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高三立体几何复习讲义:多面体与旋转体


多面体与旋转体
一、棱柱 1、 由几个多边形围成的封闭的几何体叫做多面体。 2、 两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成 的多面体叫做棱柱。棱柱的互相平行的两个面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,相邻的两 个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,两个底面间的距离叫做棱柱的高。 棱柱的基本性质: (1) 棱柱的侧面都是平行四边形。 (2) 棱柱的两个底面及平行于底面的截面都是全等的多边形。 3、 侧棱与底面不垂直的的棱柱叫做斜棱柱。 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 性质: (1) 直棱柱侧面都是矩形。 (2) 直棱柱侧棱与高相等。 (3) 正棱柱的侧面都是全等的矩形。 4、 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体。 底面是矩形的直棱柱是长方体。 长方体的对角线平方等于三边长的平方和。 5、 夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都 相等,那么这两个几何体的体积相等。 6、 V棱柱 ? S底 ? h .

二、棱锥 1、有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥。棱锥 的这个多边形的面叫做底面,其余各个三角形的面叫做侧面。相邻的两个侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高。 棱锥的基本性质: 如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截,那么: (1) 侧棱和高被这个平面分成比例线段;
1

(2) 截面和底面都是相似多边形; (3) 截面面积与底面面积之比,等于顶点到截面与顶点到底面的距离平方之比。 2、如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这个棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质: (1) 各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。 (2) 正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形。 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。 3、各个面都是全等的等边三角形的三棱锥称为正四面体。 正多面体:
类型 正 4 面体 正 6 面体 正 8 面体 正 12 面体 正 20 面体 面数 4 6 8 12 20 棱数 6 12 12 30 30 顶点数 4 8 6 20 12 每面边数 3 4 3 5 3 每顶点棱数 3 3 4 3 5

4、 V棱柱 ?

1 S ?h 3 底

三、圆柱、圆锥与球 将矩形 ABCD(及其内部)绕其一条边 AB 所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆柱,AB 所在直线 叫做圆柱的轴, 线段 AD 和 BC 旋转而成的圆面叫做圆柱的底面, 线段 CD 旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面, CD 叫做圆柱侧面的一条母线,圆柱的两个底面间的距离(即 AB 得长度)叫做圆柱的高。

S侧 ? 2? rh , S全 ? 2? rh ? 2? r 2 , V ? ? r 2 h
将直角三角形 ABC(及其内部)绕其一条直角边 AB 所在直线旋转一周,所形成的几何体叫做圆锥,AB 所在直线叫做圆锥的轴,点 A 叫做圆锥的顶点,直角边 BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面,斜边 AC 旋转 而成的曲面叫做圆锥的侧面,斜边 AC 叫做圆锥侧面的一条母线,圆锥的顶点到底面间的距离(即 AB 的长 度)叫做圆锥的高。

1 S侧 ? ? rl , S全 ? ? rl ? ? r 2 , V ? ? r 2 h 3
将圆心为 O 的半圆(及其内部)绕起直径 AB 所在的直线旋转一周,所形成的几何体叫做球,半圆的圆 弧所形成的曲面叫做球面,易知,点 O 到球面上任意点的距离都相等,把点 O 称为球心,把原半圆的半径 和直径分别称为球的半径和球的直径。 平面上的两点之间线段最短,该线段的长度就是两点之间的距离,类似地,要定义球面上两点之间的距 离,也应该在球面上找到联结两点的最短路径,该路径的长度就是球面上亮点之间的距离。可以证明,在
2

联结球面上亮点的路径中,通过该两点的大圆劣弧最短,因此该弧的 长度就是这两点的球面距离。

4 3 S表 ? 4? r 2 , V ? ? r 3
M

O

N

一、选择题 1、正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,侧棱与底面所成的角为 60 ? , 棱锥的体积为( A.3 B.6 ) C.9 D.18

P

则该

D

60
C O
B

【解:如图, PO ? PC sin 60? ? 2 3

3 ? 3; 2

A

1 OC ? PC cos 60? ? 2 3 ? 3, 2 2 S AC ? BD OC ? 2OC ? 6, 1 ?VP ? ABCD ? S AC ? PO ? 6. 3
故选 B】

ABC 内的射影为 △ ABC 的中心,则 2、已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面

AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于(
A.



B1
1 3
B.

C1
A1

2 3

C.

3 3

D.

