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第四单元 函数与分析


“第四单元

函数与分析”
胡浩

单元教学设计
北虹初级中学
一、教材分析 “函数与分析”单元的主要内容: ①平面直角坐标系、两点间的距离公式 ②函数的概念,函数的表示方法 ③正比例函数与反比例函数的概念、图像及性质 ④一次函数的概念、图像、基本性质及简单应用 ⑤二次函数的概念、图像、图像特征及基本性质 二、

近几年中考对本单元内容考查的分析 近几年上海中考中“函数与分析”的考查主要体现在: 考点 1:与平面直角坐标系有关的基本概念 1. (2000 年上海)点 A(1,3)关于原点的对称点坐标是 答案: (-1,-3) 本题考查坐标变换规律. 2. (2007 年上海)如图 1,在直角坐标平面内,O 为原点,点 A 的坐标为(10,0) ,点 B 在 第一象限内,BO=5, sin ?BOA ? .

3 . 5

y B

求: (1)点 B 的坐标; (2) cos∠BAO 的值.

3) ; 答案: (1) (4, (2)

2 5 . 5

O
图1

x

本题考查点的坐标含义的理解. 考点 2:与函数有关的基本概念 1. (2006 年上海)函数 y ? 答案: x ≠ 3 本题考查函数定义域的确定. 2. (2008 年上海)已知函数 f ( x) ? 答案: 3

1 的定义域是__________. x?3

x ? 1 ,那么 f (2) ?



本题考查对函数和函数值的理解以及如何通过代入计算求得函数值. 考点 3:函数的图像、性质及解析式的确定 1. ( 2007 年上海)如图 2,正比例函数图像经过点 A ,该函数解析式 是 .

y

3

A

答案: y ? 3x 本题考查数形结合的思想, 能识别图像中的点的坐标并将其代入解析 式,运用待定系数法加以解决. 2. (2008 年上海)在平面直角坐标系中,如果双曲线 y ?

O
图2

1

x

k (k ? 0) 经过点 (2, ? 1) ,那么 x

k?
答案: ?2



本题考查反比例函数的图像,熟悉反比例函数解析式中的系数 k. 3. (2008 年上海)在图 3 中,将直线 OA 向上平移 1 个单位,得到一 个一次函数的图像,那么这个一次函数的解析式是 . 4 3 2 1 O 1 2 图3 x y A

中,将直线 OA 向上平移 1 个单位,得到一个一次函数的图像,那么 这个一次函数的解析式是 答案: y ? 2 x ? 1 .

本题考查一次函数的概念、熟悉一次函数的解析式、知道一次函数的图像和性质,并会 利用一次函数的图像和性质的关系求一次函数的解析式. 4. (2008 年上海)如图 4, 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点.二次函数 y ? ? x ? bx ? 3
2

的图像经过点 A(-1,0) ,顶点为 B. (1)求这个二次函数的解析式,并写出顶点 B 的坐标;

y

0) ,AE⊥BC,垂足为点 E,点 D 在 (2)如果点 C 的坐标为 (4,
直线 AE 上,DE=1,求点 D 的坐标. A

1 1
图4 x

?1 O

, 4) ; 答案: (1) y ? ? x ? 2 x ? 3 ;B (1
2

3) 或 ? , ? . (2) (3,
本题考查会用待定系数法求二次函数的解析式; 会用配方法或公式法求二次函数的顶点 坐标.

?7 9? ?5 5?

考点 4:函数的简单运用 1.(2003 年上海) 已知:一条直线经过点 A(0,4) 、点 B(2,0) ,如图 5,将这条直线 向作平移与 x 轴负半轴、y 轴负半轴分别交于点 C、点 D,使 DB=DC.求:以直线 CD 为图 像的函数解析式. 答案:y=-2x-4

2.(2000 年上海)已知二次函数 y ?

1 2 x ? bx ? c 的图像经过点 A 2

(-3,6) ,并与 x 轴交于点 B(-1,0)和点 C,顶点为 P.
图5

(1)求:这个二次函数的解析式;

(2)设 D 为线段 OC 上的一点,满足∠DPC=∠BAC,求点 D 的坐标.

答案: (1) y ? 三、课时的划分

1 2 3 5 x ?x? ; (2) ( ,0) 2 2 3

本单元共分五个课时: 第一课时为平面直角坐标系与函数的有关概念 第二课时为正比例函数与反比例函数 第三课一次函数 第四课二次函数 第五课函数的应用 四、分课时设计

第 22 课时
【复习要求】 主要内容

平面直角坐标系与函数的有关概念
钟山初级中学 施雯叶 课标要求 知道 理解 掌握 运用

平 面 直 角 坐 标 系

有关概念、直角坐标平面上的点与有序 实数对的一一对应关系 根据点确定坐标,根据坐标确定点 两点的距离公式 直角坐标平面上点的平移、对称以及简 单图形的对称问题 变量、自变量 意义

函 数 的 有 关 概 念

函 数 的 概 念

函数定义域以及函数值的意义 自变量的值与函数值之间的对 应关系 求简单函数的定义域 求函数值 常值函数

函数的几种常用的表示方法:解析法、 列表法、图像法

y ? f ( x)的含义

【教学重点、难点】 重点:直角坐标平面内点与坐标的对应关系;体会函数的意义。 难点:两点的距离公式的应用;函数的表示方法。 【教学过程】 1. 平面直角坐标系的有关概念 例 1(2004 上海)已知 a ? b ? 0 ,则点 A (a ? b, b) 在第________象限. 答案:三 说明:注意根据点的横、纵坐标的符号来判断这个点所在的象限。 例 2 点 P(-2009,1)的横坐标是 答案:-2009;1; 说明: 在直角坐标平面内点 P 分别作点到 x 轴与 y 轴的垂线段, 得到垂足在坐标轴上所对应 的实数,再由这两个实数按(x,y)组成有序数对,即为这个点的坐标。 例3 已知点 A(-1,2)和点 B(3,2) ,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C,那么 ,纵坐标是__________。

