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2013-2014学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(文科)(B卷)(解析版)


2013-2014 学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷(文科) (B 卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支 正确.请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑. 1. (2014 春?东莞期末)给出如下“三段论”推理: 因为整数是自然数,…大前提 而﹣5 是整数,…小前提 所以﹣5 是自然数.…结 论 则( ) A.这个推理的形式错误 B. 这个推理的大前提错误 C.这个推理的小前提错误 D.这个推理正确 考点:演绎推理的意义. 专题:计算题;推理和证明. 分析:要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提,小前提和结论及推理形式是否都正 确,根据这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确. 解答: 解:因为大前提是:整数是自然数,不正确,导致结论错误, 所以错误的原因是大前提错误, 故选:B. 点评:本题考查演绎推理,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 2. (2014 春?东莞期末)若复数 z1=a+2i,z2=2﹣4i,且 z1?z2 为纯虚数,则实数 a 的值为( A. 4 B. 1 C. ﹣4 D. ﹣1 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由已知计算 z1?z2,利用 z1?z2 为纯虚数,得到 a 值. 解答: 解:因为复数 z1=a+2i,z2=2﹣4i,且 z1?z2 为纯虚数, 所以 z1?z2=(a+2i) (2﹣4i)=(2a+8)+(4﹣4a)i 为纯虚数, 所以 2a+8=0 且 4﹣4a≠0,解得 a=﹣4; 故选 C. 点评:本题考查了复数的运算以及基本概念;正确进行复数的乘法运算是关键. 3. (2008?福建)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a +c ﹣b = 的值为( ) A. B. C. 或
2 2 2



ac,则角 B D. 或

考点:余弦定理的应用. 专题:计算题.
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分析:通过余弦定理求出 cosB 的值,进而求出 B. 解答: 解:∵ ,

∴根据余弦定理得 cosB= ∴ ,又在△ 中所以 B 为 .

,即



故选 A. 点评:本题考查了余弦定理的应用.注意结果取舍问题,在平时的练习过程中一定要注意此点. 4. (2014 春?东莞期末)求 S=1+3+5+…+101 的程序框图如图所示,其中①应为( )

A. 101

A=101

B.A≥101

C. A≤101

D. A>

考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据已知中程序的功能是求 S=1+3+5+…+101 的值,由于满足条件进入循环,每次累加的是 A 的值,当 A≤101 应满足条件进入循环,进而得到答案. 解答: 解:∵程序的功能是求 S=1+3+5+…+101 的值, 且在循环体中,S=S+A 表示,每次累加的是 A 的值, 故当 A≤101 应满足条件进入循环, A>101 时就不满足条件 故条件为:A≤101 故选 C 点评:本题考查的知识点是程序框图,利用当型循环结构进行累加运算时,如果每次累加的值为循 环变量值时,一般条件为循环条件小于等于终值. 5. (2014 春?东莞期末)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设 正确的是( ) A. 假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角至多有一个大于 60 度 C. 假设三内角都大于 60 度
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D. 假设三内角至多有两个大于 60 度 考点:反证法与放缩法. 专题:推理和证明. 分析:熟记反证法的步骤,直接填空即可. 解答: 解:根据反证法的步骤,第一步应假设结论的反面成立,即三角形的三个内角都大于 60°. 故选:C. 点评: 反证法的步骤是: (1)假设结论不成立; (2)从假设出发推出矛盾; (3)假设不成立,则结论成立. 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以 了,如果有多种情况,则必须一一否定. 6. (2013?北京)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( A. ac>bc B. ) C. a >b
2 2

D. a >b

3

3

考点:不等关系与不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:对于 A、B、C 可举出反例,对于 D 利用不等式的基本性质即可判断出. 解答: 解:A、3>2,但是 3×(﹣1)<2×(﹣1) ,故 A 不正确; B、1>﹣2,但是 ,故 B 不正确;
2 2

C、﹣1>﹣2,但是(﹣1) <(﹣2) ,故 C 不正确; 3 3 D、∵a>b,∴a >b ,成立,故 D 正确. 故选:D. 点评:熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键.

7. (2011?广州一模)已知椭圆 值为( A. ) B.