2 3
E

【解:B,由题意知三棱锥 A 1 ? ABC 为正四面体,设棱长为

a , 则
C

AB 1 ? 3 a











B
O
A

2 3 2 6 AO ? a 2 ? AO2 ? a 2 ? ( ? a) ? a (即点 B1 1 3 2 3
ABC 的距离) ,故 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为

到 底 面

A1O 2 .】 ? AB1 3

3

3、已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角

D1

C1
的余弦值



3 ,则该正四棱柱的体积等于( 3
(B)2 (C)4 (D)6

A1


B1

(A)3

D

C
B

?a 2 ? a 2 ? h 2 ? 6 ?a ? 1 ? ? 【答案选(B) :由题意, ? , , ? 2a 3 ? ?h ? 2 ?cos ? ? 3 6 ?

A

? V ? a2h ? 2 】
4、设 M 、 N 是球 O 的半径 OP 上的两点,且 NP ? MN ? OM ,分别过 N 、 M 、 O 作垂直于 OP 的 面截球得三个圆,则这三个圆的面积之比为: (A) 3 : 5 : 6 (B) 3 : 6 : 8 (C) 5 : 7 : 9 (D) 5 : 8 : 9 比即为半

【解:由题知, M 、 N 是 OP 的三等分点,三个圆的面积之 径的平方之比.在球的轴载面图中易求得:

R 8R 2 2R 5R 2 , R 2 ? ( )2 ? ,故三个圆的半径的平 R 2 ? ( )2 ? 3 9 3 9

O

M

N

P

方之比为:

8 5 R 2 : R 2 : R 2 ,故本题选 D. 】 9 9
D1

C1

5、 长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的各顶点都在半径为 1 的球面上,


A1



A :
A.

B

1

?:

(A ) A,2 B 点的球面距离为 A ,则两 D : A 1 C.

:
A

D

O

B1
C

3
B

? 4

B.

? 3

? 2

D.

2? 3

,则有 【解:设 AB ? 2a, AD ? a, AA 1 ? 3a

? 2R ?

2

? AC 2 ? AB 2 ? AD 2 ? AA12 ? 8a 2 ,

? R ? 2a ,即有 AO ? BO ? 2a, 而AB ? 2a,??AOB ?
又因为R =1,故AB的球面距离为 . 】 2

?
2

,
P

?

6、 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的 在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是
4

三个顶点

A

C O
B

A.

3 3 3 B. 4 3

C.

3 4 AO ?

D.

3 12

【解:设底面边长为 a,

2 3 a ? 1,? a ? 3; 3 2

? S底 =

1 3 3 3 1 3 ,?VP ? ABC ? S底 PO ? 。故选 C。 】 a a? 2 2 4 3 4

7、两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体,可放棱长为 1 的正方体内,使正四棱锥的底面 ABCD 与正 方体的某一个平面平行,且各顶点 均在正方体的面上,则 ... 几何体体积的可能值有 (A)1 个 (C)3 个 (B)2 个 (D)无穷多个 正四棱 长的一 问题转 这样的

【解:由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在 锥底面正方形 ABCD 中心,由对称性知正四棱锥的高为正方体棱 半, 影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形 ABCD 的面积, 化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种,所以选 D.】

8、设地球半径为 R ,北纬 30 圈上有 A, B 两地,它们的经度相

0



1200 ,则这两地间的纬度线的长为(
(A)



2? R 3

(B)

?R
6

(C)

3? R 3

(D)

?R
3

O'

A
O

r B
30 o

R
赤道

3 R, 【解: r ? R cos 30? ? 2 2 3? R ? AB两地的纬线长为 ? r ? 3 3 。
提示:这里要求掌握经度和纬度这两个概念。 】

二、填空题 9、下面是关于三棱锥的四个命题:
5

①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中, 真命题的编号是_____________. (写出所有真命 号) 【解:正确的命题为①④, ②的反例:△ABC 为正三角形,侧面中 AB=AP=AC, PB=PC≠AP,满足侧面都是等腰三角形,但不是正三棱

P A

题的编

C

B

P

锥。

③的反例:△ABC 为正三角形,三个侧面的高相等,所以满 积都相等, 但顶点 P 在底面的射影 O 落在△ABC 外, 是△ABC 而不是中心,所以 P-ABC 是斜三棱锥。 】 10、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,

足侧面
B
O

的旁心,

A
C

如两组

对边分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件①两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等; 充要条件② 对角线交于一点;底面是平行四边形;

(写出你认为正确的两个充要条件)

11、 (09 上海高考题)已知三个球的半径 R1 , R2 , R3 满足 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,则它们的表面积 S1 , S 2 , S 3 满足 的等量关系是 .
2 2 2

【解:因为 R1 ? 2R2 ? 3R3 ,即: R1 ? 2 R2 ? 3 R3 ,两边同乘上 4? 有 4? R1 ? 2 4? R2 ? 3 4? R3 ,所以有 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 . 】
2 2 2

12 、 若 一 条 直 线 与 一 个 正 四 棱 柱 各 个 面 所 成 的 角 都 为 ? , 则

cos? =______
【解: 不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时, 相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等 ,即为体对角线与 方体所成角.故 cos ? ?