点 C 的坐标是______________。 答案: (1,0) 说明:线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等,可以用两点的距离公式求出 AC=BC。 同源题选: 1. 若点 A ( ? 1,a ? 3) 在 x 轴上,则 a=__________。 (答案: 3 ) 2. 若点 P (6―5a, 2a―1) 在第一象限, 则 a 的取值范围是__________。 (答案: ? a ?

a 2

1 2

6 ) 5

3. 若点 M(3,a)与点 N(3,-7)之间的距离是 5,则 a=__________。 (答案:―2 或― 12)

2. 直角坐标平面上点的平移、对称以及简单图形的对称问题 例 4(2001 上海)点 A(1,3)关于原点的对称点坐标是 答案: (-1,-3) 说明: 关于 x 轴对称的两点的坐标可看作点在 y 轴或平行于 y 轴的直线上平移, 那么这个点 的横坐标保持不变; 关于 y 轴对称的两点的坐标可看作点在 x 轴或平行于 x 轴的直线上平移, 那么这个点的纵坐标保持不变;关于原点中心对称的两点的坐标所满足的条件,既考虑 x 轴上的平移,又考虑 y 轴上的平移。 同源题选: 1. (2007 上海)如图 3,在直角坐标平面内,线段 AB 垂直于 y 轴,垂足 为 B ,且 AB ? 2 ,如果将线段 AB 沿 y 轴翻折,点 A 落在点 C 处,那么 B 点 C 的横坐标是 . (答案: ?2 ) 2. (2000 上海)点 A(-3,4)和点 B(3,4)关于________轴对称。 O (答案:y) 3. 求简单函数的定义域 例 5(2007 上海)函数 y ? 答案: x ≥ 2 说明: 函数的解析式为 y ? f ( x) : 若 f(x)是整式, 自变量 x 可取一切实数; 若 f(x)是分式, 要求分母不能为零;若 f(x)是二次根式,要求被开方数大于或等于零;若 f(x)中含二次根 式且为“分母” ,需同时考虑被开方数大于或等于零、分母不为零的要求。 同源题选: 图3 .

y A

x

x ? 2 的定义域是



1 的定义域是__________. (答案: x ≠ 3 ) x?3 2. (2005 上海)函数 y ? x 的定义域是_______________.(答案: x ? 0 )
1. (2006 上海)函数 y ? 3. (2004 上海)函数 y ? 4. 求函数值

x 的定义域是__________________. (答案:x>-1) x ?1

例 6(2008 上海)已知函数 f ( x) ? 答案: 3 ;

x ? 1 ,那么 f (2) ?



说明: f ( x ) 是一个代数式,本题给定自变量的一个值,就是求代数式的值 同源题选:

3 ,则 f (1) ? x?2 2. (2005 上海)如果函数 f ? x ? ? x ? 1 ,那么 f ?1? ? x ?1 3. (2003 上海) 已知函数 f ( x ) ? , 那么 f ( 2 ? 1) = x
1. (2007 上海)已知函数 f ( x) ? 【达标训练】 填空题: 1. (2003 上海)函数 y ? 2. (2001 上海)函数 y ?

. (答案:1) (答案:2) 。 (答案: 2? 2)

1? x 的定义域是 x
x x ?1
的定义域是 .



3. (2000 上海)已知函数 f ( x) ?

2x ?1 ,那么 f (3) ? ________。 x ?1

4. 在图 1 直角坐标平面中标出以下各点:A(2,-1)、B(3,2) 、C(4,5) 5. 将已知点 A(2,-1)向_____平移_____个单位所对应的 点为 A', 点 A'在直线 x=0 上, 那么点 A'的坐标为_________。 6. 购买单价为 0.6 元的铅笔,总金额 y(元)与铅笔支数 x 的 关 系 式 是 __________ , 其 中 __________ 是 常 量 , __________是变量。 7. 已知点 M(1,-2) ,那么与点 M 关于 x 轴对称的点的坐 标是 ________ ,与点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 __________,关于原点对称的点的坐标是__________。 8. 已知直角坐标平面内的△ABC 是等腰直角三角形, 斜边为 AB,且 A(0,0) ,B(2,0) ,那么直角顶点 C 的坐标是__________。 9. 函数 y= x ? 1 中,函数值y的取值范围是__________。 解答题: 10. 已知 y=y1+y2,y1 与 x 成正比例,y2 与 x-3 成反比例,当 x=4 和 x=1 时,y 的值 都等于 3,求 x=9 时 y 的值。 11. 如图:在直角坐标平面中,△AOB 是边长为 2 的等边三角形。 a) b) 写出 A、B 两点的坐标; 写出点 A 关于 x 轴对称的点 A1 的坐标;
M y A

1 -1 1

图1

O

N

B

x

c)

把△AOB 绕原点 O 旋转 180?后,点 A 到达点 A2。求点 A2 的坐标,并求 B、A2 两点的距离。

12. 已知点 P(a,b)在第四象限,且点 P 到 x 轴的距离等于 12,到原点的距离等于 13,求 点 P 的坐标。 【参考答案】 1. x ? 1且x ? 0 2.x>1 3.

