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空间向量及其运算(四)共线与共面分析


空间向量(四)

康易 制作

1

空间向量及其运算(四)共线与共面分析
复习引入 空间向量 基本定理

例1

例2

课外补充 练习
2

空间向量及其运算(四)共线与共面分析
上一节,我们发现: AB

1.空间一点 P 在直线??? 上的充要条件是 ? ??? ? ________________________________. ? 唯一实数 t ? R, 使 AP ? t AB

或对空间任意一点,存在唯一 ??? ??? ??? ? ? ? 实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t AB .

A?
O

?

?

l

B P

2.空间一点 P 位于平面 ABC 上的充要条件是 ??? ??? ? ??? ? ? ________________________________________________. ? 唯一有序实数对 ( x, y ) ,使 AP ? x AB ? y AC .

或对空间任意一点 O, 存在唯一有序实数对 ( x, y) , ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? 使 OP ? OA ? x AB ? yAC .

C

P

A

B

O
3

另外,我们还发现: B 对于两个不同点 A 、 和直线 AB 外一点 O ,空间一点 ??? ??? ??? ? ? ? P 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ,则点 P 在直线 AB 上的充 要条件是 x ? y ? 1 . (课本 P95 思考) B C 试证明:对于不共线的三点 A 、 、 和平面 ABC 外的 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x ? y ? z ? 1 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 证明:⑴充分性 ∵ OP ? xOA ? yOB ? zOC ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 可变形为 OP ? (1 ? y ? z)OA ? yOB ? zOC , ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) ??? ? ??? ? ??? ? ∴ AP ? y AB ? z AC B C ∴点 P 与 A 、 、 共面.
4

试证明:对于不共线的三点 A 、 、 和平面 ABC 外的 B C ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP ? xOA ? yOB ? zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x ? y ? z ? 1 . 证明:⑴充分性 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ∵ OP ??? ???? ??? 可变形为 OP ??? ? y ???? ? yOB ? zOC , xOA yOB ? ? zOC ??? ??? ? (1 z)OA ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) ∴ AP ? yAB ? z AC
B C ∴点 P 与 A 、 、 共面.

B C 内, ⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC??? 不共线的三点 A 、 、 ? ??? ? ??? ? ∴存在有序实数对 (m,?n)??? AP ? mAB ? nAC ??? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? 使 ??? ? ??? ? ? ? ∴ OP ? OA ? m(OB ? OA) ? n(OC ? OA) ∴ OP ? (1 ? m ? n)OA ? mOB ? nOC ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ∵ OP ? xOA ? yOB ? zOC . ??? ??? ??? ? ? ? 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA 、 、 不共面, OB OC ∴ x ? 1 ? m ? n, y ? m, z ? n , ∴ x ? y ? z ? 1

得证.

为什么?

5

类比平面向量的基本定理,在空间中应有一个什么结论?
平面向量的基本定理: ?? ?? 如果 e1 , e2 是平面内两个不共线的向量,那么对于这 ? 一平面内的任一向量 a ,存在唯一的一对实数 t1 , t2 使 ? ?? ?? a ? t1 e1 ? t2 e2 . ?? ?? ? e2 a C ?? M e2 ?? ? ?? a ??
e1
O N

e1

?? ?? ??? ???? ??? ? ? ? ? 对向量 a 进行分解, OC ? OM ? ON ? t1 e1 ? t2 e2
6

? ? ? 如果三个向量 a 、 、c 不共面,那么对于空间任一向 b ? ? 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ? x, y, z? 使 ? ? ? ? ? 证明思路:先证存在 p ? xa ? yb ? zc .

类似地,有空间向量基本定理:

? b E

p
O C? B

A

? ? 对向量 p 进行分解,

? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OB ? ??? ? OC ? OD ? OE D ?BA ? ? c p

? ? ? 作 AB // b, BD // a, BC // c

? xa ? yb ? zc
然后证唯一性

注:空间任意三个不共面向量都可以构成空
? ? ? 间的一个基底.如: a , b, c

a

?

?

推论

7

推论:设点O、A、B、C是不共面的四点,则 对空间任一点P,都存在唯一的有序实数对 x、 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? y、z使 OP ? xOA ? yOB ? zOC O

C
A P B

例1

例2

例3

8

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1 N C1

A B

D

分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可.

M

C
9

答案

练习

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1

N
A M B

C1 D

解: 连AN, 则MN=MA+AN 1 1 MA=- 3 AC =- 3 (a+b)

C

AN=AD+DN=AD-ND 1 = 3 (2 b + c ) ∴MN= MA+AN
=
1 (- 3
10

a + b + c )

练习 .空间四边形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c

点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则 MN=( ). 1 a -2 b +1 c O (A)
2 3 2 2 1 b + 1c (B)- 3 a + 2 2 1 1b - 2c (C) 2 a + 2 3 2 2 b- 1c (D) 3 a + 2 3
11

M A N C

B

例3

例2(课本例)如图,已知平行四边形ABCD,从平 ??? ? ???? ??? ???? ? 面AC外一点O引向量 OE ? kOA , OF ? kOB,
???? ???? ???? ? ??? ? OG ? kOC , OH ? kOD ,

求证: ⑴四点E、F、G、H共面; ⑵平面EG//平面AC.

12

(1)答案

(2)答案

例2 (课本例)已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面; ②平面AC//平面EG. 证明: ∵四边形ABCD为 ① ∴AC ? AB ? AD (﹡)
D

O

EG ? OG ? OE? kOC ? kOA

C

? k (OC ? OA)? kAC ? k ( AB ? AD) (﹡)代入 ? k (OB ? OA ? OD ? OA)

A
H

B
G

? OF ? OE ? OH ? OE E F ? EF ? EH 所以 E、F、G、H共面。
13

例2 已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;

②平面AC//平面EG。
证明: EF ②

? OF ? OE ? kOB ? kOA

O

? k (OB ? OA) ? kAB 由①知 EG ? kAC
? EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得:
A
H

D

C

B
G

面EG // 面AC

E

F
14

课外补充练习:

A 1.对于空间任意一点O,下列命题正确的是:
??? ??? ? ? ???? (A)若 OP ? OA ? t AB ??? ??? ???? ? ? (B)若 3OP ? OA ? AB ??? ??? ? ? ???? (C)若 OP ? OA ? t AB ??? ? ??? ???? ? (D)若 OP ? ?OA ? AB

,则P、A、B共线 ,则P是AB的中点 ,则P、A、B不共线 ,则P、A、B共线

2.已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点

???? ? ??? ? 1 ??? 1 ???? ? O, OM ? xOA + OB + OC , 则x的值为( ) D 3 3 1

( A)1

( B)0
107

(C )3

( D)

作业:课本 P

3
15

B 组第 2 题

课外补充练习:

1.下列说明正确的是: D (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线

(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是:C (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
16

补充练习:已知空间四边形OABC,对角线OB、 AC,M和N分别是OA、BC的中点,点G在MN ??? ??? ??? ? ? ? 上,且使MG=2GN,试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG

?

?

O

解:在△OMG中, ???? ??? ? ?
??? ???? ???? 1 ? ? ? 2 OG ? OM ? MG ? 2 OA ? 3 MN
? ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 6 3 3

M
G

C N

A B

? ? 1 ??? 2 ???? ???? ? OA ? (ON ? OM ) 2 3

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