与双曲线

有相同的焦点,则 a 的

C. 4

D. 10

考点:圆锥曲线的共同特征. 专题:计算题. 分析:求出双曲线的两焦点坐标,即为椭圆的焦点坐标,即可得到 c 的值,然后根据椭圆的定义得 到 a,最后利用 a,b,c 的关系即可求出 a 的值. 解答: 解:双曲线方程化为 由此得 a=2,b= c= , , (3 分) , (1 分)

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焦点为(﹣ ,0) , ( ,0) . (7 分) 2 2 2 椭圆中,则 a =b +c =9+7=16. (11 分) 则 a 的值为 4. 故选 C. 点评:此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征,会求椭圆的标准方程,是一道综合题.本题还考查 双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,利用条件求出 a,b,c 值,是解题的关键. 8. (2015?枣庄校级模拟)下列命题的说法错误的是(
2


2

A. 命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”. 2 B. “x=1 是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件. C. 对于命题 p:?x∈R,x +x+1>0,则¬p:?x0∈R, D. 若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题. 考点:特称命题;复合命题的真假;命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: 直接写出原命题的逆否命题判断 A; 求出一元二次方程 x ﹣3x+2=0 的解判断 B; 直接写出全称命题的否定判断 C; 由复合命题的真值表判断 D. 2 2 解答: 解:命题“若 x ﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为:“x≠1,则 x ﹣3x+2≠0”.选项 A 正确; 2 2 若 x=1,则 x ﹣3x+2=0.反之,若 x ﹣3x+2=0,则 x=1 或 x=2. 2 ∴“x=1 是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件.选项 B 正确; 命题 p:?x∈R,x +x+1>0 为全称命题,其否定为特称命题,即¬p:?x0∈R,
2 2 2



.选

项 C 正确; 若 p∧q 为假命题,则 p 或 q 为假命题.选项 D 错误. 故选:D. 点评:本题考查了命题的真假判断及应用,关键是掌握全称命题及特称命题的否定格式,掌握复合 命题的真值表,是中档题. 9. (2014 春?东莞期末)有一散点图如图所示,在 5 个(x,y)数据中去掉 D(3,10)后,下列 说法正确的是( )

A. B. C. D.

残差平方和变小 相关系数 r 变小 2 相关指数 R 变小 解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变弱
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考点:回归分析. 专题:概率与统计. 分析:利用散点图分析数据,判断相关系数,相关指数,残差的平方和,的变化情况. 解答: 解:∵从散点图可分析得出:只有 D 点偏离直线远,去掉 D 点, 变量 x 与变量 y 的线性相关性变强, ∴相关系数变大,相关指数变大,残差的平方和变小, 故选:A

点评:本题考察了利用散点图分析数据,判断变量的相关性问题,属于运用图形解决问题的能力, 属于容易出错的题目. 10. (2014 春?东莞期末)如图所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(色括两个端点)有 n(n >1,n∈N )个点, 相应的图案中总的点数记为 an, 则
*

+

+

+…+

=(



A.

B.

C.

D.

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据图象的规律可得出通项公式 an,根据数列{ 的公式,而则 + + +…+ }的特点可用列项法求其前 n 项和

=是前 2012 项的和,代入前 n 项和公式即可得到

答案. 解答: 解:每个边有 n 个点,把每个边的点数相加得 3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故 第 n 个图形的点数为 3n﹣3,即 an=3n﹣3, 令 Sn= ﹣ = ∴ + + , + +…+ = . + + …+ = + +…+ =1 + …+

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故选 C. 点评: 本题主要考查简单的和清推理,求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和问题, 同时考查了计算能力,属中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 11. (2009?上海)抛物线 y =x 的准线方程为 x=﹣
2



考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题. 2 2 分析:抛物线 y =x 的焦点在 x 轴上,且开口向右,2p=1,由此可得抛物线 y =x 的准线方程. 2 解答: 解:抛物线 y =x 的焦点在 x 轴上,且开口向右,2p=1 ∴ ∴抛物线 y =x 的准线方程为 x=﹣ 故答案为:x=﹣ 点评:本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的几何性质,定型与定位是关键.
2

12.(2014 春?东莞期末) 设 x, y 满足约束条件

, 则目标函数 z=3x﹣y 的最大值为 7 .

考点:简单线性规划. 专题:数形结合;不等式的解法及应用. 分析:由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得:B(2,1) ,
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化 z=3x﹣y 为 y=3x﹣z, 由图可知,当直线 y=3x﹣z 过 B(2,1)时 z 有最大值为 3×2﹣1=7. 故答案为:7. 点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 13. (2014 春?东莞期末)若 a+2bi=2﹣ai,其中 a,b 都是实数,i 是虚数单位,则|a+bi|= 考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:首先利用复数相等得到关于 a,b 的方程组,求出 a,b,然后求模. 解答: 解:因为 a+2bi=2﹣ai,其中 a,b 都是实数,i 是虚数单位, 所以 则|a+bi|= ,解得 a=2,b=﹣1,则 a+bi=2 ; ﹣i, .

