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06,07,08,09四年高考真题分类详解 直线与圆


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06,07,08,09 四年高考真题分类详解 《直线与圆》 2006 年
一、选择题(共 17 题)

? x ? y ? 1 ? 0, ? 1.(安徽卷)如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0, ? x ? y ?1 ? 0 ?
A. 2 B. 1 C. ?2 解:当直线 2 x ? y ? t 过点(0,-1)时, t 最大,故选 B。
2 2

那么 2 x ? y 的最大值为 D. ?3

2.(安徽卷)直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 A. (0, 2 ?1)
2 2

B. ( 2 ?1, 2 ? 1)

C. (? 2 ?1, 2 ?1)

D. (0, 2 ? 1)

解:由圆 x ? y ? 2ay ? 0(a ? 0) 的圆心 (0, a ) 到直线 x ? y ? 1 大于 a ,且 a ? 0 ,选 A。 3.(福建卷)已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 (A)2 (B)1 (C)0 (D) ?1

解析:两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a(a ? 2) ? ?1 ,∴ a=-1,选 D.

?x ? 0 ?y ? 0 ? 4.(广东卷)在约束条件 ? 下,当 3 ? x ? 5 时,目标 ?y ? x ? s ? ? y ? 2x ? 4
函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] 解析:由 ? D. [7,8]

y ? 2x ? 4
x? y?s O

y

x

?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 交点为 A(0,2), B(4 ? s,2s ? 4), C (0, s), C ?(0,4) , ?? ? y ? 2 x ? 4 ? y ? 2s ? 4

(1) 当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC, 此时,7 ? z ? 8(2) 当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时, z max ? 8 ,故选 D. 5.(湖北卷)已知平面区域 D 由以 A(1,3), B(5, 2), C(3,1) 为顶点的三角形内部&边界组成。若在 区域 D 上有无穷多个点 ( x, y ) 可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m ? A.-2 B.-1 C.1 D.4

1 解:依题意,令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为- ,结合可行域可知当直线 x+my=0 与直 m
线 AC 平行时, 线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值, 而直线 AC 的斜率为 -1,所以 m=1,选 C

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6.(湖南卷)若圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为

2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是
A.[

(

) C.[

? ?
12 4 ,

]

B.[

? 5? , ] 12 12

? ?

, ] 6 3

D. [0,

?
2

]

解析:圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 整理为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,∴圆心坐标为(2,2), 半径为 3 2 , 要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 , 则圆心到直线的 距 离 应 小 于 等 于

2 ,



| 2a ? 2b | a ?b
2 2

≤ 2 , ∴

a a ( ) 2 ? 4( ) ? 1 ≤ 0 , ∴ b b

a a ?2 ? 3 ≤ ( ) ≤ ?2 ? 3 , k ? ? ( ) ,∴ 2 ? 3 ≤k ≤ 2 ? 3 ,直线 l 的倾斜角的取值范围是 b b ? 5? [ , ] ,选 B. 12 12
7.(湖南卷)圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

解析:圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 的圆心为 (2 , 2) ,半径为 3 2 ,圆心到直线 x ? y ? 14 ? 0 的距离为

| 2 ? 2 ? 14 | ? 2 5 >3 2 ,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 2 ,选 C. 2
8.(江苏卷)圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? 1 的切线方程中有一个是 (A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0

【正确解答】直线 ax+by=0 与( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1相切 ,则

| a ?b 3 | ? 1 ,由排除法, 2

选 C,本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选 C,用图象法解最省事。 【解后反思】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条 件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解. 9.(全国卷 I)从圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 外一点 P ?3,2? 向这个圆作两条切线,则两切线夹角
2 2

的余弦值为 A.

1 2
2 2

B.

3 5

C.

3 2

D. 0

解析:圆 x ? 2x ? y ? 2 y ? 1 ? 0 的圆心为 M(1,1),半径为 1,从外一点 P(3, 2) 向这个圆作两条

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1 ,所以两切线夹角 2

切线,则点 P 到圆心 M 的距离等于 5 ,每条切线与 PM 的夹角的正切值等于

1 2 ? 4 ,该角的余弦值等于 3 ,选 B. 的正切值为 tan ? ? 1 3 5 1? 4 2?
10.(山东卷)某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满
y


2x=11 5x-11y=-22 A B

?5 x ? 11y ? ?22, ? 约束条件 ?2 x ? 3 y ? 9, 则 z=10x+10y 的最大值是 ?2 x ? 11. ?
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解:画出可行域: 易得 A(5.5,4.5)且当直线 z=10x+10y 过 A 点时, z 取得最大值,此时 z=90,选 C

