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高中数学第五章知识点总结(精华版) 平面向量


高中数学第五章-平面向量
考试内容: 向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面 向量的数量积.平面两点间的距离、平移. 考试要求: (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用 掌握平移公式.

§ 平面向量 知识要点 05.
1.本章知识网络结构

?
2.向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向.?(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y).? (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.? (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O.? 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1.? (5)相等的向量:大小相等,方向相同?(x1,y1)=(x2,y2) ? ?
? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量.? 3.向量的运算? 运算类型 向量的 加法 几何方法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 坐标方法
? ? a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

运算性质
? ? ? ? a?b ?b?a
? ? ? ? ? ? ( a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

AB ? BC ? AC

向量的 减法

三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b)

??? ? ??? ? A B ? ? B A , OB ? OA ? AB

1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |? | ? || a | 2. ? >0 时, ? a与 a 同向;
? ? ? <0 时, ? a与 a 异向;
? ? ? =0 时, ? a ? 0 .

?

?

?

? ( ? a ) ? (? ? )a
? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ? a

?

?

?

?

? a ? (? x, ? y )

?

? (a ? b) ? ? a ? ? b
? ? ? ? a // b ? a ? ? b

?

?

?

?

? ? a ? b 是一个数

? ? ? ? a?b ? b?a
? ? ? ? ? ? (? a ) ? b ? a ? (? b ) ? ? (a ? b )

向 量 的 数 量 积

? ? ? ? 1. a ? 0或 b ? 0 时, ? ? a?b ? 0.
? ? ? ? a ? 0且 b ? 0时 , 2. ? ? ? ? a ?b ? | a || b | co s( a , b )

? ? a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

?2 ? ?? 2 a ? | a | 即 |a |=
? ? ? ? | a ? b |? | a || b |

x ? y
2

2

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一 对实数λ 1, λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件? a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件? a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.? (4)线段的定比分点公式? 设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为λ ,即 P1 P =λ PP 2 ,则?
OP =

1 1? ?

OP 1 +

1 1? ?

OP 2 (线段的定比分点的向量公式)?

x1 ? ? x 2 ? ?x ? 1 ? ? , ? (线段定比分点的坐标公式)? ? ? y ? y1 ? ? y 2 . ? 1? ? ?

当λ =1 时,得中点公式:?
x1 ? x 2 ? , ?x ? 1 ? 2 OP = ( OP 1 + OP 2 )或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?

(5)平移公式 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′) , 则 O P ? = OP +a 或 ?
? x ? ? x ? h, ? y? ? y ? k.

曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为: y-k=f(x-h) (6)正、余弦定理? 正弦定理:
2

a sin A
2

?
2

b sin B

?

c sin C

? 2 R.

余弦定理:a =b +c -2bccosA,? 2 2 2 b =c +a -2cacosB,? 2 2 2 c =a +b -2abcosC.? (7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长为 P,外接圆、内切圆的半径 为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=
P ? P ? a ?? P ? b ?? P ? c ?

[海伦公式]

⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心.A 如图: A
A

E

F

A c

c

c
b

b

O
B N

D I

F b
D

B E ra

a C F ra I

C

C

a

B

B

a E

C

ra

1图

图2

图3

图4

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra

附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ⑸已知⊙O 是△ABC 的内切圆, BC=a, 若 AC=b, AB=c [注: 为△ABC 的半周长,即 s 则:①AE= s ? a =1/2(b+c-a) ②BN= s ? b =1/2(a+c-b) ③FC= s ? c =1/2(a+b-c) 综合上述:由已知得,一个角的邻边的切线长,等于半周长减去对边(如图 4). 特例:已知在 Rt△ABC,c 为斜边,则内切圆半径 r= ⑹在△ABC 中,有下列等式成立 tan 证明:因为 A ? B
a?b?c 2 ? ab a?b?c

a?b?c 2

]

(如图 3).

A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C

.
? ? tan C

? ? ? C , 所以 tan ? A ? B ? ? tan ?? ? C ? ,所以

tan A ? tan B 1 ? tan A tan B
2

,? 结论!

⑺在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点,则 AD 证明:在△ABCD 中,由余弦定理,有 AD 在△ABC 中,由余弦定理有 cos 可得, AD
2
2

2

?

AC

2

BD ? AB BC

BC

? BD ? DC

.

? AB
2

2

? BD
2

2

? 2 ? AB ? BD cos B ?



B ?

AB

2

? BC

? AC

2 AB ? BC

?

②,②代入①,化简
A

?

AC

2

BD ? AB BC

2

BC

? BD ? DC
1 2

(斯德瓦定理)
? 2c
2

图 5

①若 AD 是 BC 上的中线, m a ②若 AD 是∠A 的平分线, t a ③若 AD 是 BC 上的高, h a ⑻△ABC 的判定:
?

?

2b

2

?a

2


B ,其中 p 为半周长; D C

? 2 a

2 b?c

bc ? p ? p ? a ?

p ? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ?