D1
A1
D

C1

B1
C
B

为 与 该 正

2 6 .】 ? 3 3
6

A

13 、 圆 柱 的 侧 面 展 开 图 是 边 长 为 2? 和 3? 的 矩 形 , 则 圆 柱 的 体 积 为 。
2

2?

【解: (1)若底面周长为 2? ,则圆柱高为 3? ,圆柱的体积为 3? ; (2)若底面周长为 3? ,则圆柱高为 2? ,圆柱的体积为 ? ; 】
2

3?

9 2

14、若圆锥的全面积是底面积的三倍,则它的侧面展开图的圆心 角是 。
2

P

【解:如图,设底面半径为 r ,侧面母线为 a ,则底面积为 ? r , 侧面积为

? ra , 所 以 表 面 积 S ? ? r 2 ? ? ra ? ? r (r ? a) , 又

F
A

E

? r (r ? a ) ? 3 , 则 a ? 2r , 所 以 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为 ? r2 2? r 2? r ? ?? 。 】
a 2r

G
B

60 ?

O
C

D

15、已知半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则此 六棱锥的侧面积是________. 【解:显然正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面的外接圆是球的一个大 于是可求得底面边长为 2,又正六棱锥 P ? ABCDEF 的高依题意可 为 2,依此可求得 6 7 】
A

P



a
r
O
B

圆, 得

16、 (2010 春考题)在右图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径 为 40cm,母线长最短 50cm,最长 80cm,则斜截圆柱的侧面面积 S=______cm2。 【解:2600 ? ; 】
50cm 80cm

17、若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有 一个内角为 60°的菱形,则该棱柱的体积为
7

40cm

AB 的高,与 AB 交于 D , 【解:如图,依题意可知, A 1 ? ABC 为棱长为 2 的正四面体,过点 A 1作

? A1 D ?

3 A1 A ? 3, 2 2 2 3 2 6 A1D ? ,? A1O ? A1 A2 ? AO 2 ? , 3 3 3 1 1 2 6 A1O ? AB A1D A1O ? ? 2 ? 3 ? ?2 2 2 2 3

C1

? AO ?

A1
C
A

B1

?V ? S

ABC

O
D
B

】 18、有两个相同的直三棱柱,高为

2 ,底面三角形的三边长分别为 3a,4a,5a(a ? 0) 。用它们拼成一个三 a

棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是__________。 【解:两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱 柱或四棱柱,有三种情况:四棱柱有一种,就是 边长为 5a 的边重合在一起, 表面积为 24 a +28, 三棱柱有两种,边长为 4 a 的边重合在一起,表 面积为 24 a +32,边长为 3a 的边重合在一起,
2 2

2 a

4a 5a

3a

2 a

4a 5a

3a

表面积为 24 a +36 ,两个相同的直三棱柱竖直 放 在 一 起 , 有 一 种 情 况 表 面 积 为 12 a
2

2

+48 。 最 小 的 是 一 个 四 棱 柱 , 这 说 明

24a 2 ? 28 ? 12a 2 ? 48 ? 12a 2 ? 20 ? 0 ? a ?

15 】 3

三、解答题: 19、在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平 面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 . (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小(结 E
8
? ?

P

D O C

A B

果用反三角函数值表示) . 【解(1)在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO⊥平面 ABCD,得 ∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在 Rt△AOB 中 BO=ABsin30°=1, 由 PO⊥BO, 于是,PO=BOtg60°= 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 . ∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=

1 ×2 3 × 3 =2. 3

(2)取 AB 的中点 F,连接 EF、DF.由 E 是 PB 的中点,得 EF∥PA, ∴∠FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角(或它的补角), 在 Rt△AOB 中 AO=ABcos30°= 3 =OP,于是, 在等腰 Rt△POA 中,PA= 6 ,则 EF=

6 . 2

在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF= 3 ,

1 6 EF 2 2 ? 4 = cos∠FED= DE 3 4
∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos

2 .】 4

20、地球上北纬 30 ? 圈上有两地,它们的经度相差 120 ? ,设地球的半径为 R ,求 A 、 B 两地间的球面距 离. 【解: BO1 ? AO1 ? AO cos30? ?
2 2 2

3 R, 2

∴ AB ? AO1 ? BO1 ? 2 AO1 ? BO1 ? cos120?