5 2

4. 略 5. 左;2; (0,-1) 6. y=0.6x;0.6 元;x(支)和 y(元) 7. (1,2) , (-1,-2) , (-1,2) 8. (1,1) , (1,-1) 9. y ? 0 10. y ?

13 9 3 x? ;当 x=9 时,y= 2 4 2( x ? 3)

11.(1)A(1, 3 ) B(2,0) (2)A1(1,- 3 ) (3)A2(-1,- 3 ) BA2=2 3 12. (5,-12)

第 23 课时

正比例函数与反比例函数
五十二中学 陆洁

【复习要求】

课标要求 主要内容 知道 正比例函数与反比例函数的概念 函数图象的意义 正比例函数与 反比例函数的 图象及其性质 画正比例函数与反比例函数的图象 正比例函数与反比例函数的图像 正比例函数与反比例函数的性质 图象经过的象限 增减性质 待定系数法确定解析式 函数的实际运用 √ √ √ √ √ √ √ √ √ 理解 掌握 运用

【教学重点、难点】 重点是正比例函数与反比例函数的图象与性质 难点是画反比例函数的图象 【教学过程】 1.用待定系数法求函数的解析式。 例 1 已知 y 是 x 的正比例函数,它的图象经过点 A(2,-4) 、B( m ,2) 。求这个正比 例函数的解析式和 m 的值 分析:由正比例函数的图象经过点 A,可用待定系数法求出正比例函数的解析式,再由 点 B 在这个正比例函数的图象上,求出 m 的值 解:设这个正比例函数的解析式为 y ? kx ∵它的图象经过点 A(2,-4) ,∴ ? 4 ? 2k ,得 k ? ? 2 ∴这个正比例函数的解析式为 y ? ?2 x ∵点 B( m ,2)在正比例函数 y ? ?2 x 的图象上,得 2 ? ?2m , ∴ m ? ?1 说明:待定系数法是利用点的坐标确定函数解析式的一种基本方法。在正比例函数的 解析式中只有一个待定系数,给定一个条件可确定这个系数。 如果一个函数的解析式已经确定,那么这个函数图象上的点的坐标适合这个解析式; 坐标适合这个解析式的点在这个函数的图象上。 已知函数图象上一点的横坐标 (或纵坐标) , 可利用函数解析式直接求出这一点的纵坐标(或横坐标)

同源题选: 1.已知一个反比例函数的图象与正比例函数 y ? 3 x 的图象有一个公共点 A( a ,6) , 求这个反比例函数解析式 分析 先由点 A 在正比例函数的图象上求出点 A 的横坐标,再用待定系数法求反比例函 数解析式。 解:∵A( a ,6)在正比例函数 y ? 3 x 的图象上,∴ 3a ? 6 ,得 a ? 2 ∴A(2,6) 。 设这个反比例函数的解析式为 y ?

k x
k ,∴ k ? 12 x

∵A(2,6)在这个反比例函数的图象上,得 6 ? ∴这个反比例函数的解析式为 y ?

12 x

说明 如果一个点是两个函数图象的公共点,那么这个点既在第一个函数的图象上,又 在第二个函数的图象上,即这个点的坐标同时适合这两个函数的解析式。 2.已知 y ? y1 ? y 2 , y1 与 ( x ? 1) 成反比例, y 2 是 x 的正比例函数,且当 x ? 2 时,

y1 ? 4, y ? 2 。 (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x ? 3 时,求 y 的值。 分析:可由题意分别设 y1 、 y 2 关于 x 的函数解析式,写出 y 关于 x 的函数解析式;再 用待定系数法确定 y 关于 x 的函数解析式 k1 解: (1)根据题意,可设 y1 ? (k1 ? 0) y 2 ? k 2 x(k 2 ? 0) x?1 k1 ∵ y ? y1 ? y 2 ,∴ y ? ? k2 x x?1 ? 4 ? k1 ∵当 x ? 2 时, y1 ? 4, y ? 2 ,∴ ? 解得 k1 ? 4, k 2 ? ?1 ? 2 ? k 1 ? 2k 2 4 ?x ∴y? x?1 4 ? 3 ? 3?2 (2)把 x ? 3 代入所得解析式,得 y ? 3 ?1
说明: 本题中的正比例函数与反比例关系中的比例系数是两个互不相关的常数, 因此应 分别用 k1、k 2 表示。 3. (2008 年上海)在平面直角坐标系中,如果双曲线 y ? 么k ? 答案: ? 2 .

k (k ? 0) 经过点 (2, ? 1) ,那 x

2.正比例函数与反比例函数的性质

x ( k 为不等于零的实数) , y 的值随 x 的值增大而减小,点 A(3, k k ? 2 )在这个函数的图象上,求 k 的值 x 分析:由点 A 在函数 y ? 的图象上,可求出 k 的值,在判断由所得 k 的值确定的函数 k 是否符合“ y 的值随 x 的值增大而减小”这一条件。
例 1 已知函数 y ?

k 3 的图象上,∴ k ? 2 ? , k x 2 整理,得 k ? 2k ? 3 ? 0 ,解得 k1 ? 3, k 2 ? ?1 。 x 当 k ? 3 时, y ? ,这时 y 的值随 x 的值增大而增大,不符合题意 3 当 k ? ? 1 时, y ? ? x ,符合 y 的值随 x 的值增大而减小的条件。 ∴ k 的值为 ? 1 说明:由已知这个函数是正比例函数,解题时还可根据“ y 的值随 x 的值增大而减小” , 先确定 k 的取值范围是 k ? 0 ,再通过列方程求解来确定 k 的值。
解:点 A(3, k ? 2 )在函数 y ? 同源题选: 1. (2004 年上海)在函数 y ?

k (k ? 0) 的图像上有三点 A1 ( x1, y1 ) 、 A2 ( x2 , y2 ) 、 x


A3 ( x3 , y3 ) ,已知 x1 ? x2 ? 0 ? x3 ,则下列各式中,正确的是…………………(
(A) y1 ? 0 ? y3 ; (C) y2 ? y1 ? y3 ; (B) y3 ? 0 ? y1 ; (D) y3 ? y1 ? y2 .

