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高中数学必修3知识点总结:第三章


高中数学必修 3 概率知识点总结
第三章 第一部分 3.1.1 —3.1.2 随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念: (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事

概 率

nA 件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)= n

为事件 A 出现的概率:对于给定的随机事件 A,如果随着试

验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。

nA (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值 n

,它具有一定的稳

定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随 机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地 作为这个事件的概率

3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф ,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此 0≤P(A)≤1; 2)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件 A 与 B 为对立事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同 的情形: (1)事件 A 发生且事件 B 不发生; (2)事件 A 不发生且事件 B 发生; (3)事件 A 与事件 B 同时不发生,而对立事

件是指事件 A 与事件 B 有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件 A 发生 B 不发生; (2)事件 B 发生事件 A 不发生, 对立事件互斥事件的特殊情形。

第二部分
3.2.1 —3.2.2 古典概型
(1)古典概型的使用条件:试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 (2)古典概型的解题步骤; ①求出总的基本事件数;

②求出事件 A 所包含的基本事件数,然后利用公式 P(A)=

A包含的基本事件数 总的基本事件个数

(3)转化的思想:常见的古典概率模型:抛硬币、掷骰子、摸小球(学会编号) 、抽产品等等,很多概率模型可以转化归 结为以上的模型。 (4)若是无放回抽样,则可以不带顺序 若是有放回抽样,则应带顺序,可以参考掷骰子两次的模型。

第三部分
3.3.1—3.3.2 几何概型
1、基本概念: (1)几何概率模型特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等. (2)几何概型的概率公式:

构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) ;
(3)几何概型的解题步骤; 1、确定是何种比值:若变量选取在区间内或线段上是长度比,若变量选取在平面图形内是面积比,若变量选取在几 何体内是体积比。 2、找出临界位置求解。 (4)特殊题型:相遇问题:若题目中有两个变量,则采用直角坐标系数形结合的方法求解。

高中数学必修 3 第三章概率试题训练
一、选择题 1.下列说法正确的是( ) B. 频率是客观存在的,与试验次数无关 A. 任何事件的概率总是在(0,1)之间

C. 随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 D. 概率是随机的,在试验前不能确定 2.从一批产品中取出三件产品,设 A=“三件产品全不是次品” ,B=“三件产品全是次品” ,C=“三件产品不 全是次品” ,则下列结论正确的是( ) C. 任何两个均互斥 ) D. 任何两个均不互斥 A. A 与 C 互斥 B. B 与 C 互斥 3、同时掷 3 枚硬币,那么互为对立事件的是( A.至少有 1 枚正面和最多有 1 枚正面 C.至多 1 枚正面和至少有 2 枚正面

B.最多 1 枚正面和恰有 2 枚正面 D.至少有 2 枚正面和恰有 1 枚正面 )

4. 抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷 1000 次,那么第 999 次出现正面朝上的概率是( A.

1 999 1 2

B.

1 1000 1 4

C.

999 1000
C.

D. )

1 2
D.

5、同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则出现两个正面朝上的概率是( A. B.

1 3

1 8

6、 若连掷两次骰子, 分别得到的点数是 m、 n, 将 m、 n 作为点 P 的坐标, 则点 P 落在区域 | x ? 2 | ? | y ? 2 |? 2 内的概率是 A.

11 36 5 36

B.

1 6 7 12

C.

1 4 5 12

D.

7 36 1 3

7、若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点 P 落在圆 x2+y2=25 外的概率是 A. B. C. D.

8.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8g 的概率为 0.3,质量小于 4.85g 的概率为 0.32,那么质量 在[4.8,4.85](g )范围内的概率是( ) ) A. 0.62 B. 0.38 C. 0.02 D. 0.68 9、甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是 30%,两人下成和棋的概率为 50%,则甲不输的概率是( A. 30% B. 20% C. 80% D. 以上都不对 色的概率是( A. ) B.

10.一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球,则取出的两个球同

1 2


1 3

C.

1 4

D.

2 5

11.现有五个球分别记为 A、C、J、K、S,随机放进三个盒子,每个盒子只能放一个球,则 K 或 S 在盒中的概 率是(

1 A. 10
球的概率是( )

B.

3 5
44 45
B.

C.

3 10
C.

D.

9 10 89 90

12、盒中有 10 个大小、形状完全相同的小球,其中 8 个白球、2 个红球,则从中任取 2 球,至少有 1 个白 A.

1 5

1 45

D.

13.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品的概率是 A. 1 B.

1 2

C.

1 3

D.

2 3

14、从 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字中,不放回地任取两数,两数都是偶数的概率是 A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4
)

D.

1 5

15、从甲、乙、丙、丁 4 人中选 3 人当代表,则甲被选中的概率是(

1 A. 4
A.

1 B. 2
B.

1 C. 3
C.

3 D. 4
) D.

16、一箱内有十张标有 0 到 9 的卡片,从中任选一张,则取到卡片上的数字不小于 6 的概率是(

1 3 1 3
.

3 5
B.

2 5

1 4 1 2
) D.无法确定

17.甲,乙两人随意入住两间空房,则甲乙两人各住一间房的概率是( A.

1 4

C.

18、在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积大于 A.

1 2

B.

3 4

C.

1 4

S 的概率是( 4 2 D. 3
)

)

19、如图所示,随机在图中撒一把豆子,则它落到阴影部分的概率是( A.

1 2

B.

3 4

C.

3 8

D.

1 8

20、在 500mL 的水中有一个草履虫,现从中随机取出 2mL 水样放到显微镜下观察,则发现草履虫的概率是 ( ) A. 0.5 B. 0.4 C. 0.004 D. 不能确定 二、填空题 21.某小组有三名女生,两名男生,现从这个小组中任意选出一名组长,则其中一名女生小丽当选为组长的 概率是___________ 22.掷两枚骰子,出现点数之和为 3 的概率是_____________ 23.某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成,现从中选出 2 人担任正副班长,其中至少有 1 名女生当选的概率 是______________ 24.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示: 年降水量/mm 概率 [ 100, 150 ) 0.21 [ 150, 200 ) 0.16 [ 200, 250 ) 0.13 [ 250, 300 ] 0.12

则年降水量在 [ 200,300 ] (m,m)范围内的概率是___________ 25、向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于

S 的概率是_________。 2

26、有五条线段,长度分别为 1,3,5,7,9,从这五条线段中任取三条,则所取三条线段能构成一个三角 形的概率为_______ 27、在等腰 Rt△ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,则 AM 的长小于 AC 的长的概率为_______ 三、解答题 28、10 本不同的语文书,2 本不同的数学书,从中任意取出 2 本,能取出数学书的概率有多大?

29、甲盒中有红,黑,白三种颜色的球各 3 个,乙盒子中有黄,黑,白三种颜色的球各 2 个,从两个盒子 中各取 1 个球。 (1)求取出的两个球是不同颜色的概率.(2)取出两个球是至少有一个 黑球的概率

30、如图,在边长为 25cm 的正方形中挖去边长为 23cm 的两个等腰直角三角形, 现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?

31、如图,在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板,上面画了小、中、大 三个同心圆,半径分别为 2cm,4cm,6cm,某人站在 3m 之外向此板投镖,设 投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投) ,问:(1)投中大圆内的概率 是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概 率是多少?

32、4 位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上,然后,每人随意取走一顶帽子,求(1)4 人拿的都是自己的 帽子的概率;(2) 恰有 3 人拿的都是自己的帽子的概率;(3) 恰有 1 人拿的都是自己的帽子的概率; (4) 4 人拿的都不是自己的帽子的概率。

33、甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去, 求两人能会面的概率。


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