O C

x 2x+3y=9

? x ? y ? 10, ? 11.(山东卷)已知 x 和 y 是正整数,且满足约束条件 ? x ? y ? 2, 则 x-2x ? 3y 的最小值是 ? 2 x ? 7. ?
(A)24 (B)14 (C)13 (D)11.5 解:画出可域:如图所示易得 B 点坐标为(6,4)且当直线 z=2x+3y 过点 B 时 z 取最大值,此时 z=24,点 C 的坐标为(3.5,1.5),过点 C 时取得最小值, 但 x,y 都是整数,最接近的整数解为(4,2), 故所求的最小值为 14,选 B 12. (陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的 值为( ) A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4 解析:设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,设直线方程为 y ? x ? a ,圆心(0,
y 2x=7 A 2x+3y=0 x-y=2 B C x+y=10 x O

0)道直线的距离等于半径 2 ,∴

|a| ? 2 ,∴ a 的值± 2,选 B. 2

13.(四川卷)某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1 、 b1 千克,生产乙产品每千 克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2 、 b2 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1 、 d2 元。月初一 次性购进本月用原料 A、B 各 c1 、 c 2 千克。要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利 润总额达到最大。在这个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克、 y 千克,月利润总额 为 z 元,那么,用于求使总利润 z ? d1 x ? d2 y 最大的数学模型中,约束条件为

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?a1 x ? a2 y ? c1 ? a1 x ? b1 y ? c1 ?a1 x ? a2 y ? c1 ?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c ?a x ? b y ? c ?b x ? b y ? c ?b x ? b y ? c ?1 ? 2 ?1 ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 (A) ? (B) ? (C) ? (D) ? x ? 0 x ? 0 x ? 0 x ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? y ? 0 y ? 0 y ? 0 y?0 ? ? ? ? 解析:设全月生产甲、乙两种产品分别为 x 千克, y 千克,月利润总额为 z 元,那么,用于求使总
?a1 x ? a2 y ? c1 ?b x ? b y ? c 1 2 2 ,选 C. 利润 z ? d1x ? d2 y 最大的数学模型中,约束条件为 ? ? x?0 ? ? y?0 ?

? y?x ? 14. (天津卷)设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ( ? y ? 3x ? 6 ?
A.2



3 B.

C.4

9 D.

y C

?y ? x ? 解析:设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 , 在坐标系中画出 ? y ? 3x ? 6 ?
域△ABC,A(2,0),B(1,1),C(3,3),则目标函数 z ? 2 x ? y 小值为 3,选 B.

B O A

可行
x

的最

? x ? y ? 2 ? 0, ? 15.(浙江卷)在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ? 2 ?
(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2

C ?0,2?

A?2,4?
B?2,0?

【考点分析】本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积。 解析:由题知可行域为 ?ABC ,

S ?ABC ?

4?0 ?2 2

? 4 ,故选择 B。
2
2

x?2

5 =0 相切的直线的方程为 2 1 1 1 1 (A)y=-3x 或 y= x (B) y=-3x 或 y=- x (C)y=-3x 或 y=- x (B) y=3x 或 y= x 3 3 3 3 5 2 2 解析:过坐标原点的直线为 y ? kx ,与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? ? 0 相切,则圆心(2,-1)到直线方 2
16.(重庆卷)过坐标原点且与 x +y + 4x+2y+ 程的距离等于半径

1 10 |2 k? 1| 10 ,则 , 解 得 k ? 或 k ? ?3 , ∴ 切 线 方 程 为 ? 3 2 2 1? k 2

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y ? ?3 x或y ? 1 x ,选 A. 3

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17.(重庆卷)以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为 (A) ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 3 (C) ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 解:r= (B) ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 3 (D) ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 3 =3,故选 C

|3 ? 2-4 ? (- 1)+5| 32+42

二、填空题(共 18 题)

?x ? y ? 4 ? 18.(北京卷)已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最小值 ? x ?1 ?
等于_______,最大值等于____________. 解:画出可行域,如图所示: 易得 A(2,2),OA= 2 2 B(1,3),OB= 10 ,,C(1,1),OC= 2 故|OP|的最大值为 10 ,最小值为 2 . 19.(福建卷)已知实数 x 、 y 满足 ?
y B A C O x

? ? y ? 1, 则 x ? 2 y 的最大值是____。 ? ? y ? x ?1 ,
y A 1 B O 1 C x

解析:已知实数 x 、 y 满足 ?

? ? y ? 1, 在坐标系中画出可行域,三个 y ? x ? 1 , ? ?

