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2016届安徽省淮北市濉溪县高三第三次月考数学理试题


濉 溪 县 2016 届 高 三 第 三 次 月 考 理 科 数 学 试 卷
题 得 号 分 一 二 三 总 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求,请 把答案填在本大题最后的表格中,否则不予给分) 1.已知集合 A ? x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0 ,集合B ? ?x | x ? a ? 0?若 A ? B ,则 a 的取值范围 是( ) A. a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 D. a ? 1 ) D.-1 )

?

?

2.若复数 (a2 ? 3a ? 2) ? (a ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A.1 B.2 C.1 或 2

3.设函数 f ( x) ? ln x ? x 2 ,曲 y ? f ( x) 线在点 (1, f (1)) 处的切线方程为( A. y ? 3x B. y ? 3 x ? 2 C. y ? 2 x ? 1

D. y ? 2 x ? 3

4 .已知等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? a10 ? 0, a11 ? a 4 ? 4 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an , S13 =( )
2

A.78

B.68

C.56

D.52 )

5.抛物线 y ? 8x 的焦点到双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线的距离为( 12 4
3 3
D.

A. 1

B.

3

C.

3 6

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 6..已知点 A(?2, 0) ,点 M ( x, y ) 为平面区域 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 上的一个动点,则 | AM | 的最小 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
值是( A.5 ) B.3 C. 2 2 D.

0 7.如图,已知 | OA |? 1,| OB |? 3, OA ? OB ? 0 ,点 C 在线段 AB 上,且 ?AOC ? 30 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

6 5 5

设 OC ? mOA ? nOB ? m, n ? R ? ,则

??? ?

??? ?

??? ?

m 等于( n



A.

1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 1 页 共 6 页

8.已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ?

?

? ?? ) ? m 在 ?0, ? 上两个零点,则 m 的取值范围为( 6 ? 2?



A. ? , 1?

?1 ?2

? ?

B. ? , 1? ?2 ?

?1

?

C. ? , 1 ? ?2 ? )

?1

?

D. ? , 1?

?1 ?2

? ?

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.

2? 3

B.

4? 3

C.

3? 4

D.

3? 2

10.设 m , n ? R ,若直线 (m ? 1) x +(n ? 1) y ? 2=0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 相切,则 m +n 的取值范围是( ) B. ( ? ?,1 ? 3] ? [1+ 3,+?) D. ( ? ?,2 ? 2 2] ? [2+2 2,+?) ) D.4

A. [1 ? 3,1+ 3] C. [2 ? 2 2,2+2 2]

?( x ? 2)3 ? 2 x ? sin( x ? 2) ? 2, ? 11.设 x , y ? R ,且满足 ? 则x? y?( 3 ? ?( y ? 2) ? 2 y ? sin( y ? 2) ? 6,

A.1

B.2

C.3

? 5 x ?1 ? 1, x ? 0, 12 . 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) ? ? 2 若 关 于 x 的 方 程 ? x ? 4 x ? 4, x ? 0.
f 2 ( x) ? (2m ? 1) f ( x) ? m2 ? 0 有 7 个不同的实数解,则 m =(
(A)2 题号 答案 1 2 3 (B)4 或 6 4 5 6 (C)2 或 6 7 8 9 ). (D)6 10 11 12

二、填空题.本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

1 ? ? ? 13. 已知 a ? ?03 sin xdx , 则 x? x ? ax ? ?
?

7

的展开式中的常数项是

(用数字作答) .

14.已知关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? a ? 8 的解集不是空集,则 a 的最小值是__________。 濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 2 页 共 6 页

15.运行如图所示的程序框图,输出的结果 S ?



16 .已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,且 且 a ? 1) , f ( x ) ? a x g ( x) ( a ? 0 , 则 n 的最小值________. 三、解答题.本大题共 6 小题,满分 70 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f

f ( n) f (1) f (?1) 5 若数列 { } 的前 n 项和大于 62, ? ? . g ( n) g (1) g (?1) 2

? x? ?

? ? ? , 其 中 向 量 m ? ? 2 c ox , m ? n s ?, 1

? n ? cos x, 3 sin 2 x .
(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期与单调递减区间; (2)在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A 、 B 、C 的对边,已知 f ( A) ? 2 ,b ? 1 ,?ABC

?

?