,其中 p 为半周长.

c ? a ? b ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
2 2 2

2

c

2

< a 2 ? b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B< > a 2 ? b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B>
C ? a ?b ?c
2 2 2

?
2

c

2

?
2

附:证明: cos

,得在钝角△ABC 中, cos C ? 0 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 , ? a 2 ? b 2 ? c 2

2 ab

⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和.
a ? b ? a ? b ? 2( a ? b )
2 2 2 2

空间向量 1.空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
王新敞
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王新敞
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新疆

王新敞
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新疆

王新敞
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王新敞
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? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

? OP ? ? a ( ? ? R )

运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a
? ? ? ? ?

?

?

?

?

⑵加法结合律: ( a ? b ) ? c ? a ? ( b ? c ) ⑶数乘分配律: ? ( a ? b ) ? ? a ? ? b
王新敞
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?

?

?

?

?

3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平 行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是 同一直线,也可能是平行直线. 4.共线向量定理及其推论: 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0 ),a // b 的充要条件是存在实数 λ, 使 a =λ b . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式
? OP ? OA ? t a . ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 5.向量与平面平行: 已知平面 ? 和向量 a ,作 O A ? a ,如果直线 O A 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 ? ? a 平行于平面 ? ,记作: a // ? . 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理:
王新敞
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?

?

??? ?

?

王新敞
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新疆

如 果 两 个 向 量 a , b 不 共 线 , p 与 向 量 a , b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x, y 使

? ?

?

? ?

? ? ? p ? xa ? yb

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推论:空间一点 P 位于平面 M A B 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ,使 ???? ???? ???? ??? ? ???? ? ???? ???? M P ? x M A ? y M B 或对空间任一点 O ,有 O P ? O M ? x M A ? y M B ① ①式叫做平面 M A B 的向量表达式
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7 空间向量基本定理:
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如果三个向量 a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组
? ? ? ? x , y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc

? ? ?

?

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推论:设 O , A , B , C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个 有序实数 x , y , z ,使 O P ? xO A ? y O B ? z O C 8 空间向量的夹角及其表示:
王新敞
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??? ?

??? ?

??? ?

????
王新敞
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已知两非零向量 a , b , 在空间任取一点 O , O A ? a , O B ? b , ? A O B 叫做向量 a 与 作 则
? ? ? ? ? ? ? ? ? b 的 夹 角 , 记 作 ? a , b ? ; 且 规 定 0 ?? a , b ?? ? , 显 然 有 ? a , b ??? b , a ? ; 若
? ? ? ? ? ? ? ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b . 2

? ?

??? ?

? ? ???

?

?

9.向量的模: 设 O A ? a ,则有向线段 O A 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . 10.向量的数量积: a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a , b ? . 已知向量 A B ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A ? , 作点 B 在 l 上的射影 B ? ,则 A ? B ? 叫做向量 A B 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A ? B ? 的长度 | A ? B ? |? | A B | cos ? a , e ? ? | a ? e | . 11.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ? | a | cos ? a , e ? .(2) a ? b ? a ? b ? 0 .(3) | a | ? a ? a .
2

??? ?

?

??? ?

?

?

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?

?

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?

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?????

??? ?

?

?????

?????

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12.空间向量数量积运算律: (1)( ? a ) ? b ? ? ( a ? b ) ? a ? ( ? b ) . (2)a ? b ? b ? a (交换律) (3)a ? ( b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律). 空间向量的坐标运算 一.知识回顾: (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标),y 轴是纵轴(对 应为纵轴),z 轴是竖轴(对应为竖坐标).
? ? ? ? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

? ?

? ?

①令 a =(a1,a2,a3), b

? ( b1 , b 2 , b 3 )

,则
? a ? ( ? a 1 , ? a 2 , ? a 3 )( ? ? R )
a1 b1 ? a2 b2 ? a3 b3
a ?b ?a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3

a ? b ? ( a 1 ? b 1 ,a 2 ? b 2 ,a 3 ? b 3 )
a

∥b

? a 1 ? ? b 1 ,a 2 ? ? b 2 ,a 3 ? ? b 3 (? ? R ) ?

a ? b ? a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0
2

a ?

a ?a ?

a

2
1

?a

2
2

?a

2
3

(用到常用的向量模与向量之间的转化:
a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3

a

? a ?a ? a ?

a ?a

)

? ? cos ? a , b ??

? ? a ?b ? ? ? | a |?|b |

2 a1

? a2 ? a3 ?

2

2

b1 ? b 2 ? b 3
2

2

2

2

②空间两点的距离公式: d

?

( x 2 ? x1 )

? ( y 2 ? y1 )

2

? ( z 2 ? z1 )

2

.
??

(2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a 如果 a
??



那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量.

(3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射 线,其中 A ? ? ,则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB ? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理: n 1 , n 2 分别是二面角 ? 设

?l??

中平面 ? , ? 的法向量,

n 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 n 1 , n 2 方向相同, ( 则为补角, 1 , n 2

反方,则为其夹角). ③证直线和平面平行定理:已知直线 a

??

平面 ? , A ? B ? a , C ? D ? ? ,且 CDE 三点不共线,
? ? CD ? ? CE

则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB
?, ?

. 常设 AB (

? ? CD ? ? CE

求解

若 ? , ? 存在即证毕,若 ? , ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A


B

B

n

?
?
A



n1

C

D E

n2

?

?

C


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