当前位置:首页 >> 数学 >>

2013届高二下学期期中考试理科数学


2013 届高二下学期期中考试理科数学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1、设 f ( x ) ?

1 f ( x) ? f (a ) , 则 lim 等于( x?a x x?a 1 2 1 A. ? 2 B. C. ? a a a

b

)

D.<

br />
1 a2

2. 如右图,阴影部分面积为( A. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a

B. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx
a c

c

b

C. ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a c

c

b

D. ? [ g ( x) ? f ( x)]dx
a

b

3.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A( A.90° 4.若复数 z B.60° C.120°

) 。

D.150° )

? (1 ? i)2 ?
B.3

2 ,则 z 的虚部等于( 1? i
C.

A.1 5.抛物线

i

D. 3i )

y ? x2 ? bx ? c 在点 (1, 处的切线与其平行直线 bx ? y ? c ? 0 间的距离是( 2)
B.

A.

2 4

2 2

C.

3 2 2

D.

2


6.证明:

n?2 1 1 1 1 ?1? ? ? ??? ? n ? 1(n ? 1) ,当 n ? 2 时,中间式子等于( 2 2 3 4 2n
B. 1 ?

A. 1

1 2

C. 1 ?

1 1 ? 2 3

D. 1 ?

1 1 1 ? ? 2 3 4

7.已知函数

f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的
) B. [? 3, 3] D. (? 3, 3) ) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
1

取值范围是(

A. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

' 8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ?1) f ( x) ? 0 ,则必有(

C.

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.若数列 {an } 满足, a1

? 1 且 an ? 2an?1 ? 1,则此数列的通项公式为
xf ?( x ) ? f ( x) ? 0 ( x ? 0) ,则不等式 f ( x ) ? 0 的解 x2

10、已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 , 集是 11. ( .

1 ? i 2007 ) ? ______ . 1? i

? y ? x, ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是_____________。 12. x 、 y 满足约束条件 ? ? y ? ?1. ?
13.极坐标系中,曲线 ? ? ?4sin ? 和 ? cos ? ? 1相交于点 A, B ,则 AB = ; 14.如图已知 PA 是圆 O ( O 为圆心)的切线,切点为 A , PO 交圆 O 于 B, C 两点,BC 为圆 O 的直径。

AC ? 3 , ?PAB ? 300 ,则圆 O 的面积为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15(本小题满分 12 分) 已知 a ? (sin x, 1), b ? (2 cos x, 2 ? cos 2 x) ,函数 f ( x) ? a? b 。 (1) 求函数 f (x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值时自变量 x 的集合.
? ? ? ?

16(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2 n ?1

an ?

n * ,a?N . 3

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn an
2

17(本小题满分 14 分) 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥ 平面 ABCD ,PA ? AB ? 2 ,BC ? 4 , E 是 PD 的中点. (Ⅰ )求证:平面 PDC ⊥平面 PAD ; (Ⅱ )求二面角 E ? AC ? D 的余弦值.

18、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

x2 y2 6 19、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距 3 a b 离为 3 .
(Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为

3 ,求△AOB 面积的最大值. 2

20. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) = ln x - px + 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值点; (Ⅱ)当 p>0 时,若对任意的 x>0,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围;

(Ⅲ)证明:

ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ??? 2 ? (n ? N , n ? 2). 2(n ? 1) 22 3 n

3

参考答案
一、选择题 1、A 2、B 二、填空题 9、 3、C 4、B 5、C 6、D 7、B 8、C A B O C 三、解答题 15.解:(1) f ( x) ? a? b = 2 sin x cos x ? 2 ? cos 2 x ,……2 分 即 f ( x) ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ?
? ?

an ? 2 n ? 1

10、 (?1,0) ? (1,??) 14、 ? .

11、i

12、3

P

13、 2 3 ;

?
4

)

……4 分

最小正周期 T ?

2? ? ? ……6 分 2

16.

(II) bn ? n ? 3 , Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ...n ? 3 …………7 分
n 2 3 n

?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? ... ? 3n ? n ? 3n?1 …………9 分
?2Sn ?
Sn ?

3 ? 3n ?1 ? n ? 3n ?1 ,…………11 分 1? 3

n n ?1 1 n ?1 3 ? 3 ? ? 3 ? ? …………12 分 2 4 4

4

17. ) ? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABC ,? PA ? CD .………2 分 (Ⅰ

? AD ? CD . ? ABCD是矩形 , ? CD ? 平面PAD . 而 PA ? AD ? A , CD ? 平面PDC , ?平面PDC ? 平面PAD .
(Ⅱ )设平面 AEC 的法向量 n =

……………4 分 ……………………6 分

?x, y, z ?,令 z ? 1,则 n ? ?x, y,1? .