故答案为: 点评:本题考查了复数相等以及求模;如果复数 a+bi=c+di,那么 a=c 并且 b=d. 14. (2014 春?东莞期末)在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个 直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c =a +b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图的 截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O﹣LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面 面积,S4 表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .
2 2 2

考点:类比推理. 专题:计算题;推理和证明. 分析:从平面图形到空间图形,同时模型不变. 解答: 解:建立从平面图形到空间图形的类比,于是作出猜想: 故答案为: . .

点评:本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力.解题的关键是掌握好类比推理的 定义. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答 过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效. 15. (12 分) (2014 春?东莞期末)已知复数 z1=1﹣2i,z2=3+4i,i 为虚数单位. (1)若复数 z1+az2 对应的点在第四象限,求实数 a 的取值范围; (2)若 z= ,求 z 的共轭复数 .
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考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: (1)化简复数 z1+az2 为 a+bi 的形式,求出对应点利用点在第四象限,得到不等式组,即 可求实数 a 的取值范围; (2)化简复数 z= ,为 a+bi 的形式,然后求出它的共轭复数 .

解答: 解: (1)∵z1=1﹣2i,z2=3+4i, ∴复数 z1+az2=(1+3a)+(4a﹣2)i. 由题意可得, (2) z= ﹣i, =﹣1+i. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数对应点的位置,共轭复数的求法,考查计算能力. 16. (12 分) (2014 春?东莞期末)针对时下的网购热,某单位对“喜欢网购与职工性别是否有关”进 行了一次调查,其中男职工有 60 人,女职工人数是男职工人数的 ,喜欢网购的男职工人数是男职 工人数的 ,喜欢网购的女职工人数是女职工人数的 . (1)根据以上数据完成下面的 2×2 列联表. 喜欢网购 不喜欢网购 总计 男职工 女职工 总计 (2)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜欢网购与职工性别有关系? 参考数据及公式: 2 P(K ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K=
2

,解得 a



=

=

=

=

=

=﹣1

,其中 n=a+b+c+d.

考点:独立性检验的应用. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)本题是一个简单的数字的运算,根据 a,b,c,d 的已知和未知的结果,做出空格处 的结果.

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(2)由已知数据可求得观测值,把求得的观测值同临界值进行比较,看能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜欢网购与职工性别有关系. 解答: 解: (1)依题意,2×2 列联表为: 喜欢网购 不喜欢网购 总计 男职工 10 50 60 女职工 20 10 30 总计 30 60 90QUOTE …(6 分) (2)由 K =
2

=22.5≥10.828,…(10 分)

因此,在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为喜欢网购与职工性别有关.…(12 分) 点评:本题考查独立性检验的列联表.考查假设性判断,解题的过程比较麻烦,但这种问题的解答 原理比较简单,是一个送分题目. 17. (14 分) (2014 春?东莞期末)通过市场调查,得到某产品的资金投入 x(万元)与获得的利润 y (万元)的数据,如表所示: 资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 7 8 (1)画出表中数据对应的散点图; (2)根据上表提供的数据,用最小二乘法求线性回归直线方程 (3)现投入资金 15(万元) ,估计获得的利润为多少万元? 参考公式: = x+ ;

用最小二乘法求线性回归方程系数公式:

=



= =



考点:回归分析的初步应用. 专题:应用题;概率与统计. 分析: (1)根据所给的五对数据,在坐标系中描出对应的点,画出散点图,可以看出这组数据是 线性相关的关系.
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(2) 作出横标和纵标的平均数, 得到样本中心点的坐标, 利用最小二乘法作出线性回归方程的系数, 得到方程. (3)把所给的 x 的值代入线性回归方程,求出 y 的预报值,得到投入资金 15(万元) ,估计获得的 利润为 22.6 万元. 解答: 解: (1)由 x、y 的数据可得对应的散点图为:…(3 分) (2)由题意, =4, =5,… b= ∴a=5﹣1.6×4=﹣1.4,即 =1.6,…(9 分) =1.6x﹣1.4.…(11 分) =22.6.…(13 分)

(3)由(2)可得,当 x=15,

∴投入资金 15(万元)时,估计获得的利润为 22.6 万元.…(14 分)

