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球与多面体的内切、外接


球与多面体的内切、外接
D A D1
A1 O C1 B

C

B1

东营河口

一、 球体的体积与表面积

4 3 ① V球 ? ? R 3
二、球与多面体的接、切



S球面 ? 4? R

>
2

定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的内接多面体, 这个球是这个 多面体的外接球 。

定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体, 这个球是这个多面体的内切球 。

球内切与正方体
则球的半径r和正方体的棱长a有什么关系?

r

.
a

例1 甲球内切于正方体的各面,乙球内切于该正方体的各条棱, 丙球外接于该正方体,则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B. 1: 2: 3 C. 1: 3 4: 3 9 D. 1: 8: 27 D C A B 中截面 O D1 C1

?

设为1

A1

球的外切正方体的棱长等于球直径。

B1

S甲 ? 4? R1 =?
2

球内切于正方体的棱
D A B C

中截面

O
D1

?

.
S乙 ? 4? R2 2 =2?

C1

A1

B1

正方形的对角线等于球的直径。

球外接于正方体

D A
O D1 A1 B1

C 对角面

B

?

A

C

2R ? 3

设为1
A1

? O ???

C1

2

C1

球的内接正方体的对角线等于球直径。

S丙 ? 4? R3 =3?
2

练习:
1、三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直, PA=1, PB ? PC ? 2 ,已知空间中有一 个点到这四个点距离相等,求这个距离; 沿对角面截得:
A

C

? O ???
A1

C1

例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为 全面积和它的内切球的表面积。
A

。求棱锥的

解法1: 过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中,BE 是正△BCD的高,

1
O B O1 C

O1 是正△BCD的中心,且AE 为斜高

F D
E

作 OF ⊥ AE 于 F 设内切球半径为 r,则 OA = 1 -r ∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E

例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 。求棱锥的 全面积和它的内切球的表面积。

解法2: 设球的半径为 r,则 VA- BCD =
A VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
2 1 3 VA? BCD ? ? ? 2 6 ?1 ? 2 3 3 4 1 ? ? r ? S全 ? 3 2 ? 2 3 ? r D 3

?

?

O

?

?

B C
注意:①割补法,②

? r ? 6 ? 2 S球

? 8 5?2 6 ?

?

?

?

V多面体

1 ? ? S全 ? r内切球 3

练习
正四棱锥 S—ABCD 的底面边长和各侧棱 长都为 2,点 S、A、B、C、D 都在同一 个球面上,则该球的体积为________.

例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
解法1: 过侧棱 PA 和球心 O 作截面α 则α 截球得大圆,截正四面体得△PAD,如图所示, 连 AO 延长交 PD 于 G

6 a 3

P
3 a 2

则 OG ⊥ PD,且 OO1 = OG ∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D

?O
A
O1

G

D
3 a 6

6 a?R R ? ? 3 3 3 a a 2 6

6 ?R ? a 4

E

3 2 S表 ? ? a 2

解法2:

A B

A B

O
D C C 求正多面体外接球的半径

O
D

求正方体外接球的半径

球的内切、外接问题
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等, 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不 重合。

1、半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的 底面圆内,若正方体的边长为 6 ,求半球的表面积和体 积。

P

?O
A
O1

G D

2、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积。

第二题截图

E

3.

A

1. C

2. C


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