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南京市2016届高考考前综合题(终稿) (1)


南京市 2016 届高考考前综合题
一、填空题 1.已知 α,β,γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,下列命题中正确的个数是 ①若 α⊥β,l⊥β,则 l 不一定平行 α; ②若 α⊥β,γ⊥β,则 γ∥α; ③若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α; ④若 l 与 α,β 所成角相等,则 α∥β. 2.已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S

1=6,S2+S3=60,则 S4 的值为 .15150515 .

3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{an}满足 an+2-an=d(d 为常数,且 d≠0,n∈N*),a1=1,a2=2, 且 a1a2,a2a3,a3a4 成等差数列,则 S20 等于 . 4.已知函数 f (x)=2 |x|+cosx-π,则不等式(x-2)f (x)>0 的解集是 ________ . 5.已知圆 O:x2+y2=r2(r>0)及圆上的点 A(0,-r),过点 A 的直线 l 交圆于另一点 B,交 x 轴于点 C,若 OC=BC,则直线 l 的斜率为_______. x2 y2 6. 已知斜率为 3的直线 l 过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F, 交椭圆于 A, a b B 两点.若原点 O 关于直线 l 的对称点在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率 为_________. 7.如图,边长为 1 的正三角形 ABC 中,P 是线段 BC 上的动点,Q 是 AB 延 → → → → 长线上的动点,且满足| BQ |=2| BP |,则 PA ·PQ 的最小值为_________. 8.如图,凸四边形 ABCD 中,AB=2,BC=6,AD=CD=4.设四边形 ABCD 面积为 S,则 S 的最大值为 ________. A ?x2-1,x≥0, 9.已知函数 f (x)=? 若函数 y=f(f (x))-k 有 3 个不同的零点,则实数 k B ?-x+1,x<0. 的取值范围是______. a+ 3b 3 4 5 10.已知 a,b,c 为正数,且 a+2b≤5c,a+b≤c ,则 c 的最小值为____________. 11.已知 f (x)=(x+1) |x|-3x.若对于任意 x∈R,总有 f (x)≤f (x+a)恒成立,则常数 a 的最小值是______. 二、解答题 12.三角形 ABC 中,A=45○,BC=2. 5 (1)若 cosC= ,求三角形 ABC 的面积 S; 13 → → (2)求 AB ·AC 的最大值. C D
O C D A x y B

1

4 13.三角形 ABC 中,三内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,cosB= . 5 (1)若 c=2a,求 sinA 的值; (2)若 C=45○+B,求 sinA 的值.

14.如图,矩形 ABCD 所在的平面与平面 ABF 互相垂直. 在△ ABF 中,O 为 AB 的中点,AF=8,BF=6, OF=5. (1)求证:AF⊥平面 BCF; (2)设 FC 的中点为 M,求证:OM∥平面 ADF.
D B O M C

15.如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的菱形,∠BCD=60° ,点 E 是 BC 边的中点,AC,DE 交于点 O,PO=2 3,且 PO⊥平面 ABCD. (1)求证:PD⊥BC; (2)在线段 AP 上找一点 F,使得 BF∥平面 PDE,并求此时四面 体 PDEF 的体积. P
A F

D O E B

16.如图,有一位于 A 处的观测站,某时刻发现其北偏东 45° 且与 A 相距 20 2海里的 B 处有一货船正以匀速直线行驶. 20 分钟后又 1 测得该船位于观测站 A 北偏东 45° +θ (其中 tanθ= , 0° <θ<45° ) , 5 且与观测站 A 相距 5 13海里的 C 处. (1) 求该船的行驶速度 v(海里/小时) ;







B
45° θ

(2) 在离观测站 A 的正南方 15 海里的 E 处有一半径为 3 海里的警戒区域, 并且要 求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过 10 分钟. 如果货船不改变航向 和速度继续前行,则该货船是否会进入警戒区域?若进入警戒区域,是否能按 规定时间离开该区域?请说明理由.

