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【创新方案】2015高考数学(理)一轮知能检测:第3章 第3节 三角函数的图象与性质]


第三节

三角函数的图象与性质

[全盘巩固] π 1.给定性质:①最小正周期为 π;②图象关于直线 x= 对称,则下列四个函数中,同 3 时具有性质①②的是( ) x π? ?2x-π? + A.y=sin? B . y = sin 6? ?2 6? ? π ? C.y=sin? D.y=sin|x| ?2x+6? π? 2π π 解析: 选 B 注意到函数 y = sin ? ?2x-6? 的最小正周期 T = 2 = π ,当 x=3 时, y= π π 2× - ?=1,因此该函数同时具有性质①②. sin? ? 3 6? π π? 2.函数 y=2sin? ) ?6x-3?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( A.2- 3 B.0 C.-1 D.-1- 3 π 3π π π π 7π 解析:选 A ∵0≤x≤9,∴0≤ x≤ ,∴- ≤ x- ≤ , 6 2 3 6 3 6 π π π π 3 ? ? ? ∴- ≤sin? ?6x-3?≤1,即- 3≤2sin?6x-3?≤2. 2 所以其最大值为 2,最小值为- 3,故最大值与最小值之和为 2- 3. 1? 3.已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为? ) ?-1,2?,则 b-a 的值不可能是( π 2π 4π A. B. C.π D. 3 3 3 2π 4π? 解析:选 A 画出函数 y=sin x 的草图分析知 b-a 的取值范围为? ? 3 , 3 ?.

π 3π? 4.(2014· 丽水模拟)函数 y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间? ?2, 2 ?内的图象是(

)

A

B

C 解析:选 D

D π 故选 D.

? ?2tan x,x∈? ?2,π?, y=tan x+sin x-|tan x-sin x|=? 3π? ?2sin x,x∈? ?π, 2 ?.

2π? 5.(2014· 温州模拟)若函数 y=2cos ωx 在区间? ?0, 3 ?上递减,且有最小值 1,则 ω 的值 可以是( A.2 ) 1 B. 2 C.3 1 D. 3

2π? ?2π? 解析:选 B 由 y=2cos ωx 在? ?0, 3 ?上是递减的,且有最小值为 1,则有 f? 3 ?=1, 2π? 2π 1 即 2×cos? ?ω× 3 ?=1,即 cos 3 ω=2.经验证,得出选项 B 符合. 6. 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ), x∈R, 其中 ω>0, -π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π, π 且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( ) 2 A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 1 π 解析:选 A ∵f(x)的最小正周期为 6π,∴ω= .∵当 x= 时,f(x)有最大值, 3 2 1 π π π π ∴ × +φ= +2kπ(k∈Z),φ= +2kπ(k∈Z),∵-π<φ≤π,∴φ= . 3 2 2 3 3 x π ? 由函数 f(x)的图象(图略)易得, ∴f(x)=2sin? 函数 f(x)在区间[-2π, 0]上是增函数, ?3+3?, 而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间[4π,6π]上是增函数. π ? ?π ? π? 7. 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ), 对于任意 x 都有 f? 则 f? ?6+x?=f?6-x?, ?6?等于________. π ? ?π ? π π +x =f -x ,∴x= 是函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.∴f? ?=± 解析:∵f? 6 6 6 ? ? ? ? ? ? 2. 6 答案:2 或-2 1 1 8.已知函数 f(x)= (sin x+cos x)- |sin x-cos x|,则 f(x)的值域是________. 2 2 ? ?cos x?sin x≥cos x?, 1 1 解析:f(x)= (sin x+cos x)- |sin x-cos x|=? 2 2 ?sin x?sin x<cos x?. ?

画出函数 f(x)的图象(实线),如图,可得函数的最小值为-1,最大值为

2 ,故值域为 2

?-1, 2?. 2? ?
答案:?-1, 2? 2? 9.已知函数 f(x)=cos xsin x(x∈R),给出下列四个命题: ①若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是 2π; π π? ③f(x)在区间? ?-4,4?上是增函数; 3π ④f(x)的图象关于直线 x= 对称. 4 其中真命题的是________. 1 π 解析:f(x)= sin 2x,当 x1=0,x2= 时,f(x1)=-f(x2),但 x1≠-x2,故①是假命题; 2 2

?