?

3 2 3 2 3 3 1 9 R ? R ? 2? R? R ? (? ) ? R 2 , 4 4 2 2 2 4
2 2 2

9 R2 ? R2 ? R2 3 AO ? BO ? AB 1 4 ∴ AB ? R ,则 cos?AOB ? ? ?? , 2 2 AO ? BO 2R ? R 8 1 即 ?AOB ? ? ? arccos , 8 1 ∴ A 、 B 两地间的球面距离为 (? ? arccos ) R . 】 8

9

21、分别以直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴。旋转这个直角三角形所得的三个旋转体的体积为

V ,V1 ,V2 求证:
1 1 1 ? 2? 2 2 V V1 V2
【证明:如图,

?A ? 90 ,? ah ? bc.

?h ?

bc a
2 2 2 4 4

? ?? ? ?? ? ? bc V 2 ? ? h 2 BD ? h 2CD ? ? ? h 2 a ? ? , 3 9a 2 ?3 ? ?3 ?
2 4 2 ?1 ? ? bc V12 ? ? ? b 2 c ? ? , 9 ?3 ? 2 2 4 ?1 ? ? bc V ? ? ? c 2b ? ? , 9 ?3 ? 1 1 9 9 ? 2? 2 ? 2 4 2? 2 2 4 V1 V2 ? b c ? b c 2 2 2 2

B
c
h

a

D
C

A

b

?


9 ? c2 ? b2 ? 9a 2 1 ? ? 2 2 ? 4 4 ? 2 4 4 ? ? bc ? ? bc V

22、如图所示,一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点 A 沿圆锥体的表面匀速爬行一周,又绕回到点 A .已知该 圆锥体的底面半径为 r ,母线长为 3r ,试问小蚂蚁沿怎样的路径如何爬行,才能最快到达点 A ?并 求出该路径的长. 【解:设 ?AVA1 ? ? ,即
2 2 2

∴ AA1 ? VA ? VA1 ? 2VA ? VA1 cos

? 2? ? r 2? ? ,? ? , 2? 2? ? 3r 3 2?
3 2? ? 27 r 2 ,即 AA1 ? 3 3r , 3

? (3r ) 2 ? (3r ) 2 ? 2 ? 3r ? 3r ? cos

则小蚂蚁沿线段 AA ,能最快到达点 A ,且该路径的长为 3 3r . 1 爬行(如图) 】 23、将一个半径为 18 cm 的圆形铁板剪成两个扇形,使两扇形面积比为 1 : 2 ,再将这两个扇形分别卷成圆 锥,求这两个圆锥的体积比. 【解:设较小的扇形面积为 S1 cm ,卷成圆锥后底面半径为 r1 cm 、高为 h1 cm 、体积为 V1 cm ;较大的 扇形面积为 S 2 cm ,卷成圆锥后底面半径为 r2 cm 、高为 h2 cm 、体积为 V2 cm ,
2 3 2 3

10

1 ? ? 182 S1 1 2? 4? 1 ∵ ,? ? , ? ,即 ? ? 2? , ? ? ? ,∴ 2 1 3 3 2 S2 2 2 ? ? 18 2 2? 又 2? ? r1 ? 18 ? ,即 r1 ? 6cm ;同理 r2 ? 12cm , 3
2 2 2 2 ∴ h1 ? 18 ? r1 ? 12 5cm ,同理 h2 ? 18 ? r2 ? 6 5cm ,

1 2 ?r ? h V1 3 1 1 36 ? 12 2 10 ∴ . ? ? ? V2 1 2 10 144 ? 6 5 ?r2 ? h2 3
】 24、用 2? 平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器(如图) . (1)试建立圆锥的高 h 关于圆锥的底面半径 r 的函数 h ? f (r ) 的解析式; (2 ) 当 r 为何值时, 容器的容积最大?并求出圆锥形容器的最大值 (设 过程中,材料无损耗,且材料的厚度忽略不计) . 【解: (1)由题意, ?r ?
2

在 制 作

1 h 2 ? r 2 ? 2?r ? 2? , 2

∴ r 2 ? r h 2 ? r 2 ? 2 ,即 h ?

2 1? r 2 ( 0 ? r ? 1) ; r

(2) V ?

1 1 2 1? r 2 2 2 1 1 ? ?r 2 ? h ? ? ?r 2 ? ? ?r 1 ? r 2 ? ? ? (r 2 ? ) 2 ? , 3 3 r 3 3 2 4

又 0 ? r ? 1 ,∴当 r ? 】

? 2 时, Vmax ? (立方米) . 3 2

11


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