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广东省惠州市2014届高三第三次调研考试数学理试题 Word版含答案


惠州市 2014 届高三第三次调研考试

注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答

题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式:如果事件 A、B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) P( B) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1. 若复数 (a ? 3a ? 2) ? (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为(
2

学(理科)

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。



A .1

B.2
x

C .1或 2

D . ?1


2.已知集合 S ? { y | y ? 2 } ,集合 T ? {x | ln( x ? 1) ? 0} ,则 S ? T ? (

A .?

B . (0, 2)

C . (0,1)

D . (1, 2)
S4 ?( a2
开始 ) 输入 p

3.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则

A.2

B .4

C.

15 2

D.

17 2


n ? 1,S ? 0
S ? p?
是 否

4. 执行右边的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n ? (

A.3
2

B.4
2

C .5

D.6

5. 设椭圆

x y ? 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 2 m n

S?S?

1 2n

输出 n 结束

的焦点相同,离心率为

1 ,则此椭圆的方程为( 2
x2 y 2 ? ?1 12 16



n ? n ?1

A.

x2 y 2 ? ?1 16 12

B.

C.

x2 y 2 ? ?1 48 64

D.

x2 y 2 ? ?1 64 48

6.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时到 14 时的销售额进行统计,其频 率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售 额为 2.5 万元,则 11 时到 12 时的销售额为(

频率 ) 组距
0.40

A . 6 万元 B . 8 万元
C . 10 万元

0.25 0.10 0 9 10 11 12 13 14 时间

D . 12 万元

7. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据可得该几何体的表面积是(



A . 9?

B . 10?
C . 11?

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
3 2

D . 12?

8.已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1 ? x), 则对于任意实数 a, b(a ? b ? 0) , 则

f (a) ? f (b) 的值为( a?b
B.恒等于 0

) C.恒负 D. 不确定

A.恒正

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9 . 设 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N (3, 4) , 若 P(? ? 2a ? 3)? P ? ,则 a 的值 ( ? a? 2) 为 .

10. 已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1, 0) , | ? a ? b |?

?

?

? ?

29 且 ? ? 0 ,则 ? ?



11. 某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加社区服务,如果要求至少有 1 名女生, 那么不同的选派方案种数为 . (用数字作答)

? x ? 0, ? 12. 若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a , b 为坐标点 P(a, b) 所形 ?x ? y ? 1 ?
成的平面区域的面积等于 .
k k ?1

* 13. 对于 n ? N ,将 n 表示为 n ? ak ? 2 ? ak ?1 ? 2

? ??? ? a1 ? 21 ? a0 ? 20 ,当 i ? k 时,

ai ? 1 ; 当 0 ? i ? k ? 1时,ai 为 0 或 1. 定义 bn 如下: 在 n 的上述表示中, 当 a0 , a1 , a2 , ???, ak
中等于 1 的个数为奇数时, bn ? 1 ;否则 bn ? 0 .则 b3 ? b4 ? b5 ? b6 ? .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的 得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 ? cos ? ? 2 的 距离是____________. 15.(几何证明选讲选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F ,
A D B F C

E 是 AB 延长线上一点,且 DF ? CF ? 2 , AF : FB : BE ? 4 : 2 :1 ,
若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为 .

E

三、解答题: (本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本小题满分12分) 在 ?ABC 中,角 A 为锐角,记角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,设向量

?? ? ?? ? ? m ? (cos A,sin A), n ? (cos A, ? sin A) ,且 m 与 n 的夹角为 . 3 ?? ? (1)计算 m ? n 的值并求角 A 的大小;
(2)若 a ?

7, c ? 3 ,求 ?ABC 的面积 S .

17. (本题满分 12 分) 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对为本队赢得一分, 答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为

2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , , 3 3 3 2

且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ? 表示甲队的总得分. (1)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (2)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3 ”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队 总得分”这一事件,求 P( AB) .

18.(本小题满分 14 分) 如图, 平行四边形 ABCD 中, AB ? BD , AB ? 2 ,BD ?