的面积为

3 ,求 ?ABC 外接圆半径 R . 2

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 3 页 共 6 页

18(本小题满分 12 分) .已知公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7 ,且 a1 , a4 , a13 成等比 数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n? N? ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an ? 1
2

19. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 (kx ? k ? 4)( x ? 4) ? 0 ,其中 k ? R .
2

(1)求上述不等式的解; (2) 是否存在实数 k , 使得上述不等式的解集 A 中只有有限个整数?若存在, 求出使得 A 中整数个数最少的 k 的值;若不存在,请说明理由.

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 4 页 共 6 页

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ? 线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 与椭圆 C 相交于 E、F 两点, 且 EF ? 5 . (1)求椭圆 C 的方程;

3 .直 2

(2)点 P ( ?2 ,0), A, B 为椭圆 C 上的动点,当 PA ? PB 时,求证:直线 AB 恒过一个定点. 并求出该定点的坐标.

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? m ln x ? (1)当 m ?

1 1 x ? .? m ? R ? . 2 2x

5 时,求 f ? x ? 的极值; 4

(2)设 A 、 B 是曲线 y ? f ? x ? 上的两个不同点,且曲线在 A 、 B 两点处的切线均与 x 轴 平行,直线 AB 的斜率为 k ,是否存在 m ,使得 m ? k ? 1? 若存在,请求出 m 的值,若不 存在,请说明理由.

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 5 页 共 6 页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一道做答,注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做的第一个题目计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4 一 1:几何证明选讲 如图, 圆 M 与圆 N 交于 A ,B 两点, 以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C , D 两点,延长 DB 交圆 M 于点 E , 延长 CB 交圆 N 于点 F .已知 BC =5, DB =10.

(Ⅰ)求 AB 的长;

(Ⅱ)求

CF . DE

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 2t ? x ? 2 cos? ? 已知直线 L 的参数方程为 ? ,曲线 C 的参数方程为 ? ,设直线 L 与曲 1 y ? ?t ? y ? sin ? ? ? 2
线 C 交于两点 A, B (1)求 AB ; (2)设 P 为曲线 C 上的一点,当 ?ABP 的面积取最大值时,求点 P 的坐标. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 对于任意的实数 a?a ? 0? 和 b ,不等式 a ? b ? a ? b ? M ? a 恒成立,记实数 M 的最大值是

m.
(1)求 m 的值; (2)解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? m



濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 6 页 共 6 页

濉 溪 县 2016 届 高 三 第 三 次 月 考 理科数学试卷参考答案
选择题答案 BBBDA DBCBD -9 DA 15. 62 16. 6 填空题答案 13. 560 14. 17 解: (1)由题意可知

f ( x) ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 …(2 分) 6 ? ? 3? ? 2 k? , k ? Z 得 所以,函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? ? ,由 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 6 2
函数 f ( x ) 的单调递减区间是 ?

?

2? ?? ? ? k? , ? k? ? k ? Z 3 ?6 ?

………….( 5 分)

(2)? f ( A) ? 2,? 2sin(2 A ? 又? ?ABC 的面积为

?
6

) ? 1 ? 2 ,解得 A ?

?
3

, (8 分)

3 1 3 , b ? 1 .得 bc sin A ? ? c ? 2 .……(10 分) 2 2 2

再由余弦定理 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,解得 a ? 3

? c 2 ? a 2 ? b2 ,即△ ABC 为直角三角形.? R ?
18 解(1)设数列 ?an ? 的公差为 d , ? ?

c ? 1 …….(12 分) 2

? a3 ? 7 ? a1 ? 2d ? 7 …(4 分) 2 ?? 2 ? a1 ? a13 ? a4 ?a1 (a1 ? 12d ) ? (a1 ? 3d )

解得: d ? 2 或 d ? 0 (舍) ,? a1 ? 3,

? an ? 2n ? 1 (n ? N * )
( 2 )

(6 分)

bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2 (2n ? 1) ? 1 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

…………. ( 9

分 )

? Sn ?
分)

1 n 1? 1 1 1 1 1 ? 1 )? (n ? N * ) … ( 12 (1 ? ) ? ( ? ) ? ?( ? ) ? ? (1 ? ? n ? 1 4(n ? 1) 4? 2 2 3 n n ?1 ? 4

19.解: (1)当 k ? 0 时, A ? (??, 4) ; ………………1 分

当 k ? 0 且 k ? 2 时,

?k ?