答案:A、C 说明:本题考查了反比例函数的性质“在每个象限内, k ? 0 时, y 的值随 x 的值增大 而减小”的运用时,要注意在不同象限中,函数值的变化情况 2.已知正比例函数 y ? (m ? 1) x m
2

? 3 m? 3

,若它的图象经过第一、三象限,求 m 的值

分 析 : 据 正 比 例 函 数 的 解 析 式 y ? kx( x ? 0) 知 x 的 指 数 为 1 , 得 关 于 m 的

m 2 ? 3m ? 3 ? 1 可求出 m 的值,又因为 x 前的系数不为零,可舍去不合适的值。
解:根据题意: m ? 3m ? 3 ? 1 ,解方程得: m1 ? 4, m2 ? ?1 。
2

∵图象经过第一、三象限,∴ m ? 1 ? 0, m ? 1 ,∴ m ? 4 说明:在考虑本题时,函数中 x 的系数和指数都要考虑,两个条件缺一不可。 3.已知 y ? (m ? 1) x m
2

?10

是反比例函数,如果在这个函数图象所在的每个象限内, y

的值随 x 的值增大而减小,求 m 的值。 分析:反比例函数解析式 y ?

k (k ? 0) , 也 可 以 写 成 y ? kx ?1 (k ? 0) , 可 得 : x

m 2 ? 10 ? ?1 ,因为在这个函数图象所在的每个象限内, y 的值随 x 的值增大而减小,可
得: m ? 1 ? 0 ,整合两个条件既可得 m 的值。 解:∵ y ? (m ? 1) x m
2

?10

2 是反比例函数,∴ m ? 10 ? ?1 ,解方程,得 m ? ?3 。

∵函数图象所在的每个象限内,y 的值随 x 的值增大而减小, 可得:m ? 1 ? 0 ,m ? 1 ,

∴m ? 3 3.和正比例函数、反比例函数有关的应用题 例 1 甲乙两辆汽车沿同一公路同时从 A 地出发前往 相距 90 千米的 B 地, 行驶过程中所行路程分别用 y1 、 y2 表示,它们与行驶时间 x (单位:分钟)的函数关系如 图所示, (1)分别求出 y1 、 y2 关于 x 的函数解析式,并 写出函数的定义域; (2)分别求行驶了 50 分钟及 80 分 钟时,两车之间相距的路程。 分析:由于这两个函数的图象都是直线段,因此可设两 个正比例函数的解析式。利用待定系数法,可求出这两 个函数的解析式;再利用解析式,可求出两车之间相距 的路程。 解: (1)由图 1,可设这两个函数的解析式分别为 y1 ? k1 x, y 2 ? k 2 x 。 又知,当 x ? 60 时, y1 ? 90 ;当 x ? 100 时, y 2 ? 90 , 得 90 ? 60k1 ,90 ? 100k 2 。解得 k 1 ? ∴ y1 ?

3 9 , k2 ? 。 2 10

3 x ,这个函数的定义域为 0≤ x ≤60; 2 9 y2 ? x ,这个函数的定义域为 0≤ x ≤100。 10 (2)当 x ? 50 时, y1 ? 75 , y 2 ? 45 。这时,75-45=30(千米) 当 x ? 80 时,甲车早已到达 B 地, y 2 ? 72 。
这时,90-72=18(千米) ∴行驶了 50 分钟、80 分钟时,两车之间相距的路程分别为 30 千米、18 千米。 说明: 本题由图象可知甲、 乙两车是匀速行驶的, 因此也可直接求出甲、 乙两车的速度, 写出函数解析式。第(2)题中,当 x ? 60 时,甲车已到达 B 地,因此 x ? 80 时,甲车应 在 B 地,所以只需计算乙车有 B 地之间的距离。 同源题选: 1.为了鼓励市民节约用水,自来水公司特制定了新的用水收费标 准,每月用水量 x(吨)与应付水费 y(元)的函数关系如右下图. (1)求出当月用水量不超过 5 吨时,y 与 x 之间的函数关系式; (2)某居民某月用水量为 8 吨,求应付的水费是多少? 分析: 我们观察函数图象可知,当月用水量不超过 5 吨时,y 与 x 成正比例函数关系;当 x≥5 时,y 与 x 成一次函数关系. 解: (1) 当 0≤x≤5 时,设 y=kx,由 x=5 时,y=5 得 5k=5. ∴ k=1, ∴ y=x. (2) 当 x≥5 时设 y=kx+b,由图象可知: 金额(单位:元) 509 ∴ 当 x≥5 时,y=1.5x-2.5, 当 x=8 时,y=1.5× 8-2.5, ∴ y=9.5 元 答:用水量 8 吨时,应付的水费为 9.5 元. 2.某型号汽油的数量与相应金额的关系如图 1 所示, 那么这种汽油的单价是每升__________元. 0 答案:5.09