π π? ? π π? f(x)的最小正周期为 π,故②是假命题;当 x∈? ?-4,4?时,2x∈?-2,2?,故③是真命题; 3π? 1 3π 1 3π 因为 f? ? 4 ?=2sin 2 =-2,故 f(x)的图象关于直线 x= 4 对称,故④是真命题. 答案:③④ π? 10.函数 f(x)=Asin? ?ωx-6?+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图象相邻两条对称轴之 π 间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; π? ?α? (2)设 α∈? ?0,2?,f?2?=2,求 α 的值. 解:(1)∵函数 f(x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 π? ∴最小正周期 T=π,∴ω=2,∴函数 f(x)的解析式为 y=2sin? ?2x-6?+1. α? ? π? ? π? 1 (2)∵f? ?2?=2sin?α-6?+1=2,∴sin?α-6?=2. π π π π π π π ∵0<α< ,∴- <α- < ,∴α- = ,∴α= . 2 6 6 3 6 6 3 π 2x ? ? π? 11.(2013· 湖南高考)已知函数 f(x)=sin? ?x-6?+cos?x-3?,g(x)=2sin 2. 3 3 (1)若 α 是第一象限角,且 f(α)= ,求 g(α)的值; 5 (2)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. π? 3 1 1 3 ? π? 解:f(x)=sin? ?x-6?+cos?x-3?= 2 sin x-2cos x+2cos x+ 2 sin x= 3sin x, x g(x)=2sin2 =1-cos x. 2 3 3 3 (1)由 f(α)= ,得 sin α= .又 α 是第一象限角,所以 cos α>0. 5 5 4 1 从而 g(α)=1-cos α=1- 1-sin2α=1- = . 5 5 π? 1 (2)f(x)≥g(x)等价于 3sin x≥1-cos x,即 3sin x+cos x≥1.于是 sin? ?x+6?≥2. π π 5π 2π 从而 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,即 2kπ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 6 6 6 3 2π ? ? 故使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合为?x|2kπ≤x≤2kπ+ 3 ,k∈Z?. ? ? 12.已知向量 a=(cos ωx-sinωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2 3cos ωx),设函数 1 ? f(x)=a· b+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω,λ 为常数,且 ω∈? ?2,1?. (1)求函数 f(x)的最小正周期; π ? ? 3π? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ?4,0?,求函数 f(x)在区间?0, 5 ?上的取值范围. 解: (1)f(x) = sin2ωx - cos2ωx + 2 3sin ωx· cos ωx + λ =- cos 2ωx + 3sin 2ωx + λ = π ? 2sin? ?2ωx-6?+λ. π? 由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin? 1, ?2ωπ-6?=± π π k 1 所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z),即 ω= + (k∈Z). 6 2 2 3

1 5 6π 又 ω∈( ,1),k∈Z,所以 k=1,故 ω= .所以 f(x)的最小正周期是 . 2 6 5 π π 5 π π π ? ? ? ? ? (2)由 y=f(x)的图象过点? ?4,0?,得 f?4?=0,即 λ=-2sin?6×2-6?=-2sin4=- 2, 5 π? 故 f(x)=2sin? ?3x-6?- 2, 5 π? 5 π? 3π π 5 π 5π 1 由 0≤x≤ , 有- ≤ x- ≤ , 所以- ≤sin? 得-1- 2≤2sin? ?3x-6?≤1, ?3x-6?- 5 6 3 6 6 2 3π? 2≤2- 2,故函数 f(x)在? ?0, 5 ?上的取值范围为[-1- 2,2- 2 ]. [冲击名校] π π? 1.已知函数 f(x)=2sin ωx 在区间? ) ?-3,4?上的最小值为-2,则 ω 的取值范围是( 9? A.? ?-∞,-2?∪[6,+∞) 9 3 -∞,- ?∪? ,+∞? B.? 2? ?2 ? ? C.(-∞,-2]∪[6,+∞) 3 ? D.(-∞,-2]∪? ?2,+∞? π π π π π π 解析:选 D 当 ω>0 时,由- ≤x≤ ,得- ω≤ωx≤ ω,由题意知,- ω≤- , 3 4 3 4 3 2 3 π π π π π π ∴ω≥ ;当 ω<0 时,由- ≤x≤ ,得 ω≤ωx≤- ω,由题意知, ω≤- ,∴ω≤-2, 2 3 4 4 3 4 2 3 ? 综上可知,ω∈(-∞,-2]∪? ?2,+∞?. π ω>0,|φ|< ?,给出以下四个论断: 2.设函数 f(x)=sin(ωx+φ)? 2? ? ①它的最小正周期为 π; π ②它的图象关于直线 x= 成轴对称图形; 12 π ? ③它的图象关于点? ?3,0?成中心对称图形; π ? ④在区间? ?-6,0?上是增函数. 以 其 中 两 个 论 断 作 为 条件 , 另 两 个 论 断 作 为 结论 , 写 出 你 认 为 正 确 的一 个 命 题 ________(用序号表示即可). 2π π π π 解析:若①②成立,则 ω= =2;令 2· +φ=kπ+ ,k∈Z,且|φ|< ,故 k=0,则 φ π 12 2 2 π π π π ? ? ? ?π ? = .此时 f(x)=sin? ?2x+3?,当 x=3时,sin?2x+3?=sin π=0,所以 f(x)的图象关于?3,0?成 3 5π π π - , ?上是增函数,则 f(x)在?- ,0?上也是增函数,因此①②?③ 中心对称;又 f(x)在? ? 12 12? ? 6 ? ④.用类似的分析可求得①③?②④. 答案:①②?③④或①③?②④ [高频滚动] 4 1.已知 sin θ= ,sin θ-cos θ>1,则 cos θ=( ) 5 3 3 A.- B.- 5 10 1 3 C.- D. 2 5 解析: 选 A 由(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ>1, 可得 sin θcos θ<0, 又因为 sin θ>0,

3 所以 cos θ<0,即 cos θ=- . 5 2.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

?sin A= 2sin B, 解:由已知得? ? 3cos A= 2cos B, ②
①2+②2 得 2cos2A=1,即 cos A= (1)∵当 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2



2 3 时,cos B= , 2 2 π π 7π 又 A,B 是△ABC 的内角,∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= . 4 6 12 2 3 (2)∵当 cos A=- 时,cos B=- .又 A,B 是△ABC 的内角, 2 2 3π 5π π π 7π ∴A= ,B= ,不合题意.综上可知,A= ,B= ,C= . 4 6 4 6 12


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