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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


哈师大附中 2015 级高一上学期期中考试数学试题
(满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U ? {1 , 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {1,3} , B ? {3, 4,5} ,则集合 CU ( A U B) ? A. {1,3, 4,5}

A. f ( x ) ?
1 2

B. {3}

C. {2}

D. {4,5} B. f ( x ) ? x 与 g ( x ) ? 1
0

2.下列四组函数中表示同一个函数的是
3

x3 与 g ( x) ? x 2
D. f ( x ) ? x 与 g ( x ) ?
1 2

C. f ( x ) ?

x ?1 ? x ? 1 与

g ( x) ? x 2 ? 1

x2

3.设 a ? 0.3 , b ? 0.4 , c ? log3 0.6 ,则 A. c ? b ? a 4.已知函数 f ? x ? ? ? A. 4 5.函数 y ? B. c ? a ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c

?log 2 x ?2
x

x?0 x?0
1 4

,则 f ( f ( )) 的值是 C. ?4 D. ?

1 4

B.

1 4

ln( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 4

的定义域为

A. (?4, ? 1)

B. (?4, 1)

C. (?1, 1)

D. (?1,1]

6.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A. y ? x ? e
x

B. y ? x ?

1 x

C. y ? 2 ?
x

1 2x

D. y ? 1 ? x

2

7.已知 a ? log 4 3 , b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则 3 2 3
D. c ? b ? a )

A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b 8.下面给出 4 个幂函数的图像,则图像与函数的大致对应是(

1

1
-1

A.①y=x 3 ,②y=x2,③y=x 2 ,④y=x
1

B.①y=x3, ②y=x2,③y=x 2 ,④y=x
1

-1

C.①y=x2, ②y=x3,③y=x 2 ,④y=x
1 1

-1

D.①y=x 3 ,②y=x 2 ,③y=x2,④y=x 1 9. 如 图 所 示 , 曲 线 C1 , C2 , C3 , C4 分 别 为 指 数 函 数


C1

C2

y

C3 C4

y ? a x , y ? b x , y ? c x , y ? d x 的图象, 则 a, b, c, d
与 1 的大小关系为 A. a ? b ? 1 ? c ? d C. b ? a ? 1 ? c ? d B. b ? a ? 1 ? d ? c D. a ? b ? 1 ? d ? c 0

1

x

10. 函数 f ( x ) = log 1 x - 4 的单调递增区间是
2 2

(

)

A. (0, + ?

)

B. (- ? ,0)

C. (2, + ?

)

D. (- ? , 2)

11. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递增. 若实数 a 满足 f (log2 a ) ? f (log1 a )? 2 f (1) ,
2

则 a 的取值范围是 A. [1, 2]
? 1? B. ? 0, ? ? 2? ?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

D. (0, 2] [学+科

12.已知函数 f ( x ) ? ?

? x ? 1,

x?0

? log 2 x , x ? 0 1 则 x 3 ( x1 ? x 2 ) ? 2 的取值范围是 x3 x4
B. ?? 1,1?

, 若方程 f ( x ) ? a 有四个不同的解 x 1 ,x 2 ,x 3 , x 4 , 且 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ,

A. (?1,??)

C. (??,1)

D. ?? 1 ,1?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上) 13.已知幂函数 f ( x) 的图像过点 ? 14.不等式 ( )

?1 ? , 2 ? ,则幂函数 f ( x) = ?2 ?




1 4

x 2 ?8

? 4?2 x 的解集是
1

15. (4 ) ? (3 ) 3 ? (2 )
0

1 2

3 8

1 4

?

1 2

? (0.01) ?0.5 ?



1 1 x 16.与函数 f ( x) ? 2 的图像关于直线 y ? x 对称的曲线 C 对应的函数为 g ? x ? ,则函数 y ? g ( ) ? g (4 x) ( ? x ? 4) x 8 的值域为 . 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
已知 A ? x x ? 3 ? 1 , B ? ? x

?

?

?

x ?1 ? ? 0? ,求 A U B, A I ? CR B ? . ? x ?3 ?

18. (本小题满分 12 分) 计算下列各式: (1) (?3x 4 y 3 )(2 x
1 ? 1 ? 1 2

y 3 )(?4 x 4 y 3 ) ( x ? 0, y ? 0) ;
log 2 9 . log 2 3

2

1

2

(2) ? log3 18 ? log3 2 ? ? ? 2log 5 10 ? log 5 0.25 ? ?

19. (本小题满分 12 分) 1 1 已知函数 f ? x ? ? ? ? a ? 0, x ? 0? . a x (1)求证: f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数;

?1 ? ?1 ? (2)若 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,求 a 的值. ?2 ? ?2 ?

20. (本小题满分 12 分) 已知设函数 f ( x) ? log a (1 ? 2 x) ? log a (1 ? 2 x) ( a ? 0, a ? 1 ) . (1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明; (3)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? log 2 x, x ? ?1, 4? . (1)求函数 f ( x) 的值域; (2)设 g ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ?f x
2

? ? ,求 g ( x) 的最值及相应的 x 的值.
2

22. (本小题满分 12 分)

2x a ? (a ? 0) 是 R 上的偶函数. 已知函数 f ( x) ? a 2x
(1)求 a 的值; (2)解不等式 f ( x) ?

17 ; 4
?x

(3)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? 2

? m ? 1 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

哈师大附中 2015 级高一上学期期中考试数学试题答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 B 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 D 11 C 12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡相应的位置上)

13.

x ?1



14.