顶点分

别是 A(0,1),B(1,0),C(2,1),∴ x ? 2 y 的最大值是 4. 20.(湖北卷)已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为
2 2



解:圆的方程可化为 ( x ?1) ? y ? 1 ,所以圆心坐标为(1,0),半径为 1,由已知可得
2 2

|5? a | ? 1 ?| 5 ? a |? 13 ,所以 a 的值为-18 或 8。 13
21.(湖北卷)若直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是 . 解:由直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交,

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| 2k ? 3 ? 2 | 1? k
2

故圆心到直线的距离小于圆的半径,即

?1,解得 k?(0,

4 ) 3

? x ? 1, ? 22. (湖南卷) 已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.
y

C B

?x ? 1 ? 解析:由 ? x ? y ? 1 ? 0 ,画出可行域,得交点 A(1,2),B(3,4), ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
则 x 2 ? y 2 的最小值是 5.

A

x O

?2 x ? y ? 2 ? 23.(江苏卷)设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y ? x ? y ?1 ?
的最大值为 【正确解答】 画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函数 z 最大值为 18 24.(江西卷)已知圆 M:(x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: (A) 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 相切; (B) 对任意实数 k 与 ?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C) 对任意实数 ?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 (D)对任意实数 k,必存在实数 ?,使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 解:选(B)(D)圆心坐标为(-cos?,sin?),d=

|-k cos ?-sin ? | 1+k 2 =|sin (?+?) | ?1



1+k 2 |sin (?+?) | 1+k 2
y

25.(全国卷 I)设 z ? 2 y ? x ,式中变量 x、 y 满足下列条件

C

? 2 x ? y ? ?1 ? ?3 x ? 2 y ? 23 ,则 z 的最大值为_____________。 ? y ?1 ?

B A O x

解析:在坐标系中画出图象,三条线的交点分别是 A(0,1),B(7,1),C(3,7),在△ABC 中满足

z ? 2 y ? x 的最大值是点 C,代入得最大值等于 11.
26.(全国 II)过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小 时,直线 l 的斜率 k= . 解析(数形结合)由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2) ? y ? 4 的内部, 圆心为 O(2,0)要使得劣弧所
2 2

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1 1 2 ?? ? kOA 2 ? 2

对的圆心角最小,只能是直线 l ? OA ,所以 kl ? ?

27. (上海卷 )已知圆 x 2 - 4 x - 4 + y 2 = 0 的圆心是点 P ,则点 P 到直线 x - y - 1 =0 的距离 是 .

解:由已知得圆心为: P (2,0) ,由点到直线距离公式得: d ?

|2 ? 0 ?1| 2 ? ; 2 1?1

28.(上海卷)已知两条直线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0, l2 : 4x ? 6 y ?1 ? 0. 若 l1 // l2 ,则 a ? ____. 解:两条直线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0, l2 : 4x ? 6 y ?1 ? 0. 若 l1 // l2 , ?

a 2 ? ? ,则 a ? 2. 3 3

?x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 29.(上海卷)已知实数 x, y 满足 ? ,则 y ? 2 x 的最大值是_________. ?x ? 0 ? ?y ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 解析:实数 x, y 满足 ? ,在坐标系中画出可行域,得 x ? 0 ? ? ?y ? 0
三个交点为 A(3,0)、B(5,0)、C(1,2),则 y ? 2 x 的最大值是 0.
y

C x O A B

? x ?1 ? 1 ? 30.(四川卷)设 x, y 满足约束条件: ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 2 ? ? ?2 x ? y ? 10 ? x ?1 ? 1 ? 解析:设 x, y 满足约束条件: ? y ? x ,在直角坐标系中画出可 2 ? ? ?2 x ? y ? 10
1 行域△ABC,其中 A(1, ),B(1,8),C(4,2),所以 z ? 2 x ? y 的最 2
小值为-6。
2 2

;

y B

A O

C

x

31.(天津卷)设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长 为 2 3 ,则 a ? ____________. 解析:设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,
2 2

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则圆心(1,2)到直线的距离等于 1,

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| a ? 2?3| a2 ? 1 ? 1 , a ? 0. 3 x( x ≥ 0) 相切,则这个圆的方 3

32.(天津卷)若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y ? 程为 .

解析:若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y ?