A E

C



2

17.某工厂制造一批无盖圆柱形容器,已知每个容器的容积都是 π 立方米,底面半径都是 r 米.如果制造底 b 面的材料费用为 a 元/平方米,制造侧面的材料费用为 b 元/平方米,其中 >1,设计时材料的厚度忽略不 a 计. (1)试将制造每个容器的成本 y(单位:元)表示成底面半径 r(单位:米)的函数; (2)若要求底面半径 r 满足 1≤r≤3(单位:米) ,则如何设计容器的尺寸,使其成本最低?

x2 y2 18.已知椭圆 + =1,左顶点为 A,右准线与 x 轴的交点为 B,点 P 为椭圆右准线上且在第一象限内的 4 3 点,直线 AP 交椭圆于点 Q,连接 BQ. → → (1)当 AP =2 AQ 时,求证:直线 BQ 与椭圆只有一个公共点; (2)过点 P 与直线 BQ 垂直的直线 l 在 y 轴上的截距为 t,当 t 最大时,求直线 AP 的方程. y Q A O B x P

x2 y2 19.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上顶点 A(0,2),右焦点 F(1,0),椭圆上任一点到点 F 的距离与到定直 a b 线 l:x=m 的距离之比为常数 k. (1)求常数 m,k 的值; (2)过点 F 的直线交椭圆于点 S,T 两点,P 为直线 l 上一动点. ①若 PF⊥ST,求证:直线 OP 平分线段 ST; ②设直线 PS,PF,PT 的斜率分别为 k1,k2,k3,求证:k1,k2,k3 成等差数列.

y A S l P

O
3

F T

x

20.已知函数 f (x)=2x3-3(k+1)x2+6kx+t,其中 k,t 为实数,记区间[-2,2]为 I. (1)若函数 f (x)的图像与 x 轴相切于点(2,0),求 k,t 的值; (2)已知 k≥1,如果存在 x0∈(-2,2),使得 f (x0)为 f (x)在 I 上的最大值,求 k 的取值范围; 10 (3)已知- <k<-3,若对于任意 x∈I,都有 f (x)≥6(x-2)ex,求 t 的最小值. (e2≈7.39) 3

21.已知函数 f (x)=x2+ax(a∈R),g (x)=lnx. x (1)求证:g (x)< ; 2 (2)设 h(x)=f (x)+bg (x)(b∈R). ①若 a2+b=0,且当 x>0 时 h(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围; ②若 h(x)在(0,+∞)上存在零点,且 a+b≥-2,求 b 的取值范围.

4

22.定义:从数列{an}中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称为数列{an}的一个子数列. 设数列{an}是一个公差不为零的等差数列; (1)已知 a4=6,自然数 k1,k2,…,kt,…满足 4<k1<k2<…<kt<…, ①若 a2=2,且 a2,a4,ak1,ak2,…,akt,…是等比数列,求 k2 的值; ②若 a2=4,求证:数列 a2,a4,ak1,ak2,…,akt,…不是等比数列. (2)已知存在自然数 k1,k2,…,kt,…,其中 k1<k2<…<kt<….若 ak1,ak2,ak3,…,akt,…是{an} ak2 的一个等比子数列,若 =m(m 为正整数),求 kt 的表达式.(答案用 k1,k2,m,t 表示). ak1

5 13 23.等差数列{an}公差大于零,且 a2+a3= ,a22+a32= ,记{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}各项均 2 4 为正数,公比为 q,记{bn}的前 n 项和为 Tn. (1)写出 Si(i=1,2,3,4,5,6)构成的集合 A. (2)若 q 为正整数,问是否存在正整数 k,使得 Tk,T3k 同时为(1)中集合 A 的元素?若存在,求出所有 符合条件的{bn}的通项公式,若不存在,请说明理由. (3)若将 Sn 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn},求{cn}的一个通项公式.

5

附加题
1.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是平行四边形,AD=BD=2,AB=2 2,SD⊥平面 ABCD.SD=2,点 E → → 是 SD 上的点,且 DE=λDS(0≤λ≤1). → → → → (1)求证:对任意的 0≤λ≤1,都有SC·EA≥AC·BE; (2)若二面角 C-AE-D 的大小为 60° ,求 λ 的值.

2.已知 2 件次品和 a 件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放 3 回, 直到检测出 2 件次品或者检测出 a 件正品时检测结束, 已知前两次检测都没有检测出次品的概率为 . 10 (1)求实数 a 的值; (2)若每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要 的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和均值.

3.已知数列 T: a1,a2,…,an (n∈N*,n≥4)中的任意一项均在集合{-1,0,1}中,且对?i∈N*,1≤i≤n -1,有|ai+1-ai |=1. (1)当 n=4 时,求数列 T 的个数; (2)若 a1=0,且 a1+a2+…+an≥0,求数列 T 的个数.

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