100 图1

数量(单位:升)

4.以正比例函数、反比例函数为主体与几何相关的综合问题 例 1 如图 2,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=15°,CD 是边 AB 上的高,点 E 在边 AB 或 AB 的延长线上。用 x 表示边 AB 的长。 (1)设 CD= y1 ,求 y1 关于 x 的函数解析式, 并写出函数定义域。 ( 2 )如果△ ACE 的面积为 2 ,设 C AE= y2 ,求 y2 关于 x 的函数解析式,并写出函数定义域; (3)画出(1) 、 (2)两题中所得到的函数的图象。 分析: 作 Rt△ABC 的中线 CF,由已知∠A=15°可知 A

1 ∠CFD=30°。 在 Rt△CDF 中, CF= x , 可求得 y1 关于 x 的 2 函数解析式;利用三角形的面积公式,可求得 y2 关于 x 的函数解析式
解: (1)取边 AB 的中点 F,联结 CF。 ∵∠ACB=90°,∴CF=AF=

F E

D B

1 1 AB= x 2 2
1 CF 2

∵∠FCA=∠A=15°,∴∠CFD=30°。 由 C 但是边 AB 上的高,可知 CD⊥AB,得 CD= ∴ y1 ?

1 x ,定义域为 x >0 4 1 1 1 (2)由 S ?ACE ? AE·CD,得 2= · y2 · x 2 2 4 16 ∴ y2 ? ,定义域为 x >0 x 1 16 (3)函数 y1 ? x ( x >0)与 y 2 ? ( x >0)的 4 x
图象如图 3 所示 说明: 这是一个关于几何变量中的正比例与反比例关系的问题。 两个函数的定义域都是 部分实数,这两个函数的图象分别是直线的一部分和双曲线的一支。 同源题选: 1.如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和 x 轴、 y 轴分别交于 点 A 和点 B,且 OA=OB=1。这条曲线是函数 y ?

1 的图像在第一象限的一个分支,点 2x

P 是这条曲线上任意一点, 它的坐标是 ( a 、b ) , 由点 P 向 x 轴、 y 轴所作的垂线 PM、 PN, 垂足是 M、N,直线 AB 分别交 PM、PN 于点 E、F。 (1)分别求出点 E、F 的坐标(用 a 的代数式表示点 E 的坐 标,用 b 的代数式表示点 F 的坐标,只须写出结果,不要求写出计 算过程) ; (2)求△OEF 的面积(结果用含 a 、 b 的代数式表示) ; (3)△AOF 与△BOE 是否一定相似,请予以证明。如果不一 定相似或一定不相似,简要说明理由。 (4)当点 P 在曲线 y ?

y
B N F

y

P ( a, b )
E

x
x

1 上移动时,△OEF 随之变动,指 2x

O

M A

问题图

出在△OEF 的三个内角中, 大小始终保持不变的那个角的大小, 并 证明你的结论。

解: (1)点 E( a , 1 ? a ) ,点 F( 1 ? b , b ) (2) S ?EOF ? S矩形MONP ? S ?EMO ? S ?FNO ? S ?EPF = ab ? =

1 1 1 a(1 ? a) ? b(1 ? b) ? (a ? b ? 1) 2 2 2 2

1 ( a ? b ? 1) 2
y
B N F

(3)△AOF 与△BOE 一定相似,下面给出证明 ∵OA=OB=1 ∴∠FAO=∠EBO
2 2 BE= a ? (1 ? 1 ? a ) ? 2 2 AF= (1 ? 1 ? b) ? b ?

y

2a 2b

P ( a, b )
E

x

x O M A 1 问题图 ∵点 P( a , b )是曲线 y ? 上一点 2x ∴ 2ab ? 1 ,即 AF·BE=OB·OA=1 AF OA ? ∴ ∴△AOF∽△BOE OB BE 1 (4)当点 P 在曲线 y ? 上移动时,△OEF 中∠EOF 一定等于 450,由(3)知,∠ 2x
AFO=∠BOE,于是由∠AFO=∠B+∠BOF 及∠BOE=∠BOF+∠EOF ∴∠EOF=∠B=450 说明:此题第(3) (4)问均为探索性问题, (4)以(3)为基础,在肯定(3)的结论 后, (4)的解决就不难了。在证明三角形相似时,∠EBO=∠OAF 是较明显的,关键是证明 两夹边对应成比例,这里用到了点 P( a , b )在双曲线 y ?

1 上这一重要条件,挖掘形 2x
y

的特征,并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。 2. (2007 年上海) 如图 9, 在直角坐标平面内, 函数 y ? ( x ? 0 ,

m x

, 4) ,B(a,b) , 的图象经过 A(1 其中 a ? 1 . 过点 A 作 x 轴 m 是常数)
垂线,垂足为 C ,过点 B 作 y 轴垂线,垂足为 D ,连结 AD , DC , D

A

B

CB .
(1)若 △ ABD 的面积为 4,求点 B 的坐标; (2)求证: DC ∥ AB ; 解: (1) 函数 y ?

O

C
图9

x

m ( x ? 0 , m 是常数)图象经过 A(1, 4) ,? m ? 4 . x

设 BD,AC 交于点 E ,据题意,可得 B 点的坐标为 ? a, ? , D 点的坐标为 ? 0, ? ,

? ?

4? a?

? ?

4? a?

4 ? 4? E 点的坐标为 ?1, ? , a ? 1 ,? DB ? a , AE ? 4 ? . a ? a?

