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高中数学选修4-4知识点归纳


高中数学选修 4-4 知识点总结
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:
1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的 区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极

点或圆心在极点的圆)的方程 .通过比 较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程, 理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的 意义. 2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结:

?x ? ? ? ? x, (? ? 0), 1. 伸缩变换: 设点 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换 ? : ? 的作用下, ? y ? ? ? y , ( ? ? 0 ). ? 点 P( x, y) 对应到点 P?( x?, y ?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选 定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个 极坐标系。 3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ; 以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? 。有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ? ,? ) . 极坐标 ( ? ,? ) 与 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R ) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称,即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时, 极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的。

5. 极坐标与直角坐标的互

? 2 ? x2 ? y2 ,
y ? ?sin? ,

x ? ?cos? , y tan? ? ( x ? 0) x

化:

-1-

6。圆的极坐标方程: 在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C (a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

? 在极坐标系中,以 C (a, ) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ; 2
7.在极坐标系中, ? ? ? ( ? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线; ? ? ? ( ? ? R ) 表示过极点的一条直 线. 在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .

8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

? x ? f (t ), 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y) 都在这条曲线上,那么这 ? ? y ? g (t ), 个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

? x ? a ? rcos? , 9.圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . ? y ? b ? rsin? . ? x ? acos? , x2 y2 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的参数方程可表示为 ? (?为参数) . a b ? y ? bsin?.
? x ? 2 px 2 , (t为参数 ) . 抛物线 y 2 ? 2 px 的参数方程可表示为 ? ? y ? 2 pt . ? x ? x o ? tcos ? , 经过点 M O ( xo , yo ) ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程可表示为 ? ( t 为参数). ? y ? y o ? tsin? .

10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中, 必须使 x, y 的取值范围保持一致.

-2-


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