元,才能使商场不亏本.???12 分 20.答案
[

∴所求弦长 | MN |? 1 ? 1 | x2 ? x1 |?
2

40 2 ; 9
??? ?

????????6 分

(2) (2, 0) , MN 中点为 Q ( x0 , y0 ) , F 设 由三角形重心的性质知 BF ? 2 FQ , B(,4 又 0) 则 Q (3, ?2) ??9 分设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ?? 4 ,且

??? ?

, (2. ? 4) ? 2( x0 ? 2, y0 ) , ∴

2 2 x1 y1 x2 y 2 ? ? 1 2 ? 2 ? 1 以上两式相 , 20 16 20 16

减得

y ? y2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) 4 x ?x2 4 6 6 ?? ? 1 ?? ? ? , ? ? 0 ,∴ k MN ? 1 x1 ? x 2 5 y1 ? y 2 5 ?4 5 20 16

故直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 3) ,即 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 . 21.解: f ?( x) ? 2ax ? (2 ? 5a) ? (Ⅰ) f ?(3) ? f ?(5) ,解得 a ?

6 5

????????12 分

1 (ax ? 1)(2 x ? 5) . ---------3 分(Ⅱ) f ?( x) ? ( x ? 0) . 6 x

5 ( x ? 0) 1 分 x

综上所述, a 的取值范围为 ( ln

4 5

5 4 ? , ??) . 2 5

---------12 分


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