2 ,沿 BD 将 ?BCD 折

起,使二面角 A ? BD ? C 是大小为锐角 ? 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的射影为 O . (1)求证: OD // AB; (2)当 ? 为何值时,三棱锥 C ? OAD 的体积最大?最大值为多少? C D C O A B A 19. (本小题满分 14 分) 正项数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ? (n ? n ? 1) S n ? (n ? n) ? 0 .
2 2 2

D B

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)令 bn ?

n ?1 5 * ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,证明:对于任意的 n ? N ,都有 Tn ? . 2 2 (n ? 2) an 64

20. (本小题满分 14 分) 如图, 已知动圆 M 过定点 F (0,1) 且与 x 轴相切, 点 F 关于圆心 M 的 对称点为 F ? ,动点 F ? 的轨迹为 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)设 A( x0 , y0 ) 是曲线 C 上的一个定点,过点 A 任意作两条倾斜角 互补的直线,分别与曲线 C 相交于另外两点 P 、 Q , 证明:直线 PQ 的斜率为定值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx, x ? R .
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2) ??? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ? N * ) .
n

惠州市 2014 届高三第三次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 B
2

2 D

3 C

4 B

5 A

6 C

7 D

8 A

1.【解析】1.由 a ? 3a ? 2 ? 0 且 a ? 1 ? 0 得 a ? 2 ,选 B; 2.【解析】集合 定义域,所以

A ? ? x | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3? ? ? x | ?1 ? x ? 2?

,集合 B 为函数 y ? 1g ( x ? 1) 的

B ? ? x | x ? 1?

,所以 A ? B ? (1,2]。故选 D

a1 (1 ? q 4 ) S 1 ? 24 15 1? q ? ? 故选 C 3【解析】解: 4 ? a2 a1q ?2 2
4.【解析】解:

1 1 1 ? ? ? 0.8 ,因此输出 n ? 4. 故选 B 2 4 8
2

5.【解析】抛物线 y ? 8 x 的焦点为(2,0) ,∴椭圆焦点在 x 轴上且半焦距为 2,



x2 y 2 2 1 ? 1 故选 A。 ? ? m ? 4 ,∴ n2 ? 42 ? 22 ? 12 ,∴椭圆的方程为 ? 16 12 m 2

6.【解析】设 11 时到 12 时的销售额为 x 万元,依设有

2.5 0.10 ? ? x ? 10 ,选 C x 0.40

7. 【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? . 故选 D
8.【解析】 【答案】A 解析:,可知函数 f ( x ) ? f ( ? x ) ? x ? ln( x ? 1 ? x ) ? ( ? x ) ? ln( x ? 1 ? x ) ? 0
3 2 3 2

所以函数为奇函数,同时, f ' ( x ) ? 3x ?
2

1 x2 ? 1

? 0 也是递增函数,注意到

f ( a ) ? f ( b) f ( a ) ? f ( ? b) f ( a ) ? f ( b) ,所以 ? ? 0 同号,所以,选 A a?b a ? ( ? b) a?b
二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题.

9. a ?

7 3

10.3

11.14 12.1 13.1

14. 1

15.

7 2

9.【解析】因为 ?=3 ,所以

7 (2a ? 3) ? (a ? 2) ? 3得a ? 3 2
2 2

10.【解析】由题意 ?a ? b = (4,1 ? ?, ?) ? 16 ? (? ? 1) ? ? ? 29(? ? 0) ? ? ? 3 11.?【解析】6 人中选 4 人的方案 C6 ? 15 种,没有女生的方案只有一种,所以满足要求的
4

方案总数有 14 种。 12. 【解析】本小题主要考查线性规划的相关知识。由 ax ? by ? 1 恒成立知,当 x ? 0 时,

by ? 1 恒成立,∴ 0 ? b ? 1 ;同理 0 ? a ? 1,∴以 a ,b 为坐标点 P(a, b)
所形成的平面区域是一个正方形,所以面积为 1.
1 0 2 1 0 13.【解析】依题意有 3 ? 1? 2 ? 1? 2 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 0 ? 2 , b4 ? 1 ;

5 ? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 0 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 2 2 ? 1? 21 ? 0 ? 2 0 , b6 ? 0 .
故 b3 ? b4 ? b5 ? b6 ? 1 14.【解析】曲线 ? ? 2 cos? 即 ? x ? 1? ? y ? 1 ,表示圆心在(1,0) ,半径等于 1 的圆,
2 2

直线 ? cos ? ? 2 即直线 x ? 2 ,故圆心到直线的距离为 1。 15.【解析】设 BE ? x ,则 AF ? 4 x, FB ? 2 x ,由 AF ? FB ? DF ? FC 得 x ?

1 。又 2

CE 2 ? EB ? EA 得 CE ?
三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)? m ?

7 2

cos 2 A ? sin 2 A ? 1, n ? cos 2 A ? (? sin A) 2 ? 1,

π 1 ? m ? n = m? n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ?c o s ? · .· 3 2
? m ? n= cos 2 A ? sin 2 A ? cos 2 A ,

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? cos 2 A ? . · 2 π ? 0 ? A ? , 0 ? 2 A ? π, 2 π π · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? 2A ? , A ? . · 3 6

(2)(法一) ? a ?

7, c ? 3 , A ?