由 △ ABD 的面积为 4,即

1 ? 4? ? 4? a ? 4 ? ? ? 4 ,得 a ? 3 ,? 点 B 的坐标为 ? 3, ? . 2 ? a? ? 3?

(2)证明:据题意,点 C 的坐标为 (1 , 0) , DE ? 1 ,

4 , BE ? a ? 1 , a 4 4? BE a ? 1 AE a ? a ? 1 .? BE ? AE .? DC ∥ AB . ? ? ? a ?1, ? 4 DE 1 DE CE CE a
a ? 1 ,易得 EC ?
3. (2005 年上海)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,O 是边 AC 上的一 个动点,以点 O 为圆心作半圆,与边 AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E,作 EP⊥ED,交 射线 AB 于点 P,交射线 CB 于点 F。 (1) 如图 8,求证:△ADE∽△AEP; (2) 设 OA=x,AP=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域;

F B P D C
图8

B

E

O

A C

A
图 9( 备 用 图 )

证明: (1)联结 OD ∵AP 内切半圆于 D,∴∠ODA=∠PED=90° 又∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED ∴90°+∠ODE=90°+∠OED ∠EDA=∠PEA,又∵∠A=∠A ∴△ADE∽△AEP (2)

OD CB ? , OA AC

8 x OD 3 y 16 5 ? ? ? ?y? x( x ? 0) 8 4 x 5 5 x x 5 5
【达标训练】 1. (2007 年上海)如图 1,正比例函数图象经过点 A ,该函数解 析式是 . 2. (2001)如果正比例函数的图象经过点(2,4) ,那么这个函数 的解析式为 .

y

3

A

O
图1

1

x

2x , y 的值随 x 的值增大而减小, 那么常数 m 的取值范围是 ______ m?3 k 4. (06 年大连)双曲线 y ? 与直线 y ? mx 相交于 A、B 两点,B 坐标为(-2,-3) ,则 x
3. 已知函数 y ? A 点的坐标为_________ 5. (2003 年上海)在平面直角坐标系内,从反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的图象上的一点分 x


别作 x、 y 轴的垂线段, 与 x、 y 轴所围成的矩形面积是 12, 那么该函数解析式是 6. 、若正比例函数 y ? (m ? 1) x m 析式为_______ 7. (2000)在函数 y ? 是原点的图象共有( A.0 个 B.1 个
2

?5m?13

的图象经过二、四象限,则这个正比例函数的解

2 、 y ? x ? 5 、 y ? x2 的图象中,是中心对称图形,且对称中心 x ).
C.2 个 D.3 个

8、下列命题中: ①函数 y ? 3x (2≤ x ≤5)的图像是一条直线; ②若 y 与 ? 3 z 成反比例, z 与 x 成正比例,则 y 与 x 成反比例; ③如果一条双曲线经过点( ? a , b ) ,那么它一定同时经过点( ? b , a ) ; ④如果 P1( x1 , y1 ) ,P2( x2 , y 2 ) ,是双曲线 y ? ? 时, y1 > y 2 。 正确的个数有( A、1 个 ) B、2 个 C、3 个 D、4 个 )

4 同一分支上的两点,那么当 x1 > x2 x

9.在同一坐标系中函数 y ? kx 和 y ?

y

y

k 的大致图像必是( x y

y

x
A B

x
C

x
D

x

10. (2001)如图 5,已知点 A(4,m) ,B(-1,n)在反比例函数 y=

8 的图象上,直 x

线 AB 与 x 轴交于点 C.如果点 D 在 y 轴上,且 DA=DC,求点 D 的坐标.

y A

O

x

图6 11.(2006)如图 6,在直角坐标系中, O 为原点.点 A 在第一象限,它的纵坐标是横坐 标的 3 倍,反比例函数 y ? (1)求点 A 的坐标; (2)如果经过点 A 的一次函数图象与 y 轴的正半轴交于点 B , 且 OB ? AB ,求这个一次函数的解析式.

12 的图象经过点 A . x

12.已知 y ? y1 ? y2 , y1 与 x 2 成正比例, y 2 与 x ? 1 成反比例,当 x =-1 时, y =3;
当 x =2 时, y =-3, (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x ? 【参考答案】 (1) y ? 3x ; (2) y ? 2 x ; (3) m ? 3 (4) (2,3) ; (5) y ? (7)B; (8)C; (9)C; (10)解:由点 A、B 在 y= 2) ,点 B 的坐标为(-1,-8) .

2 时,求 y 的值。
12 ; (6) m ? ?2 x

8 的图象上,得 m=2,n=-8,则点 A 的坐标为(4, x

?2 ? 4k ? b, ?k ? 2, 设直线 AB 的函数解析式为 y=kx+b,则 ? 解得 ? ?? 8 ? ? k ? b ?b ? ?6.
则直线 AB 的函数解析式为 y=2x-6. 所以点 C 坐标为(3,0) . 设 D(0,y) ,由 DA=DC,得(y-2)2+42=y2+32. 解得 y=

11 11 .则点 D 的坐标是(0, ) . 4 4

11.解: (1)由题意,设点 A 的坐标为 ? a, 3a ? , a ? 0 . 点 A 在反比例函数 y ? 解得 a1 ? 2 , a2 ? ?2 , 经检验 a1 ? 2 , a2 ? ?2 是原方程的根,但 a2 ? ?2 不符合题意,舍去.