2 ?4 k ………………3 分

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 7 页 共 6 页

4 ? A ? (??, 4) ? (k ? , ??) k ;……………………5 分
(2)当 k ? 2 时, A ? (??, 4) ? (4, ??) ; (不单独分析 k ? 2 时的情况不扣分)

4 A ? ( k ? , 4) k 当 k ? 0 时, .……………….7 分
由(1)知:当 k ? 0 时, A 中整数的个数为无限个;………………9 分 当 k ? 0 时, A 中整数的个数为有限个, ……………11 分

k?
因为

4 ? ?4 k ,当且仅当 k ? ?2 时取等号,

所以当 k ? ?2 时, A 中整数的个数最少。……………12 分

20 解:(1)设椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1 (a>b>0), E ( x1 , y1 ) F ( x2 , y2 ) a 2 b2

e?

c 3 ? a 2

令 a ? 2t , c ? 3t 则 b ? t

? x 2 ? 4 y 2 ? 4t 2 x2 y 2 2 2 ? 2 ? 2 ?1 由? 得: 2 y ? 2 y ? 1 ? t ? 0 ………………(3 分) 4t t ?x ? 2 y ? 2 ? 0

? ? 4 ? 4 ? 2(1 ? t 2 ) ? 0

?t2 ?

1 2
?t 2 ? 1

1 1? t 2 EF ? 1 ? 2 y1 ? y2 ? 1 ? 4 1 ? 4 ? ? 5 k 2
椭圆 C 的方程是:

x2 ? y 2 ? 1 ………………(5 分) 4

(2) 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 AB : y ? kx ? m

A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 )

? x 2 ? 4 y 2 ? 4t 2 2 2 2 得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4(m ? 1) ? 0 ? ? y ? kx ? m

??? ? ??? ? PA?PB ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2 ? km)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 4

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 8 页 共 6 页

? (1 ? k 2 )

4(m2 ? 1) ?8km ? (2 ? km) ? m2 ? 4 ? 0 ………………(7 分) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
(6k ? 5m)(2k ? m) ? 0

?12k 2 ? 5m2 ? 16km ? 0

?m ?

6 k 或m ? 2 k 5 6 6 6 当 m ? k 时, AB : y ? kx ? k 恒过定点 (? , 0) 5 5 5
当 m ? 2 k 时, AB : y ? kx ? 2k 恒过定点 (?2, 0) ,不符合题意舍去…………( 9 分)

6 5 6 4 6 4 则 AB 与椭圆C相交于 A( ? , ? ) , B ( ? , ) 5 5 5 5 ??? ? ??? ? 4 4 4 4 4 4 4 ? PA?PB ? ( , ? )? ( , ) ? ( ) 2 ? (? )( ) ? 0 5 5 5 5 5 5 5 ? PA ? PB ,满足题意 6 综上可知,直线 AB 恒过定点,且定点坐标为 (? , 0) ……………( 12 分) 5
当直线 l 垂直于 x 轴时,若直线 AB: x ? ? 21 解:函数 f(x)的定义域为 ? 0, ??? , f ? ? x ? ?

m 1 1 x 2 ? 2mx ? 1 ? ? 2 ?? x 2 2x 2 x2

1? ? 5 2 x ? 2? ? x ? ? ? x ? x ? 1 5 2? ? 2 (1)当 m ? 时, f ? ? x ? ? ? =? , …………… ( 2 分) 2 2 2x 4 2x
令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x=2 或 x ?

1 , 2

所以,当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 变化情况如下表: x

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

1 2
0

?1 ? ? ,2? ?2 ?
+

2

? 2, ???
-

f ? ? x?
f(x)

0

?

由上表可知 f ? x ?极大

3 5 ? ln 2 4 4 3 5 ? f ? 2 ? ? ? ? ln 2 4 4

?

3 5 ? ? ln 2 4 4

?