?x ? 1 ?n ? AE ? 0 ??x, y,1? ? ?0,2,1? ? 0 ?2 y ? 1 ? 0 z ? ? 由? 即? ?? ?? 1 ?n ? AC ? 0 ??x, y,1? ? ?2,4,0? ? 0 ?2 x ? 4 y ? 0 ? y ? ? ? 2 P ?
∴n = ?1,?

? ?

1 ? ,1? . 2 ?

………………11 分 A

E D y

??? ? 平面 ABC 的法向量 AP =(0,0,2) .

cos? n, AP? ?

n ? AP n ? AP

?

2 3 ?2 2

?

2 . 3
2 . 3

B x C ……………………14 分

所以二面角 E ? AC ? D 所成平面角的余弦值是

18.解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 由 f (? ) ?
'

1分 4分

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3 ? ? 0 0 f ' ( x)

f ( x)

?

极大值 ?

极小值

?

所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ?

2 3

2 ,1) ; 7 分 3

5

?c 6 , ? ? 19、解: )设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a (Ⅰ 3 ? b ? 1 ,................................3 分 ? a ? 3, ?

? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1................................4 分 3

(Ⅱ )设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 ...........................5 分 (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m

由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) ................................6 分 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0

? x1 ? x2 ?

3(m 2 ? 1) ?6km , x1 x2 ? ................................8 分 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

1 3 3 .........................14 分 ? ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2

20. )证明: (Ⅲ

ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ??? 2 ? (n ? N , n ? 2). 2(n ? 1) 22 3 n

解: (1)? f ( x) ? ln x ? px ? 1,? f ( x)的定义域为 0,??) , (

6

f ?( x) ?

1 1 ? px ?p? x x

…………1 分

当 p ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,??) 上无极值点 …………2 分 当 p>0 时,令 f ?( x) ? 0, x ? ?

1 ? (0,??), f ?( x)、f ( x)随x 的变化情况如下表: p

x

(0,

1 ) p

1 p
0 极大值

1 ( ,+ p
- ↘

)

f '( x)
f ( x)

+ ↗

从上表可以看出:当 p>0 时, f ( x ) 有唯一的极大值点 x ?

1 p

………………5 分

, (Ⅲ )令 p=1,由(Ⅱ )知, ln x ? x ? 1 ? 0,? ln x ? x ? 1 ? n ? N , n ? 2
∴ln n ? n ? 1 ,
2 2



ln n 2 n 2 ? 1 1 ? ? 1? 2 2 2 n n n

…………9 分



ln 2 2 ln 32 ln n 2 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) 2 2 3 n 2 3 n
1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ) 2 2 3 n

? (n ? 1) ? (

? (n ? 1) ? (

1 1 1 ? ??? ) 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 2n 2 ? n ? 1 ? (n ? 1) ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) ? (n ? 1) ? ( ? )? 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1 2(n ? 1)
∴ 结论成立 …………………14 分

7


相关文章:
2013届高二下学期期中考试理科数学
2013 届高二下学期期中考试理科数学一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1、设 f ( x ) ? 1 f ( x) ? f (a ) , 则 lim ...
2013年高二下学期期中考试理科数学
哈师大附中 2013高二下学期期中考试 数学理科试卷第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是...
2013年下学期期中考试高二(理科)数学
益阳市第十七中学 2013下学期期中考试 高二(理科)数学试卷(问卷)时量 120 分钟一. 选择题(每小题 4 分,共 32 分) y y y 0.5 y 0.5 O 0.5 x...
2013届高二下学期期中考试数学(理科)
2013 届高二下学期期中考试 数学(理)一.选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.复数 z ? 1 ? 1 对应的点在( i3 ) c.第三象限 D.第四象限 ) A.第一...
2013届高二第二学期期中考试数学(理科)试题
2013 届高二第二学期期中考试数学(理科)试题一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的...
2012-2013学年度第二学期高二数学期中考试试题及答答案
2012-2013学年度第二学期高二数学期中考试试题及答答案_数学_高中教育_教育专区。高二数学期中考试试题答案详细2012--2013 学年第二学期期中考试 高二年级数学(理科)...
高二下学期理科数学期中考试题有答案
高二下学期理科数学期中考试题有答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。集宁一中...哈三中2013-2014学年度高... 7页 免费 华师一2012届高二下学期... 9页 ...
高二下学期期中考试数学试题(理科)
高二下学期期中考试数学试题(理科)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。期中考试 高二下学期期中考试数学试题(理)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,...
2012-2013高二数学下期中试卷及答案理科
2012-2013 学年 2014 届高二下学期期中考试数学理科试题命题人:钟时泉 审题人: 陈彪 考试用时:120 分钟 一、选择题(本大题共 8 小题;每小题 5 分,共 40...
更多相关标签:
高二理科数学期中考试 | 高二理科数学期中测试 | 高二下学期数学 | 高二下学期数学知识点 | 高二下学期数学练习册 | 高二数学期中考试 | 高二上数学期中考试 | 高二数学期中考试试卷 |