12 12 的图象上,得 3a ? , x a

6? . ? 点 A 的坐标为 ? 2,
(2)由题意,设点 B 的坐标为 ? 0 ,m? .

m ? 0 ,? m ?
解得 m ?

? m ? 6?

2

? 22 .

10 10 ? 10 ? ,经检验 m ? 是原方程的根,? 点 B 的坐标为 ? 0, ? . 3 3 ? 3?
10 , 3

设一次函数的解析式为 y ? kx ?

由于这个一次函数图象过点 A ? 2, 6 ? ,? 6 ? 2k ? 12.解:根据题意,可设 y1 ? k1 x 2 (k1 ? 0) y 2 ?
2 ∵ y ? y1 ? y 2 ,∴ y ? k 1 x ?

10 4 ,得 k ? . 3 3

k2 (k 2 ? 0) x?1

k2 x?1 ∵当 x ? ?1 时, y1 ? 3 ,当 x ? 2 时, y 2 ? ?3 ; k ? 1 ? 3 ? k1 ? 2 ∴? 2 解得 k 1 ? , k 2 ? ?5 2 ? ? ? 3 ? 4k 1 ? k 2


y?

1 2 5 x ? 2 x?1

(2)把 x ?

2 代入所得解析式,得 y ?

1 5 9 ( 2)2 ? ? 5? 2 2 2 2 ?1

第 24 课时
【复习要求】

一次函数的概念、图像性质

江湾初级中学 朱秋嘉 汪晓羚

主要内容 一次函数 的概念
一次函数的一般形式 一次函数与正比例函数的关系 与坐标轴的交点及画法 一次函数图像的平移 函数经过的象限 函数增减性 待定系数法确定一次函数的解析式 一次函数与一元一次方程、 不等式之间的关系 实际问题中获得信息,建立简单函数模型

知道

课标要求 理解 掌握

运用

一次函数 的图像

一次函数 的性质 一次函数 的确定 一次函数 的应用

【教学重点、难点】 重点是一次函数解析式的确定,一次函数的图象与性质。 难点是一次函数的应用。 【教学过程】 1、一次函数的概念 例 1 一次函数 y=(m+7)x -(n—4)的图像经过原点的条件是__________ 。 答案:m ? -7,n=4 说明:一次函数解析式 y=kx+b 中 k ? 0,经过原点的一次函数是正比例函数,b=0。 2、一次函数的图像与画法 例 2 已知直线 y=3x+6 与 X 轴、Y 轴分别相交于点 A、B,点 O 是坐标原点。画出直线 AB,并求 AB 的长及△AOB 的面积。 答案: AB=2 10 , S
AOB

?6

说明:直线 y=kx+b(k ? 0)与坐标轴的交点是直线上的特殊点,注意到 x 轴上的点 的纵坐标为 0,y 轴上的点的横坐标为 0,可求出 A、B 点的坐标后,作出图像,再求 AB 的长及△AOB 的面积。

同源题选: 1. (上海 00 年) 如果直线 y ? 3x ? b 在 y 轴上的截距为-2,那么这条直线一定不经过第______象限. 2. (徐汇 08 年) 直线 y=-2x+n(n>0)与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于点 A、点 B, S
OAB

? 16 ,抛物

线 y= ax 2 ? bx (a ? 0) 经过点 A,顶点 M 在直线 y=-2x+n 上,求出 n 的值。

3、 一次函数的性质 例 3 如果关于 x 的函数 y=(m-2)x+m(m≠2)的图象不经过第三象限,求 m 的取值范 围。 答案: m 的取值范围是 0 ? m ? 2 说明:本题一次函数中,当 m=0 时,函数为正比例函数,它的图像经过第二、四象限和 原点,这是一次函数的特殊情况,不要遗漏。

例4

已知一次函数 y=

?1 x+4 的图象与 X 轴、Y 轴分别相交于点 A、B,梯形 AOBC(O 2

是原点)的边 AC=5。 (1)求点 C 的坐标; (2)如果一个一次函数 y=kx+b(k、b 为常数,且 k〈0)的图象经过点 A,C,求 这个一次函数的解析式。 答案:C(8,5) y ? ?

4 32 x? 3 3

说明: (1)梯形的两底边互相平行,如果梯形的两底边没有给定,那么它的两组对边独 有可能是两底边,因此需对各种可能情况分类讨论。 (2)根据一次函数的图像与性质对点 C 的坐标作出判断,可减少不必要的计算。 同源题选: 1. (上海 07 年)如果一次函数 y ? kx ? b 的图象经过第一象限,且与 y 轴负半轴相交, 那么( ) . A. k ? 0 , b ? 0 B. k ? 0 , b ? 0 C. k ? 0 , b ? 0 D. k ? 0 , b ? 0 )

2. (上海 08 年)在平面直角坐标系中,直线 y ? x ? 1 经过( A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 3. (静安 08 年)函数 y=-2x-3 的图像不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 4. (浦东新区 08 年)

D.第四象限

在函数 y ? 2 x 、 y ?