? ?2, 4 ?



15.

10



16.

? ?8,1?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 题(满分 10 分)
解:

A ? ? 2, 4 ? , B ? ? ??,1? U ? 3, ?? ?

A U B ? ? ??,1? U ? 2, ?? ? ?R B ? ?1,3? , A I ? ?R B ? ? ? 2,3?
18 题(满分 12 分)
解(1) 24 y ; (2) 2 .

19 题(满分 12 分)
解(1)在

? 0, ?? ? 上任取 x1 , x2 ,设 x1 ? x2 ,则:
1 1 ? 1 1 ? x1 ? x2 ? ?? ? ?? a x1 ? a x2 ? x1 ? x2

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

Q x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?

Q x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,? x1 ? x2 ? 0

? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数
(2)由(1)知

?1 ? f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数,所以 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上是增函数 ?2 ?

? ?1? 1 1 1 ?f ?2?? a ? 1 ? 2 2 ? ? ? ?? ?a? 2 5 ? 1 1 ? f ? 2? ? ? ? 2 a 2 ?

?a ?

2 5

20 题(满分 12 分)
解: (1 ) ?

?1 ? 2 x ? 0 1 1 ?? ?x? 2 2 ?1 ? 2 x ? 0

? 1 1? ? f ? x ? 的定义域为 ? ? , ? . ? 2 2?
(2)定义域为 ? ?

? 1 1? , ? ,关于原点对称 ? 2 2?

又因为

f ? ? x ? ? log a ?1 ? 2 x ? ? log a ?1 ? 2 x ? ? ? f ? x ?

? f ? x ? 为奇函数.
(3)

f ? x ? ? 0 ? loga ?1 ? 2 x ? ? log a ?1 ? 2 x ? ? 0 ? log a ?1 ? 2 x ? ? log a ?1 ? 2 x ?

? 1 时,原不等式等价为: 1 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? x ? 0 当 0 ? a ? 1 时,原不等式等价为: 1 ? 2 x ? 1 ? 2 x ? x ? 0
当a 又因为

? 1 1? f ? x ? 的定义域为 ? ? , ? ? 2 2?

所以使

? 1? ? 1 ? f ? x ? ? 0 的 x 的取值范围,当 a ? 1 时为 ? 0, ? ;当 0 ? a ? 1 时为 ? ? , 0 ? ; ? 2? ? 2 ?

21 题(满分 12 分) 解(1)Q f ? x ? 在 ?1, 4? 上单调递增

? f ? x? ? ? ? f ?1? , f ? 4 ?? ? ? ? 2 ? log 2 1, 2 ? log 2 4? ? ? 2, 4?

? f ? x ? 的值域为 ? 2, 4?
(2) g ? x ? ? 4 ? 4log 2 x ? ? log 2 x ? ? ? 2 ? 2log 2 x ? ? ? log 2 x ? ? 2log 2 x ? 2
2 2

其中: ?
设 log 2

?1? x ? 4 ?1? x ? 2 2 ?1 ? x ? 4

所以 g

? x ? 的定义域为 ?1, 2?
2

x ? t ? ?0,1?
2

则g

? x ? ? t 2 ? 2t ? 2 ? ?t ? 1?

? 1, t ? ?0,1?

Q y ? ? t ? 1? ? 1 在 ? 0,1? 上单调增

?t ? 0 即 x ? 1 时 g ? x ?min ? 2 ;?t ? 1 即 x ? 2 时 g ? x ?max ? 5
22 题(满分 12 分) 解: (1)Q f ? x ? 为偶函数

? f ? ? x ? ? f ? x ? 恒成立 ? f ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 恒成立
? 2 x a 2? x a ? x ? ? ?x a 2 a 2
恒成立,即 ?

?1 ? ? a ? ? 2 x ? 2? x ? ? 0 恒成立 ?a ?

1 ? a ? 0 ? a ? ?1,Q a ? 0 ? a ? 1 a ?a ? 1 2 17 17 x ?x (2)由(1)知 f ? x ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2x ? ? ? 2x ? 1 ? 0 4 4 17 1 x 2 设 2 ? t ,则不等式即为 t ? t ?1 ? 0 ? ? t ? 4 4 4 1 ? ? 2 x ? 4 ? ?2 ? x ? 2 4 ?
所以原不等式解集为 (3) m

? ?2, 2 ?

?2

x

? 2? x ? ? 2? x ? m ? 1 在 ? 0, ?? ? 上恒成立

即: m ?

2? x ? 1 1 ? 2x 在 ? 0, ?? ? 上恒成立 ? 2 x ? 2? x ? 1 22 x ? 2 x ? 1
,则



1 ? 2x ? t

m?

1 ? 2x t t 1 ? ? 2 ? 2 2x x 2 ? 2 ? 1 ? t ? 1? ? t t ? t ? 1 t ? 1 ? 1 t



t ? ? ??, 0 ?

时恒成立,所以

? ? ? 1 ? m?? ? ? t ? 1 ?1 ? ? t ?min ? ? ? 1 1 1 1 1 ? 1 Q t ? 0 ? t ? ? ?2 ? t ? ? 1 ? ?3? ? ? ?? ? ?? 1 1 t t 3 ? t ? ?1 ? 3 t ? ?1 t ? t ?min 1 ?m ? ? 3


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