π , 及 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , 6

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ?7 ? b2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4. ·

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 bc sin A ? 3. · 2 π a c (法二) ? a ? 7, c ? 3 , A ? , 及 , ? 6 sin A sin C
故S ?

? sin C ?

c sin A 3 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 a 2 7

?a ? c ,
?0 ? C ?
5 π 2 , cos C ? 1 ? sin A ? 2 2 7

π 1 3 2 ? sin B ? sin( π ? A ? C ) ? sin( ? C ) ? cos C ? sin C ? 6 2 2 7 a sin B · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ?b ? ? 4. · sin A 1 故 S ? bc sin A ? 3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2
17(本小题满分 12 分) 解: (1)解法一:由题意知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,且 …………1 分

1 2 ? 2? 2 ? 2? 1 P (? ? 0) ? C ? ?1 ? ? ? , P (? ? 1) ? C3 ? ? ?1 ? ? ? ,…………3 分 3 ? 3? 9 ? 3 ? 27
0 3 2 3

3

2

8 ?2? ? 2? 4 3 ?2? P(? ? 2) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? , P (? ? 3) ? C3 ?? ? ? .…………5 分 ?3? ? 3? 9 ? 3 ? 27
2 3

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

? 的数学期望为 E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .…………7 分 27 9 9 27

解法二:根据题设可知, ? ~ B ? 3, ? ,…………3 分 因此 ? 的分布列为

? ?

2? 3?

?2? ? 2? P(? ? k ) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ?3? ? 3?
k 3

k

3? k

? C3k ?

2k k ? 01 , , 2, 3 .…………5 分 33

因为 ? ~ B ? 3, ? ,所以 E? ? 3 ?

? ?

2? 3?

2 ? 2 .…………7 分 3

(2)解法一:用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一事件,所以 AB ? C ? D ,且 C,D 互斥,又…………8 分

? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? 10 P(C ) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ,…………10 分 ? 3 ? ? 3 ? ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3
2 3

2

?2? ?1 1 1? 4 P ( D ) ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ,…………11 分 ?3? ?3 3 2? 3
3 3

3

由互斥事件的概率公式得

P( AB) ? P(C ) ? P( D) ?

10 4 34 34 .…………12 分 ? ? ? 34 35 35 243

解法二:用 Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件,用 Bk 表示“乙队得 k 分”这一事件,k ? 01 , , 2, 3. 由于事件 A3 B0 , A2 B1 为互斥事件,故有 P( AB) ? P( A3 B0 ? A2 B1 ) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) . 由题设可知,事件 A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,…………10 分 因此

P( AB) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) ? P( A3 ) P( B0 ) ? P( A2 ) P( B1 )
22 ? 1 1 1 2 ? 34 ?2? ? 1 1? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? C32 ? 2 ? ? ? 2 ? ? C2 ? 2?? .…………12 分 3 ?2 3 2 3 ? 243 ?3? ?3 2?
18(本小题满分 14 分) 解: (1)∵ CO ? 平面 ABD , CO ? BD ,…1 分 ∵ BD ? SD , SD ? CO ? O …3 分
3

? BD ? 面 S C D …4 分

又O D ? 面COD

∴ BD ? OD ,

……5 分

? AB ? BD ……6 分
∴ AB // OD . ……7 分 (2)由题知 OD 为 CD 在平面 ABD 上的射影, ∵ BD ? CD , CO ? 平面 ABD ,∴ BD ? OD , ∴ ?ODC ? ? , …………8 分 ………9 分

1 1 1 VC ? AOD ? S?AOD ? OC ? ? ? OD ? BD ? OC 3 3 2
? 2 2 ? OD ? OC ? ? CD ? sin ? ? CD ? cos ? 6 6

………10 分

?

2 2 , ? sin 2? ≤ 3 3
当且仅当 sin 2? ? 1,即 ? ? 45? 时取等号,

………12 分 ………13 分

∴当 ? ? 45? 时,三棱锥 O ? ACD 的体积最大,最大值为 说明:向量法酌情给分 19(本小题满分 14 分)

2 . ……14 分 3

2 (1)解:由 Sn ? (n ? n ? 1) Sn ? (n ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 . ………2 分

2

2

2

由于 ? an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n ? n . …………3 分
2

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n . ………5 分
2 2

综上,数列 ? an ? 的通项 an ? 2n .

…………………6 分

(2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . …………7 分 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? . …………9 分 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n (n ? 2) 2 ? ?

……11 分

?

1 1 1 1 [1 ? 2 ? ? ] …………13 分 2 16 2 ( n ? 1) ( n ? 2) 2

?