3 x( x ? 0) 相切,则圆心在直线 y= 3 x 3

上,且圆心的横坐标为 1,所以纵坐标为 3 ,这个圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 。 33. (重庆卷)已知变量 x,y 满足约束条件 1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点 (3,1)处取得最大值,则 a 的取值范围为___________. 解析:变量 x, y 满足约束条件 1 ? x ? y ? 4, ?2 ? x ? y ? 2. 坐标系中画出可行域,如图为四边形 ABCD,其中 A(3,1),
y 4 3 C 2 1 O 1 D 2 3 A x 4 -1 -2 B



k AD ? 1, k AB ? ?1,目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )中的
示斜率为-a 的直线系中的截距的大小,若仅在点 ? 3,1? 处 得最大值,则斜率应小于 k AB ? ?1,即 ?a ? ? 1 ,所以 a 的 值范围为(1,+∞)。

z表 取 取

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 34.(重庆卷)已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 。若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 ) ? y ?1 ? 0 ?
仅在点 (3, 0) 处取得最大值,则 a 的取值范围为 解:画出可行域如图所示,其中 B(3,0), C(1,1),D(0,1),若目标函数 z ? ax ? y 取 得最大值,必在 B,C,D 三点处取得,故有 3a?a+1 且 3a?1,解得 a? 。
y

x+2y-3=0 D C y-1=0 x+3y-3=0 O B x

1 2
(r ? 0) 和 直 线
.

35 . ( 上 海 春 ) 已 知 圆 C : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? r 2 圆 C 与直线 l 没有公共点,则 r 的取值范围是

l : 3x ? y ? 5 ? 0 . 若

解:由题意知,圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须小于圆的半径 r .因为 ,所以 .从而应填 .

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2007 年高考数学试题分类详解 直线与圆
一、选择题 1、.与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x2 ? y 2 ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的 半径最小的圆的标准方程是 【答案】:. ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 【分析】:曲线化为 ( x ? 6)2 ? ( y ? 6)2 ? 18 ,其圆心到 直 线 .

x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

6?6?2 2

? 5 2. 所求的 最

小 圆

的圆心在直线 y ? x 上,其到直线的距离为 2 ,圆心坐

标 为

( 2 , 标准方程为 2 ) . ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 。
2、(安徽文 5)若圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心到直线 x ? y ? a ? 0 的距离为 (A)-2 或 2 (B)

2 ,则 a 的值为 2

1 3 或 2 2

(C)2 或 0

(D)-2 或 0

解 析 : 若 圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的 圆 心 (1 , 2) 到 直 线 x ? y ? a ? 0 的 距 离 为

2 ,∴ 2

|1 ? 2 ? a | 2 ,∴ a=2 或 0,选 C。 ? 2 2
2 2 3、(上海文 13)圆 x ? y ? 2x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是(



A. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?
2 2

1 2

B. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ?
2 2

1 2

C. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

D. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2
2 2

【答案】C
2 2 2 2 【解析】 圆 x ? y ? 2x ?1 ? 0 ? ( x ?1) ? y ? 2 , 圆心 (1, 0) , 半径 2 , 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0

对称的圆半径不变,排除 A 、 B ,两圆圆心连线段的中点在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上, C 中圆

( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 的圆心为(-3,2),验证适合,故选 C。

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4、(湖北理 10)已知直线

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x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点 a b

的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( ) A.60 条 B.66 条 C.72 条 D.78 条 答案:选 A 解析:可知直线的横、纵截距都不为零,即与坐标轴不垂直,不过坐标原点,而圆

x2 ? y 2 ? 100 上的整数点共有 12 个,分别为 ? 6, ?8? , ? ?6, ?8? , ?8, ?6? ,

? ?8, ?6? , ? ?10,0? , ?0, ?10? ,前 8 个点中,过任意一点的圆的切线满足,有 8 条;12 个点中
2 过任意两点,构成 C12 ? 66 条直线,其中有 4 条直线垂直 x 轴,有 4 条直线垂直 y 轴,还有 6

条过原点(圆上点的对称性),故满足题设的直线有 52 条。综上可知满足题设的直线共有 52 ? 8 ? 60 条,选 A 5、(湖北文 8)由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为 A.1 B.2 2 C. 7 D.3

答案:选 C 解析:切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离 为 d=

| 3 ? 0 ?1| 2

? 2 2 ,圆的半径为 1,故切线长的最小值为 d 2 ? r 2 ? 8 ? 1 ? 7 ,选 C


6、(浙江理 3)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

【答案】:D 【分析】:解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x ? 1 对称点为(2-x,y) 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,? 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 化简得 x ? 2 y ? 3 ? 0 故选答案 D. 解法二:根据直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线斜率是互为相反数得答案 A 或 D, 再根据两直线交点在直线 x ? 1 选答案 D. 7、(浙江理 4 文 5)要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪 都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径 为6米 的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】:因为龙头的喷洒面积为 36π ? 113 , A B 正方形面积为 256,故至少三个龙头。 由于 2 R ? 16 ,故三个龙头肯定不能