点评:本题考查线性回归方程,是一个中档题,本题解题的关键是正确利用最小二乘法来计算线性 回归方程的系数. 18. (14 分) (2014 春?东莞期末)已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=1,nan+1=2Sn(n∈N ) . (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. * 分析: (1)通过 a1=1、nan+1=2Sn(n∈N )直接代入计算即可; (2)当 n>1 时利用 nan+1﹣(n﹣1)an=2Sn﹣2Sn﹣1 可知 nan+1=(n+1)an,进而 累乘法计算并验证当 n=1 时亦成立即可. * 解答: 解: (1)∵a1=1,nan+1=2Sn(n∈N ) , ∴a2=2S1=2a1=2, ∵2a3=2S2=2(a1+a2)=2(1+2)=6, ∴a3=3, ∵3a4=2S3=2(a1+a2+a3)=2(1+2+3)=12, ∴a4=4; (2)当 n>1 时,由 nan+1=2Sn 得(n﹣1)an=2Sn﹣1, ∴nan+1﹣(n﹣1)an=2Sn﹣2Sn﹣1=2an, 化简得:nan+1=(n+1)an, = ,利用
*

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=



∵a2=2, ∴ = ,

= , … = ,

以上(n﹣1)个式子相乘得:an=

…×

=n,

又 a1=1 满足上式, * ∴an=n(n∈N ) . 点评:本题考查数列的通项,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

19. (14 分) (2014 春?东莞期末) 已知抛物线 y =2px (p>0) 经过点 M (2, 4) , 其焦点为椭圆

2

+

=1

(a>b>0)的右焦点,椭圆的离心率 e= . (1)求这两条曲线的标准方程; (2)过椭圆的左焦点作抛物线的切线 l,求切线 l 的方程. 考点:抛物线的简单性质. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: (1)利用抛物线 y =2px(p>0)经过点 M(2,4) ,可得抛物线的方程,即可求出椭圆的 焦点,利用椭圆的离心率 e= ,求出 a,b,即可得出椭圆的方程; (2)设切线 l 的斜率为 k,则切线 l 的方程为 y=k(x+2) ,带入抛物线方程,利用判别式等于 0,即 可得出结论. 解答: 解: (1)∵抛物线 y =2px(p>0)经过点 M(2,4) , 2 ∴4 =2p×2,解得 p=4,…(2 分) 2 ∴抛物线的标准方程为 y =8x.…(3 分) ∴抛物线的焦点为(2,0) ,即椭圆的焦点为 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,即 c=2. 又∵椭圆的离心率 e= = ,∴a=4,b=2 ,…(6 分)
2

…(4 分)

∴椭圆的标准方程为

.…(7 分)

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(2)由题意知切线 l 的斜率存在,设切线 l 的斜率为 k,则切线 l 的方程为 y=k(x+2) .…(8 分) 由 消去 y,得方程 k x +(4k ﹣8)x+4k =0.…(10 分)
2 2 2 2 2 2 2 2

∵l 与抛物线相切,∴△=(4k ﹣8) ﹣4k ?4k =0,∴k=±1,…(12 分) ∴切线 l 的方程为 y=x+2 或 y=﹣x﹣2.…(14 分) 点评:本题考查抛物线、椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力, 属于中档题. 20. (14 分) (2014 春?东莞期末)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=x ﹣2af(x) (a∈R 且 a≠0) . (1)若 a=1,求函数 g(x)在区间[1,2]上的最小值; (2)若 f(x)<g(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数 g(x)的导数,根据 x 的范围,确定导函数的符号,从而求出函数的单 调区间; (2)问题转化为 1+2a< 在 x∈(1,+∞)上恒成立,令 h(x)= (x>1) ,通过求导得到函
2

数 h(x)的最小值,进而求出 a 的范围. 2 解答: 解: (1)当 a=1 时,g(x)=x ﹣2lnx,x∈[1,2], ∴g′(x)=2x﹣ = ,

因为 x∈[1,2],所以 g′(x)≥0, 所以 g(x)在区间[1,2]上单调递增,即 x=1 时,g(x)min=g(1)=1, (2)要使得 f(x)<g(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立, 即 lnx<x ﹣2alnx 在 x∈(1,+∞)上恒成立, 亦即 1+2a< 令 h(x)= 在 x∈(1,+∞)上恒成立, (x>1) ,则 h′(x)= ,
2

当 x∈(1, )时,2xlnx﹣x<0,h′(x)<0, 即 h(x)在(1, )上为单调递减函数; 当 x∈( ,+∞)时,2xlnx﹣x>0,h′(x)>0, 即 h(x)在( ,+∞)上为单调递增函数, 因此 h(x)min=h( )=2e, 所以要使得 1+2a< 在 x∈(1,+∞)上恒成立,

就有 1+2a<h(x)min=2e, ∴a<e﹣ ,

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∴a<e﹣ 时,f(x)<g(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立. 点评:不同考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,函数恒成立问题,是一道中档题.

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