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高考数学140分专题训练-抽象函数


湖北省来凤县高级中学

高三数学第一轮复习专题训练一:抽象函数

李启宏

抽象函数
(一)基本知识点 抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它 一些条件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。 求解抽象函数问题的常用方法是: 1、借鉴模型函数进行类比探究; 2、利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探 究; 3、利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或

② 设 f ( x) ? M , 且 T ? 2 , 已 知 当 1 ? x ? 2 时 ,

f ( x) ? x ? ln x , 求 当

是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数 g ( x) 是否为 G 函数?并说明理由;

?3 ? x ? ?2 时, f ( x) 的解析式.
(6)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f

? f ? x? ? x

2

? x ? ? f ? x ? ? x2 ? x

(2)若函数 h( x) 是 G 函数,求实数 b 组成的集合; 8、 已知函数 f ( x ) 对任意 x, y ? R , 满足条件 f ( x) ? f ( y) ? 2 ? f ( x ? y) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2, f (3) ? 5 ,求不等式 f (a2 ? 2a ? 2) ? 3 的解。 9、定义在 R 上的单调函数 f ( x ) 满足 f (3) ? log2 3 且对任意 x, y ? R 都有

①若 f (2) ? 3 ,求 f (1) ;又若 f (0) ? a ,求 f ( a ) ; ②设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求函数 f ( x ) 的解析式。 4、 设函数 f ( x ) 对任意 x, y ? R , 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , x ? 0 且 时, f ( x) ? 0 , f (1) ? ?2 . ) (1)求证: f ( x ) 是奇函数; (2)试问在 ?3 ? x ? 3 时, f ( x ) 是否有最值?如果有,求出最值;如果 没有,说出理由 5、函数 f ( x ) 的定义域为 D : ?x | x ? 0? ,且满足对于任意 x1 , x2 ? D ,有

y ? ? x 等) 、递推法、反证法等)进行逻辑探究。
(二)精典例题 1、若函数 f ( x ) 的定义域是[2,4],则 f (log 1 x) 的定义域是(
2

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) .
(1)求证 f ( x ) 为奇函数; (2)若 f ( k ? 3x ) ? f (3x ? 9x ? 2) ? 0对任意

x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围。
10、定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意实数 m, n ,总有

1 1 1 ,1] (B) [4,16] (C)[ , ] (D)[2,4 ] 2 16 4 2、 设函数 f (x) 定义于实数集上, 对于任意实数 x , y , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)
(A) [ 总成立,且存在 x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求函数 f (x) 的值域。 3 、 ( 1 ) 设 f ( x) 的 定 义 域 为 自 然 数 集 , 且 满 足 条 件

f (m ? n) ? f (m) f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 。
(1)判断 f ( x ) 的单调性; (2) A ?

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
(1)求 f (1) 的值; (2)判断 f ( x ) 的奇偶性并证明;

?? x, y ? | f ( x ) f ( y ) ? f (1)? , B ? ?? x, y ? | f (ax ? y ?
2 2

2) ? 1, a ? R ,

?

若 A ? B ? ? ,试确定 a 的取值范围。 11、已知函数 f(x)的定义域为 ?x | x ? k? , k ? Z? ,且对于定义域内的任 何 x、y,有 f ( x ? y ) ?

f ( x ? 1) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ,及 f (1) =1,求 f ( x)
( 2 ) 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 : f ( p ? q) ? f ( p) f (q), f (1) ? 3 , 则

f 2(1) f ( 2 ) f ? ? f (1)

2

( 2f ) ? f (3)

( f4 )2 ? f ( 3 ) f (26 )? f ? ? f (5) f (7)

( 4 f) ?

2

( 8f) ? f (9)

(5) ? ___


(1 0 )

(3)如果 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 ,且 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上是增 函数,求 x 的取值范围; 6、 已知函数 f ( x ) 对任意实数 x , y 都有 f ( xy ) ? f ( x) f ( y ) , f (?1) ? 1 , 且

f ( x) ? f ( y ) ? 1 成立,且 f (a) ? 1 (a 为正常数) , f ( y ) ? f ( x)

当 0 < x < 2a 时, f ( x) ? 0 . (1)判断 f (x) 的奇偶性; (2)证明 f (x) 为周期函数; (3)求 f ( x ) 在[2a,3a] 上的最小值和最大值. 12、设函数 f ( x ) 满足:① f ( ) ? 1 ,②对任意 x ? R 都有 f ( x) ? 0 ,③对 任意 x, y ? R 都有 f ( xy ) ? ? f ( x ) ? 。
y

(3)已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期 为 T,则 f (?

