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一、2极坐标与直角坐标的互化


二、极坐标系
§1.2. 2 极坐标与直角坐标的互化
车田中学 肖道醒

2012年5月17日

一、知识回顾、引入新课
(一)知识回顾
1.什么是极坐标系(如图所示)及其四要素 ①极点; ? ● ②极轴; 0 1 x 极坐标系 ③长度单位; ④角度单位(弧度)及它的正方向(逆时针方向)。 2.点的极坐标表示方法及点与其极坐标除极点外一一对应 的限制条件 M ( ? ,? ) 限制条件? ? 0,0 ? ? ? 2? 3.极坐标与直角坐标的区别 主要区别:在于平面内一点的直角坐标是唯一的, 而极坐标有无数种。

(二)引入新课
平面内一点既可以用直角坐标表示,也可以用 极坐标表示,那么这两种坐标之间有什么关系呢?

二、新课讲授
1. 极坐标与直角坐标的互化
如图1-14,设点 M 是平面内任意一点, 它的直角坐标是 ( x, y ), 若把直角坐标系的 原点作为极点, x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 设点 M 的极角为 ? , 极径为 ? 则点 M 的 极坐标为 ( ? ,? ) .
M ( ? ,? )

y

M ( x, y )

? ? · 0 0 1x

·
y

N

x

问题一:点 M 的两种坐标之间有什么关系?
答:从图1-14可知

图1-14

x ? ? cos? , y ? ? sin ? ① ①说明:已知平面内任意一点 M 的极坐标 ( ? ,? )
可化成直角坐标( x, y ) .

问题二:如何将点 M 的直角坐标 ( x, y )化成极坐标呢?
?? 答:由①可知:
x 2 ? y 2 ( ? ? 0), tan ? ? y ( x ? 0) ② x

②说明:已知平面内任意一点 M 的直角坐标 ( x, y ) 可化成极坐标 ( ? ,? ) .
综上可知:(1)极坐标和直角坐标的互化关系式为 ① ? (极 直) x ? ? cos ? , y ? ? sin y 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) ② (直 极)
(2)互化公式的三个前提条件: ①极点与直角坐标系的原点重合(如图);

x

y

②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合(如图)● ; ③两种坐标系的单位长度相同(如图). 注意:当直角坐标落在 轴上时,极角 ? 的取值.

0

1

x

0

● 1

?
x

y

2. 例题讲解
2? 例1 将点 M的极坐标( 5, )化成直角坐标 .(教材 P11例3) 3

解:由极坐标化成直角坐标的公式

x ? ? cos ? , y ? ? sin ?
可得

2? 5 2? 5 3 x ? 5 cos ? ? , y ? 5 sin ? 3 2 3 2 5 3 因此,点 M 的直角坐标为( ? 5 , ) . 2 2

(巩固练习 课本P12 习题1.2 第4题) 4. 已知点的极坐标( 3, ),( 2, ),( 4, ),(
4 2

?

2? 3

?

3 ,?), 2

求它们的直角坐标 .

解:由极坐标化成直角坐标的公式

x ? ? cos ? , y ? ? sin ?
? 2? ? 3 分别将极坐标( 3, ),( 2, ),( 4, ),( ,?) 4 3 2 2 代入公式得各点的直角 坐标分别为
( 3 2 3 2 3 , ),(? 1,3),( 0,4),(? ,0) 2 2 2

例2 将点M的直角坐标(? 3, ?1 )化成极坐标 .(教材P 11例4)

解:由直角坐标化成极坐标的公式 y 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x 2 2 可得 ? ? ( ? 3) ? ( ? 1) ? 3 ?1 ? 2
3 tan? ? ? ? ? 3 3 3 ?1 1

因为点

因此,点 M 的直角坐标为 (2, 6 ).

所以可取 M 在第三象限, 7?

? 7? ? ? ? , 6

注意: 直角坐标化成极坐标时,通常有不同的表示法 (极角相差 2? 倍),一般只要取 ? ? [0,2? ) 就可以了.

(即:直角坐标化成极坐标要限定? ? 0,0 ? ? ? 2? .)

(巩固练习 课本P12 习题1.2 第5题) 7 为(3,3),(? 2, ? 2 3),( ,0),( 0, ? 5.已知点的直角坐标分别 2
求它们的极坐标 (限定? ? 0,0 ? ? ? 2? ).

5 ), 3

(注意:直角坐标化成极坐标要限定? ? 0,0 ? ? ? 2? .)

解:由直角坐标化成极坐标的公式 y 2 2 ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x
6

7 分别将直角坐标( 3,3),( ? 2, ? 2 3),( ,0) 2 ? 4? 7 ), ( ,0). 代入公式得各点的极坐 标分别为 (2 3, ), (4,
5 3? ? )在y轴负半轴上,所以可取 ? ? 3 2

3

2

因为直角坐标(0, ?

注意:当直角坐标落在y轴上时,极角? 的取值。

2? 7? 例3 在极坐标系中,已知两 点A(5, ), B(2, ), 3 6 求A, B两点间的距离 .

分析:在直角坐标系中,我们有两点距离公式

若已知平面内任意两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),
则 A, B间的距离为 AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 .

解:由极坐标化成直角坐标的公式
2? 7? 分别将点 A(5, ), B(2, )代入公式可得 3 6
2

x ? ? cos ? , y ? ? sin ?

5 5 3 两点的直角坐标分别为 A( ? , ),B(? 3, ? 1) 2 2

? 5 ? 5 3? ? A, B间的距离为 AB ? ?(? 3 ) ? (? )? ? ?(?1) ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

2

29

三、小结 1. 极坐标和直角坐标的互化关系式 (极 直) x ? ? cos ? , y ? ? sin ?
2 2

y ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) ② (直 极) x 2.互化公式的三个前提条件: (限定? ? 0,0 ? ? ? 2? )
(1) 极点与直角坐标系的原点重合(如图);



y

(2)极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合(如图);
(3)两种坐标系的单位长度相同(如图).

0

● 1

x

0

● 1

?
x

注意:当直角坐标落在 y 轴上时,极角 ? 的取值.

四、作业布置

P12 习题1.2--3


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