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湖北省宜昌市第一中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


湖北省宜昌市第一中学 2014-2015 学年高一上学期期末考试数学试题

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. sin(

2015? ) 的值等于( 3
B. ?



A.

1 2

1 2

/>C.

3 2

D. ?

3 2


2.已知 M ? {x | ( x ? 2)( x ? 1) ? 0} , N ? {x | log 2 x ? 1} ,则 M ? N =( A . {x | ?2 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} 3.已知点 M (5, ?6) 和向量 a ? (1, ?2) ,若 MN ? ?3a ,则点 N 的坐标为( A. (2, 0) B. (?3, 6) C. (6, 2) B . {x | 0 ? x ? 1}

C . {x | x ? ?2或x ? 1}



D. (?2, 0)

4. 已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,b ? (1, ?2) , 若 a / /b , 则代数式 A.

2sin ? ? cos ? 的值是 ( sin ? ? cos ?



5 2

B.

3 4

C. 5

D.

3 2

5. 如右图给出了函数 y ? a x ,y ? log a x ,y ? log ( a ?1) x ,y ? (a ? 1) x 2 的图象, 则与函数 y ? a x ,

y ? log a x , y ? log ( a ?1) x , y ? (a ? 1) x 2 依次对应的图象是(
A.①②③④ B.①③②④



C.②③①④

D.①④③②

6. 设 ? ﹑ ? 为钝角,且 sin ? ? A.

5 3 10 , cos ? ? ? ,则 ? ? ? 的值为 ( 5 10
C.

)

?? 4

B.

?? 4

?? 4

D.

?? ?? 或 4 4

7. 设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某一天
-1-

从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系. t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象. 根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin )

?t

6 ?t C. y ? 12 ? 3sin , t ? [0, 24] 12
8.设 a ?

, t ? [0, 24]

? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t ? D. y ? 12 ? 3sin( ? ), t ? [0, 24] 12 2
B. y ? 12 ? 3sin( )

?t

1 ? cos 50o 2 tan14o 1 3 c ? , ,则有( cos 2o ? sin 2o , b ? 2 1 ? tan 2 14o 2 2
B. a ? b ? c C. b ? c ? a D. c ? a ? b

A. a ? c ? b

9.在 ?ABC 中, ?C ? 900 ,且 CA ? CB ? 3 ,点 M 满足 BM ? 2 AM ,则 CM ? CA ? ( A. 18 B. 3 C.15 D. 9



?1 2 x (0 ? x ? 2) ? ?16 10. 函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 若关 1 x ?( ) ( x ? 2) ? , ? 2
于 x 的方程 [ f ( x)] ? af ( x) ? b ? 0 , a, b ? R 有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取值范
2

围是(



A. ( ? , ? )

5 2

1 4

B. (? , ? )

1 2

1 4

C. ( ?

1 1 1 1 , ? ) (? , ? ) 2 4 4 8

D. (?

1 1 ,? ) 2 8

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.计算 (log 2 9) ? (log 3 4) ? (2 2) ? e 12.函数 y ? 2sin( x ? 13 . 若 0 ? ? ?
2 3 ln 2

? _________.
.

?
3

) , x ? [0, ? ] 的单调递减区间是

?
2

, ? .

?

? ? 3 ? 1 , 则 ? ? ? 0 , cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? 4 2 3 2 4 3

cos(? ?

?
2

)?

-2-

14.已知 A( x A , y A ) 是单位圆上(圆心在坐标原点 O )任一点,将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转

?
3

到 OB 交单位圆于点 B ( xB , yB ) ,则 2 y A ? yB 的最大值为



15.以下命题: ①已知函数 f ( x) ? (a ? a ? 1) x a ? 2 为幂函数,则 a ? ?1 ;
2 1

②向量 a ? (?1,1) 在向量 b ? (3, 4) 方向上的投影为 ③函数 f ( x) ? x ? 2 的零点有 2 个;
2 x

1 ; 5

1 ④若扇形圆心角的弧度数为 2,且扇形弧所对的弦长也是 2,则这个扇形的面积为 2 . sin 1 所有真命题的序号是______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本题 12 分) 已知 a, b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) . (1)若 c ? 2 5 ,且 c / / a ,求向量 c ; (2)若 b ?

3 5 ,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值. 2

17. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin(2? x ?

?
6

,若点 (? ) ? 1 (其中 0 ? ? ? 1 )

?
6

,1) 是函数

f ( x) 图象的一个对称中心,
(1)试求 ? 的值; (2)先列表,再作出函数 f ( x) 在区间 x ? ? ?? , ? ? 上的图象.

y
3

2 1

??

O

?

x

?1

-3-

18. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)求函数 f ( x) 取得最大值时的 x 集合;

?
6

) ? 2sin 2 ( x ?

?
12

)( x ? R).

(3)函数 f ( x) 的图象可以由函数 y ? sin x( x ? R ) 的图象经过怎样的变换得到?

19. (本题 12 分)在 ?ABC 中,设 AB 与 BC 的夹角为 ? ,已知 AB ? BC ? 6 , 且 2 3 ?| AB || BC | sin(? ? ? ) ? 6 。 (1)求 ? 的取值范围; (2)求函数 f (? ) ?

1 ? 2 cos(2? ? sin ?

?

) 4 的最大值.