1 1 5 . (1 ? 2 ) ? 16 2 64

…………14 分

20(本小题满分 14 分)解: (1) (法 1)设 F '( x , y) ,因为点 F (0 , 1) 在圆 M 上, 且点 F 关于圆心 M 的对称点为 F ' , 所以 M (

x y ?1 , ), 2 2

…………1 分

且圆 M 的直径为 | FF '|?

x 2 ? ( y ? 1) 2 .…………2 分

由题意,动圆 M 与 y 轴相切, 所以

| y ?1| ? 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 2 ,两边平方整理得: x ? 4 y , 2
2

所以曲线 C 的方程 x ? 4 y .

……………………………………6 分

(法 2)因为动圆 M 过定点 F (0 , 1) 且与 x 轴相切,所以动圆 M 在 x 轴上方, 连结 FF ' ,因为点 F 关于圆心 M 的对称点为 F ' ,所以 FF ' 为圆 M 的直径. 过点 M 作 MN ? x 轴,垂足为 N ,过点 F ' 作 F ' E ? x 轴,垂足为 E (如图 6-1) . 在直角梯形 EOFF ' 中, | F ' F |? 2 | MF |? 2 | MN |?| F ' E | ? | FO |?| F ' E | ?1 , 即动点 F ' 到定点 F (0 , 1) 的距离比到 x 轴的距离 1.…………………3 分 又动点 F ' 位于 x 轴的上方(包括 x 轴上) , 所以动点 F ' 到定点 F (0 , 1) 的距离与到定直线 y ? ?1 的距离相等. 故动点 F ' 的轨迹是以点 F (0 , 1) 为焦点,以直线 y ? ?1 为准线的抛物线. 所以曲线 C 的方程 x ? 4 y .
2

……………6 分

(2)①(法 1)由题意,直线 AP 的斜率存在且不为零,如图 6-2. 设直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,则直线 AQ 的斜率为 ? k . ………………7 分 因为 A( x0 , y0 ) 是曲线 C : x ? 4 y 上的点,
2

y

P
F? '

x2 x2 所以 y0 ? 0 ,直线 AP 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? x0 ) . 4 4
?x ? 4 y ? x ? x0 ? x ? ? x0 ? 4k ? ? ? 2 2 由? ,解得 ? x0 或 ? (? x0 ? 4k ) 2 , x0 y ? y ? y ? ? k ( x ? x ) ? ? ? 0 4 ? 4 ? 4 ?
2

A

?

M
?

F

Q
x

O

图6?2

所以点 P 的坐标为 (? x0 ? 4k ,

(? x0 ? 4k ) 2 ) ,……………9 分 4

以 ? k 替换 k ,得点 Q 的坐标为 (? x0 ? 4k ,

( x0 ? 4k )2 ). 4

……………10 分

所以直线 PQ 的斜率 k PQ

( x0 ? 4k ) 2 (? x0 ? 4k ) 2 ? 16 kx0 x 4 4 ? ? ? ? 0 为定值.………14 分 (? x0 ? 4k ) ? (? x0 ? 4k ) ? 32 k 2
2

2 2 x0 x0 (法 2)因为 A( x0 , y0 ) 是曲线 C : x ? 4 y 上的点,所以 y0 ? , A( x0 , ) . 4 4 2 2 x x 2 又点 P 、 Q 在曲线 C : x ? 4 y 上,所以可设 P( x1 , 1 ) , Q ( x2 , 2 ) , ……7 分 4 4

而直线 AP , AQ 的倾斜角互补,
2 2 x12 x0 x2 x2 ? ? 0 4 ?? 4 4 ,……9 分 所以它们的斜率互为相反数,即 4 x1 ? x0 x2 ? x0

整理得 x1 ? x2 ? ?2 x0 .……10 分

所以直线 PQ 的斜率 k PQ

x2 x2 2 ? 1 4 …11 分 ? 4 x 2 ? x1

?

x1 ? x 2 …13 分 4

?

?2 x0 x ? ? 0 …14 分为定值.………14 分 4 2

21(本小题满分 14 分) 解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .……2 分
x x

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1 , ? ?) , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??, 1) …………4 分 (2)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立.……5 分 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) .
x

此时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上单调递增.故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.…6 分 ②当 k ? (1 , ? ?) 时, ln k ? 0 . 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(0, ln k )
?
单调递减

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递增

由此可得,在 [0, ? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 , ?1 ? k ? e . 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .……9 分 (3)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e ,……10 分
x ?x

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 ,…11 分 ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F(2) F( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 ,… F( n) F(1) ? e n?1 ? 2 ,
由此得,

[ F (1) F (2)? F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F ( n) F (1)] ? (e n?1 ? 2) n ………13 分
故 F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 ,n ? N? .…………14 分
n


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