2 、 y ? 2 x2 的图像中,具有沿某条直线翻折,直线两旁的部 x

分能够互相重合的性质的图像有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 5、 (浦东新区 08 年)如果直线 y=kx+3 与直线 y=-2x 互相平行,那么 k= 6、 (徐汇 08 年) 已知一次函数 y=kx-k,若 y 随着 x 的增大而减小,则该函数的图像经过( A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

. )

4、待定系数法求一次函数解析式: 例 5 已知一次函数的图象经过点 A(2,-4) ,B(1,2) ,求这个一次函数的解析式。 答案:y=-6x+8 说明:在解析式 y=kx+b(k ? 0)中,k、b 是两个待定的系数,利用两个已知的条件列 出关于 k、b 的方程组再求解,可确定它们的值,这是确定函数解析式的一种基 本方法。 例6 已知一次函数的图象经过点 A(0,-3) ,B(1,a) ,C(a,1)三点,且函数值 y 随着 x 的值增大而减小,求这个一次函数的解析式。 答案:y=-x-3

说明:本题求函数解析式时,运用了待定系数法,并结合了一次函数性质。 同源题选: 1. (上海 03 年) 已知:一条直线经过点 A(0,4) 、点 B(2,0) ,如图,将这条直线向作平 移与 x 轴负半轴、y 轴负半轴分别交于点 C、点 D,使 DB=DC。 求:以直线 CD 为图象的函数解析式。 2. (闵行 08 年) 已知一次函数 y=kx-2 的图像经过点 (2, -4) , 那么这个一次函数的解析式是



3.已知:一条直线经过点 A(0,4) ,B(2,0) ,将这条直线向左平移与 x、y 轴负半 轴分别交于点 C,点 D,使 DB=DC,求以直线 CD 为图像的函数解析式。

4、 一次函数的实际应用: 例7 如图:线段 AB、CD 分别是一辆轿车的油箱中剩余油量 Y1(升)与另一辆客车的 油箱中剩余的油量 Y2(升)关于行驶时间 X(小时)的函数图象。 (1)分别求 Y1 、Y2 关于 X 的函数解析式,并写出定义 域;
Y(升) 90 C
Y2 ?

A 60 Y1

D O 3

B 4

x(小时)

(2)如果两车同时出发,轿车的行驶速度为平均每小时为 90 千米,客车的行驶速度为 平均每小时为 80 千米, 当油箱中剩余的油量相同时, 两车行驶的路程相差几千米? 答案: (1) y1 ? ?15x ? 60

? 0 ? x ? 4?

y2 ? ?3 0x ? 9 0 ? 0 ? x ? 3?
(2)20 米 说明:本题由一个实际问题得出一次函数的解析式,并利用解析式进一步解决了问题。 【达标训练】 一、填空: 1、有下列函数:①y=6x-5, ②y=2x ③y=x+4 , ④ y=-4x+3 。其中过原点的直线是___ __;函数 y 随 x 的增大而增大的是_ ____;函数 y 随 x 的增大而减小的是_______;图 象在第一、二、三象限的是___ _ __。 2. y=kx+b 的图象不经过第一象限时, k ,b ; y=kx+b 的图象不经过第二象限时, k ,b ; y=kx+b 的图象不经过第三象限时, k ,b ; y=kx+b 的图象不经过第四象限时, k ,b 。 3. 直线 y=-x+1 与 x 轴的交点坐标为(___ ,___) ,与 Y 轴的交点坐标为(___ ,___) 。 4. 如果一次函数 y=kx-3k+6 的图象经过原点,那么 k 的值为___ ____。 5.已知 y-1 与 x 成正比例, 且 x=-2 时, y=4, 那么 y 与 x 之间的函数关系式为______ ______。 6. 直线 y=kx+b 与 y=2x—4 平行,且过点出(-3,2),y=kx+b 与 x 轴、y 轴的坐标分别是 _____ 。 二、选择题 7.油箱中装油 40 公升,汽车每小时耗油 8 公升,则装油满后,汽车行驶 x 小时后,箱中剩 油 y 公升与 x 的函数解析式的图象正确的是?????( )
A. 40
y

B. 40 5

y

C. 40 5

y

D. 40
5

y

0

x

0

x

0

x

0

5

x

A、 B、 C、 D、 8.老王骑自行车从 A 地去 B 地,途中因修车耽误了一些时间,随后便加快速度准时赶到 B 地。 若前后两次速度均是匀速的。 下面离开 A 地的距离 S 与所用时间 t 的函数解析式的 图象正确的是 ??????????( )
A.
S

B.

S

C.

S

D.

S

0

t

0

t

0

t

0

t

A、

B、

C、

D、

三、解答题 9. 已知一次函数 y=kx+b(k≠0)在 x=1 时,y=5,且它的图象与 x 轴交点的横坐标是6,求 这个一次函数的解析式。 10.某公司生产一种产品, 当这一产品的年产量在 20-100 吨时, 其生产成本与年产量的关系 如图 1 所示, 经市场调研发现要将生产全部销售完, 每吨售价应根据年产量作相应调整, 每吨售价与年产量关系如图 2 所示
总成本(万元)

2300 1500

y

每吨售价(万元)

70

y

x
20 100
年产量(吨)

0

30 0

x
20 100
年产量(吨)

图 ?1

图? 2

⑴.分别求出生产总成本 y1 与年产量 x 的函数解析式,及每吨售价 y2 与年产量 x 的函 数解析式。 ⑵.若该公司要生产这一产品的年利润至少为 1100 万元,则每吨售价应定在什么范围 内为宜? 【参考答案】 1、2;1.2.3; 4; 3。 2. k<0,b≤0; k>0,b≤0; 3.(1,0) , (0,1) 。 4. 2。 5. y=-1.5x+1。 6.(-4,0),(0,8) 。 7.C 8.D 9. y= - x+6。 10. y1 ? 10x ? 1300 (20 ? x ? 100) ,

k<0,b≥0;

k>0,b≥0。

1 y2 ? ? x ? 80 (20 ? x ? 100) 2

每吨售价 y2 是在 40 万元-50 万元之间。


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