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定积分与微积分基本定理


定积分与微积分基本定理
适用学科 适用区域 知识点
数学 通用

适用年级 课时时长(分钟)

高二 60

定积分的概念与几何意义;微积分基本定理 求定积分;定积分的简单应用

教学目标

1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2

.了解微积分基本定理的含义.

教学重点

微积分基本定理 求定积分

教学难点

微积分基本定理

1

教学过程
一、课堂导入

问题:什么是定积分?定积分与微积分基本定理是什么?

2

二、复习预习
1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的求解变得简捷.

3

三、知识讲解
考点 1 定积分的概念
设函数 y=f(x)定义在区间[a, b]上用分点 a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.把区间[a, b]分成 n 个小区间, 其长度依次为 Δxi =xi+1-xi,i=0,1,2,…,n-1.记 λ 为这些小区间长度的最大值,当 λ 趋近于 0 时,所有的小区间长度都趋近于 0, 在每个小区间内任取一点 ξi,作和式 In= i= ∑0 f(ξi)Δxi.当 λ→0 时,如果和式的极限存在,把和式 In 的极限叫做函数 f(x)
b 在区间[a,b]上的定积分,记作 ?b ∑ f(ξi)Δxi,其中 f(x)叫做被积函数,f(x)dx 叫做被积式,a af(x)dx,即 ?af(x)dx=lim λ→0 i=0 n-1 n-1

为积分下限,b 为积分上限.

4

考点 2 定积分的运算性质
b (1)?b akf(x)dx=k?af(x)dx (k 为常数).

(2)?b g(x)]dx=?b ?b a[f(x)± af(x)dx± ag(x)dx.
c b (3)?b af(x)dx=?af(x)dx+?c f(x)dx (a<c<b).

5

考点 3 微积分基本定理
b 如果 F′(x)=f(x),且 f(x)在[a,b]上可积,则 ?a f(x)dx=F(b)-F(a).其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数.

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四、例题精析
考点一定积分的计算 例 1 若定积分 ?m -2 π -x2-2xdx=4,则 m 等于 ( D.2 )

A.-1 B.0 C.1

7

【规范解答】根据定积分的几何意义知,定积分 ?m -2 =-2,x=m 所围成图形的面积,y=

-x2-2xdx 的值就是函数 y=

-x2-2x的图象与 x 轴及直线 x π -x2-2xdx=4,即

π -x2-2x是一个半径为 1 的半圆,其面积等于2,而 ?m -2

1 在区间[-2,m]上该函数图象应为4个圆,于是得 m=-1,故选 A. 【总结与反思】(1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分,再利用微积分基 本定理求解; (2)对函数图象和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解.

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考点二利用定积分求曲边梯形的面积 例2 如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3,0)处的切线所围成的图形的面积.

9

【规范解答】由题意,知抛物线 y=-x2+4x-3 在点 A 处的切线斜率是 k1=y′|x=0=4,在点 B 处的切线斜率是 k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线过点 A 的切线方程为 y=4x-3,过点 B 的切线方程为 y=-2x+6. ? ?y=4x-3, 3 3 设两切线相交于点 M,由? 消去 y,得 x=2,即点 M 的横坐标为2. ? ?y=-2x+6 3? ? ?3 ? 在区间?0,2?上,曲线 y=4x-3 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方;在区间?2,3?上,曲线 y=-2x+6 在曲线 ? ? ? ? y=-x2+4x-3 的上方.因此,所求的图形的面积是

【总结与反思】对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大致图形,然后根据图形特点,选择相应的积 分变量及被积函数,并确定被积区间.

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考点三定积分在物理中的应用 例3 1 一物体做变速直线运动,其 v-t 曲线如图所示,则该物体在2 s~6 s 间的运动路程为__________.

11

2t ?0≤t≤1? ? ?2?1≤t≤3? 【规范解答】由题图可知,v(t)=? 1 ? ?3t+1?3≤t≤6?



1 因此该物体在2 s~6 s 间运动的路程为

【总结与反思】定积分在物理方面的应用主要包括:①求变速直线运动的路程;②求变力所做的功.

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课程小结
1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x),即找被积函数的原函数,利用求导运算与 求原函数运算互为逆运算的关系,运用基本初等函数,求导公式和导数的四则运算法则,从反方向上求出 F(x). 2.利用微积分基本定理求定积分,有时需先化简,再积分. 3.利用定积分求所围成平面图形的面积,要利用数形结合的方法,确定被积函数和积分上、下限.

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