20. (本题 13 分) 如图,一中新校区有一块矩形草地,要在这块草地上开辟一个内接四边形 建体育馆(图中阴影部分) ,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知 AB= a ( a ? 2 ) , BC=2,且 AE=AH=CF=CG,设 AE= x ,阴影部分面积为 y . (1)求 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域;

(2)当 x 为何值时,阴影部分面积最大?最大值是多少?

21. (本题 14 分)
-4-

已知集合 C ? ? f ? x ? | f ? x ? 是定义域上的单调增函数或单调减函数? ,集合 D ? ? f ? x ? |

f ( x)在定义域内存在区间? a, b ? , 使得f ( x)在区间? a, b ? 上的值域为? ka, kb ? , k为常数? .
(1)当 k ? 间 [ a, b] ; (2)当 k ?

1 时,判断函数 f ( x) ? x 是否属于集合 C 2

D ?并说明理由.若是,则求出区

1 时,若函数 f ( x) ? x ? t ? C 2

D ,求实数 t 的取值范围;
2

(3)当 k ? 1 时,是否存在实数 m ,当 a ? b ? 2 时,使函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? m ? D ,若存 在,求出 m 的范围,若不存在,说明理由.
[来源:]

-5-

宜昌市一中 2014 年秋季高一数学期末试题

参考答案
一、 选择题 DDACB CADAB 二、填空题 11、 0 三、解答题 12、 [

?
6

,? ]

13、

5 3 9

14、 3

15、①②④

17、解: f ( x) ? 2sin(2? x ? (1) 点 (?

?
6

) ?1

?
6

,1) 是函数 f ( x) 图象的一个对称中心, ∴ ?
1 2
∵0 ? ? ?1

??

∴ ? ? ?3k ?

(2)由(1)知 f ( x) ? 2 sin( x ?

?
6

3 1 ∴ k ? 0 ,? ? 2
列表如下

?

?
6

? k? , k ? Z
………6 分

) ? 1 , x ? ? ?? , ? ?
0

x?

?
6

5 ? ? 6

x
y

??
0

2 2 ? ? 3
-1

?

?

? ?
2 3
3

?
5 ? 6
1

?

?
6

7 ? 6

?
0

1

……………………………………………………………9 分(注意一定要列表)

-6-

则函数 f ( x) 在区间 x ? ? ?? , ? ? 上的图象如图所示。…………12 分 18、解: f ( x) ? 2sin(2 x ? (1) 单调递增区间为 [k? ?

?
?
3

) ? 1 ………3 分
, k? ?

5? ], k ? Z ………6 分 12 12 5? (2) 函数 f ( x) 取得最大值的 x 集合为 {x | x ? k? ? , k ? Z} 12
(3) 先将函数 y ? sin x 的图象向右平移

………9 分

?

3

个单位; 再纵坐标不变, 横坐标缩小为原来的

1 倍; 2

再横坐标不变,纵坐标扩大为原来的 2 倍;最后整个图象向上平移 1 个单位。或者先将函数

y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标缩小为原来的

1 ? 倍;再将图象向右平移 个单位;再横 2 6

坐标不变,纵坐标扩大为原来的 2 倍;最后整个图象向上平移 1 个单位。…12 分 19、 解: (1)∵ AB ? BC ?| AB | ? | BC | cos ? ? 6 (1)

2 3 ?| AB || BC | sin ? ? 6


(2) ∴ ? ?[

( 2) 3 得, ? tan ? ? 1 ∵ ? 为 AB 与 BC 的夹角 (1) 3
(2) f (? ) ?

? ?

, ] ………6 分 6 4

1 ? (cos 2? ? sin 2? ) 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? sin ? sin ?

-7-

? 2(sin ? ? cos ? ) ? 2 2 sin(? ?
由于 y ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ………9 分

?

) 在 ? ? [ , ] 内是增函数………11 分 4 6 4

? ?

∴ f (? ) max ? 0 (当且仅当 ? ?

?

4

时等号成立)………12 分

20、 解:

∴y=-2x2+(a+2)x,函数的定义域为 (0, 2]

..............7 分

21、解: (1) y ?

x 的定义域是 ?0,?? ? ,? y ? x 在 ?0,?? ? 上是单调增函数.

1 ? a ? a, ? ? 2 ∴ y ? x 在 [a, b] 上的值域是 [ a , b ] .由 ? 1 ? b ? b. ? 2 ?
-8-

解得: ?

?a ? 0, ?b ? 4.

故函数 y ? (2) 设 g ( x) ?

x 属于集合 C

D ,且这个区间是 [0,4] . …………5 分

x ? t ,则易知 g ( x) 是定义域 [0, ??) 上的增函数.

? g ( x) ? C

D ,? 存在区间 [a, b] ? [0, ??) ,满足 g (a ) ? 1 a , g (b) ? 1 b . 2 2 1 1 即方程 g ( x) ? x 在 [0, ??) 内有两个不等实根. 方程 x ? t ? x 在 [0, ??) 内有两个 2 2 1 不等实根, 令 x ? m 则其化为: m ? t ? m 2 即 m 2 ? 2m ? 2t ? 0 有两个非负的不等实根, 2

?? ? 0 1 ? 从而有: ? x1 ? x2 ? 0 ? ? ? t ? 0 ; 2 ?x x ? 0 ? 1 2

…………10 分

-9-

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- 10 -


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