T ) ? ____;又若 f (x) 为连续的函数且 f (T ) ? 0 ,则 f (x) 在 2

f (27) ? 9 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ??0,1? 。
(1)判断 f ( x ) 的奇偶性; (2)判断 f ( x ) 在[0,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)若 a ? 0 且 f (a ? 1) ? 3 9 ,求 a 的取值范围。 7、 对定义在[0,1]上, 并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为 G 函数: ①对任意的 x ??0,1? ,总有 f ( x) ? 0 ;②当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 时, 总有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. 已知函数 g ( x) ? x 与 h( x) ? 2 ? b
2 x

[-T,T]至少有几个根? (4) 已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,且当 x ? 2 时,

f (x) 单 调 递 增 。 如 果 x1 ? x2 ? 4 , 且 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 , 则

1 3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值的符号是____。
(5) 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x ) 的全体, 存在非零常数 T , 对 任意 x ? R , 有 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 成立. ①函数 f ( x) ? x 是否属于集合 M ? 说明理由;

(1) 求 f (0) (2) 证明函数 f ( x ) 在 R 上是增函数。 (3) 若 a ? b ? c ? 0 , 且 a, b, c 成 等 比 数 列 , 试 证 明 :

f (a) ? f (c) ? 2 f (b)
13、设函数 f ( x ) 对所有 x ? 0 均有定义,且满足下列三个条件: (1)函数 f ( x ) 在 ? 0, ??? 上为减函数; (2)对所有 x ? 0 ,均有 f ( x) ?

f (a ? 2) ? f (4 ? a2 ) ? 0 ,试确定 a 的取值范围;
6、已知 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y),对一切实数 x 、 y 都成立,且

11 、 设 f (x) 是 定 义 在 实 数 集

R

上 的 函 数 , 且 满 足

3 如果 f (1) ? lg ,f (2) ? lg15 , f (20 ) ; 求 f ( x ? 2) ? f ( x ? 1) ? f ( x) , 01 2

f (0) ? 0 ,求证 f ( x) 为偶函数;
7 、 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) , 同 时 满 足 下 列 条 件 : ①
?

1 ; x

(3)对所有 x ? 0 ,均有 f ( x) ? f ? f ( x) ? (三)巩固与提高:

? ?

1? ? ? 1 。试求函数值 f (1) ; x?

f (2) ? 1, f (6) ?

1 ;② f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求 f (3), f (9) 的值。 5

8、设 f ( x ) 是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足

1、已知函数 f ( x ) 满足:对任意的 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,写出分别 满足下列关系式的一个函数的解析式: (1) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) (3) f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) 2、已知函数 y ? f ( x) 对任意 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , f (1) ? ?

f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (3) ? 1 ,求:(1) f (1) ;
(2)若 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 ,求 x 的取值范围。 9、设函数 f ( x)( x ? N ) 表示 x 除以 3 的余数,则对任意的 x, y ? N ,都有 A、 f ( x ? 3) ? f ( x) C、 f (3x) ? 3 f ( x) B、 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) D、 f ( xy) ? f ( x) f ( y) 12、定义在 R 上的函数 y ? f ( x), f (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对 任意的 a, b ? R ,有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) . (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)求证:对任意的 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f ( x ) 是 R 上的增函数; (4)若 f ( x) ? f (2 x ? x2 ) ? 1 ,求 x 的取值范围.

10 、 已 知 函 数 f ( x) ? x ? R, x ? 0? 对 任 意 不 等 于 零 的 实 数 x1 , x2 都 有

2 ; 3

f ( x ? x2 ) ? f ( x )? f ( 2 ,试判断函数 f ( x) 的奇偶性。 x) 1 1

(1)判断并证明 y ? f ( x) 在 R 上的单调性; (2)求 y ? f ( x) 在[-3,3]上的最值; 3、是否存在函数 f ( x ) ,使下列三个条件:① f ( x) ? 0, x ? N ;②

f (a ? b) ? f (a) ? f (b), a, b ? N ;③ f (2) ? 4 。同时成立?若存在,求出 f ( x) 的解析式,如不存在,说明理由。
4 、 已 知 函 数 f ( x ) 在 定 义 域 (0 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 , 且 满 足

f ( x y? )

f( x ? )

f( y , f ( 3 ) ) ?;

1

(1)求 f (9), f (27) 的值; (2)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 ; 5、已知 f ( x ) 是定义在(-1,1)上的偶函数,且在(0,1)上为增函数,若
2


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