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抛物线的简单几何性质(1)(公开课)


2.3.2 抛物线的简单几何性质(1)
授课人:朱永华 时间:2012 年 11 月 29 日(周四)上午第二节 地点:高二(9)班

一、教学目标 (一)知识与技能目标 理解并 掌握抛物线的 几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质. (二)过程与方法目标 从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力. (三)情感、态度与价值观目标 通过让学生大胆探索抛物线的几何性质,激发学生学习数学的积极性,培养学生学习兴 趣和创新意识,培养学生勇于探索的精神 二、教材分析 1.重点:抛物线的几何性质及初步运用. 2.难点:抛物线的几何性质的应用. 三、教学手段:利用多媒体课件教学,增大课堂容量,提高教学质量 教学过程 (一)温故知新,引出课题 1.抛物线定义:

y

y
y

y l O

图 形
l

x
F

F
O F

x

F

O

x

O l
l

x

方 程 焦 点

y

2

? 2 px ( p ? 0 )

y

2

? ? 2 px ( p ? 0 )
(? p 2 ,0 )

x

2

? 2 py ( p ? 0 )

x

2

? ? 2 py ( p ? 0 )
(0 ,? p 2 )

(

p 2

,0 )

(0,

p 2

)

-1-

准 线

x ? ?

p 2

x ?

p 2

y ? ?

p 2
王新敞
奎屯 新疆

y ?

p 2

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物 线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线
王新敞
奎屯 新疆

与椭圆、双曲线一样,本节课通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质. 下面我们根据抛物线的 标准方程: y ? 2 p x ? p ? 0 ? 来研究它的几何性质.
2

(二) 探索研究,构建新知 抛物线的几何性质 1.范围 因为 p>0,由方程 y ? 2 px ? p ? 0 ? 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不等
2

式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上 方和右下方无限延伸. 2.对称性 以-y 代 y,方程 y
2

? 2 px ? p ? 0 ? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛物线的

对称轴叫做抛物线的轴. 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程 y 因此抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的顶点就是坐标原点.
2 2

? 2 px ? p ? 0 ? 中,当 y=0 时,x=0,

4.离心率 抛物线上的点 M 与焦点的距离和它到准线的距离的比, 叫做抛物线的离心率, e 表示. 用 由 抛物线的定义可知,e=1. 对于其它几种形式的方程,列表如下: 标准方程
y

图形

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y

2

? 2 px ? 0?
l
y

?p

O

F

?0 , 0 ?
x

x轴

? p ? ? ,0 ? ? 2 ?

x ? ?

p 2

e ?1

y

2

? ? 2 px ? 0?
F O

?p

?0 , 0 ?
x

x轴

? p ? ,0 ? ?? ? 2 ?

x ?

p 2

e ?1

l

-2-

x

2

? 2 py ? 0?

?p

?0 , 0 ?

y 轴

p? ? ? 0, ? 2 ? ?

y ? ?

p 2

e ?1

x

2

? ? 2 py ? 0?

?p

?0 , 0 ?

y 轴

p? ? ? 0 ,? ? 2 ? ?

y ?

p 2

e ?1

学生和教师共同小结: (1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线; (2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; (4)抛物线的离 心率是确定的,为 1. (三)实践探索,形成能力 例 1 已知抛物线关于 的标准方程 随堂练习 1.求适合下列条件的抛物线方程 ①顶点在原点,关于 ②顶点在原点,焦点是 ③顶点在原点,准线是 ④焦点是 ,准线是 轴对称,并且经过点 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 ,求它

-3-

2.抛物线 y =10x 的焦点到准线的距离是( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 3.如果抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y-12 =0 上,则抛物线的方 程是( ) A. y ? ? 16 x
2

2

B. y ? 12 x
2

C. y ? 16 x
2

D. y ? ? 12 x
2

例 2.一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是 随堂练习 2. 抛物线形拱桥,当水面宽 ___________. 时,水面离拱顶为

m,跨度是

m,求拱形的抛物线方程

,若水下降

,则此时水面宽为

(四)课堂反馈练习 1.顶点在原点、焦点在 y 轴上,且过点 P ? ? 6, ? 3 ? 的抛物线方程是( ) A. x ? 1 2 y B. x ? ? 1 2 y
2 2

C. y ? 1 2 x D. y ? ? 1 2 x
2 2

2.若抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 上横坐标为 6 的点到焦点的距离为 8,则焦点到准线的距离为 ( )
2

A.1

B.2

C.4

D.6
2

3.若垂直于 x 轴的直线交抛物线 y ? 4 x 于点 A、 B ,且 A B ? 4 3 ,则直线 A B 的方 程为__________. 4.抛物线的顶点是 双曲线 1 6 x ? 9 y ? 1 4 4 的中心,而焦点是双曲线的左顶点,求抛物线 方程.
2 2

5.若抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 上一点 P 到准线及对称轴的距离分别是 10 和 6,求 P 的横 坐标及抛物线方程.
2

(五)课堂小结

提问学生本节课学习了哪些内容

(六)作业布置 课本 P64 A 组 第 2,4,5 题 (七)板书设计

-4-

教案点评: 本节课首先设置情境,让学生利用类比的思想,探索、归纳、总结出与椭圆、双曲线类 似的性质,并与椭圆、双曲线的性质比较,便于学生掌握这三种曲线的性质。通过两道例题 和练习进一步让学生掌握性质的运用。

-5-


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