?1? 3 5 f ? x ?极小 ? f ? ? ? ? ln 2 ?2? 4 4

…………………… ( 5 分)

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 9 页 共 6 页

(2) 设A(x1 , y1) , B( x2 , y2 ),0 ? x1 ? x2 ,令 g ? x ? ? x ? 2mx ?1,
2

由题意得 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,所以 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? 0 , ∴ x1 , x2 为方程 x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 的两个正根, 故 x1 ? x2 ? 1,且 ? ? 4m2 ? 4 ? 0 ,即 m2 ? 1 ………………… (7 分)

1 1 1 1 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? m ln x1 ? x1 ? ? m ln x2 ? x2 ? 2 2 x1 2 2 x2
= m(ln x1 ? ln x2 ) ?

1 1 1 1 ( x1 ? x2 ) ? ( ? ) 2 2 x1 x2

= m(ln x1 ? ln x2 ) ?

1 1 x ?x ( x1 ? x2 ) ? ? 2 1 2 2 x1 x2
……………… ( 9 分)

= m(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? x2 ) 若存在实数 m 使得 k ? m ? 1 , 则k ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? m ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? 1 ? ?1 ? m , x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2
…………………… ( 10 分)



? ln x1 ? ln x2 ? ? 1

即 ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 又 x1 ? x2 ? 1,0 ? x1 ? x2 ∴ x1 ?

1 ? 2ln x1 ? 0 ??? , 0 ? x1 ? 1 x1
1 t

令 h ? t ? ? t ? ? 2 ln t , t ? ? 0,1?

1 2 ?1 ? h? ? t ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1? ? 0 , t t ?t ?
∴h(t)在(0,1)上单调递增, ∴h(t)<h(1)=1-1-2ln1=0, 即 x1 ?

2

1 ? 2ln x1 ? 0 ,与(*)矛盾, x1
…………………… ( 12 分)

故不存在这样的 m 使 k ? m ? 1

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 10 页 共 6 页

22.(Ⅰ)根据弦切角定理, 知 ?BAC ? ?BDA , ?ACB ? ?DAB , ∴△ ABC ∽△ DBA ,则

AB BC ? , DB BA

故 AB2 ? BC ? BD ? 50, AB ? 5 2 ………………….(5 分) (Ⅱ)根据切割线定理,知 CA2 ? CB ? CF ,

DA2 ? DB ? DE ,
两式相除,得

CA2 CB CF ? ? (*). DA2 DB DE
AC AB 5 2 2 , ? ? ? DA DB 10 2

由△ ABC ∽△ DBA ,得

CA2 1 CF CB 5 1 ? 1.……………..(10 分) ? ? ,由(*)得 ? ,又 2 DE DB 10 2 DA 2
23(1)由已知可得直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 曲线 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

?x ? 2 y ? 2 ? 由 ? x2 ? A(2, 0) , B(0,1) 2 ? ? y ?1 ?4

? AB ? 5

………………..(5 分)

(2)设 P(2cos ? ,sin ?)

d?

2cos ? ? 2sin ? ? 2 5

2 2 sin(? ? ) ? 2 4 ? 5

?

当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 即 ? ?

3? 2 时 d 最大, ? P(? 2, ? ) .………( 10 分) 4 2

24 解: (1)不等式 | a ? b | ? | a ? b |? M ? | a | 恒成立, 即M ?

|a ? b|?|a ?b| 对于任意的实数 a ( a ? 0 )和 b 恒成立,只要左边恒小于或等于右 |a|

边的最小值.………………….(2 分) 因为 | a ? b | ? | a ? b |?| (a ? b) ? (a ? b) |? 2 | a | , 当且仅当 (a ? b)(a ? b) ? 0 时等号成立,即 | a |?| b | 时,

|a ?b|?|a ?b| ? 2 成立, |a|

濉溪县 2016 届高三第三次月考理科数学试卷 第 11 页 共 6 页

也就是

|a ?b|?|a ?b| 的最小值是 2.……………….(5 分) |a|

(2)解不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 . 当 x ? 1 时 , 原 不 等 式 化 为 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 , 解 得 x ?

1 ,所以 x 的取值范围是 2

1 ? x ? 1 . 当 1 ? x ? 2 时 , 原 不 等 式 化 为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 , 得 x 的 取 值 范 围 是 2 5 1 ? x ? 2 .当 x ? 2 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 ,解得 x ? ,…………….(8 分) 2 5 所以 x 的取值范围是 2 ? x ? . 2 1 5 综上所述: x 的取值范围是 ? x ? .……………………(10 分) 2 2

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