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D

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保证整个草坪能喷洒到水。当用四个 龙头时,可将正方形均分四个小正方形, 同时将四个龙头分别放在它们的中心, 由于 2R ? 12 ? 8 2 ,故可以保证 整个草坪能喷洒到水。 8、(浙江理4)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 (A)x+2y-1=0 (B)2 x+y-1=0 (C)2 x+y-3=0 (D) x+2y-3=0 【答案】:D 【分析】:解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x ? 1 对称点为(2-x,y)在直线

x ? 2 y ? 1 ? 0 上,? 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 化简得 x ? 2 y ? 3 ? 0 故选答案 D.
解法二根据直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线斜率是互为相反数得答案 A 或 D,再根据 两直线交点在直线 x ? 1 选答案 D. 9、(重庆文 3)垂直于同一平面的两条直线 (A)平行 (B)垂直 (C)相交 【答案】:A 【分析】:垂直于同一平面的两条直线平行.

(D)异面

10、(重庆文 8)若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点, 且∠POQ=120°(其中 O 为原点),则 k 的值为 (A) ? 3或 3 (C) ? 2或 2 (B) 3 (D) 2

y

P

2
O

1
X

【答案】:A 【分析】:如图,直线过定点(0,1),
? ? ??O P Q?3 0 , ? ?1 ? 1 2 0 ? , 2 ? ? 6 0? k, ? ?

Q

3.

11、(四川理 11 文 12)如图, l1 、 l2 、 l3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1 、 l2 、 l3 上,则⊿ ABC 的边长是( (A) 2 3 )

(B)

4 6 3

(C)

3 17 4

(D)

2 21 3

解析:选 D.过点C作 l2 的垂线 l4 ,以 l2 、 l4 为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标

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系.设 A(a,1) 、 B(b, 0) 、 C (0, ?2) ,由 AB ? BC ? AC 知 (a ? b)2 ? 1 ? b2 ? 4 ? a2 ? 9 ? 边长2 , 检验 A: (a ? b)2 ? 1 ? b2 ? 4 ? a2 ? 9 ? 12 ,无解;检验 B: (a ? b) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ?
2 2 2

32 , 3

无解;检验 D: (a ? b) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ?
2 2 2

28 ,正确 3

二、填空题 1、 (广东理 13) (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为 ? (参数 t∈R) , 圆 C 的参数方程为 ? 圆心到直线 l 的距离为______. 答案:(0,2); 2 2 . 解析:直线的方程为 x+y-6=0,d=
| 2?6| 2 ?2 2;
?x ? t ? 3 ?y ? 3?t

? x ? cos ? (参数 ? ? [0, 2? ] ) , 则圆 C 的圆心坐标为_______, ? y ? 2sin ? ? 2

2、(广东理 15)[几何证明选讲选做题]如图所示,圆O 径为6, C为圆周上一点。 BC=3, 过C作圆的切线l, 作l的垂线AD,垂足为D,则∠DAC=______;线段 长为_______。 答案:

D C l A O B

的 直 过 A AE 的

? ;3。 6

解析:根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两 互余,很容易得到答案; AE=EC=BC=3;

锐 角

3、(天津文理 14)已知两圆 x2 ? y 2 ? 10 和 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 20 相交于 A, B 两点,则直线 AB 的 方程是 __________ . 【答案】 x ? 3 y ? 0 【分析】两圆方程作差得 x ? 3 y ? 0
2 2 4、 (山东理 15)与直线 x ? y ? 2 ? 0 和曲线 x ? y ?12x ?12 y ? 54 ? 0 都相切的半径最小的圆的

标准方程是_________. 【答案】 :. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 【分析】:曲线化为 ( x ? 6) ? ( y ? 6) ? 18 ,其圆心到直线
2 2 2 2

x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?

6?6?2 2

其到直线的距离 ? 5 2. 所求的最小圆的圆心在直线 y ? x 上,

2 2 为 2 ,圆心坐标为 (2, 2). 标准方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 2 。

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14

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12

10

8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

5、(上海理 2)已知 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与 l2 : y ? 3x ? 1 ,若两直线平行,则 m 的值为 _____

2 3 2 m 1 2 ? ? ?m?? 【解析】 3 ?1 ?1 3
【答案】 ?
2 6、(上海理 11)已知圆的方程 x ? ? y ? 1? ? 1 , P 为圆上任意一点(不包括原点)。直线 OP 的 2

倾斜角为 ? 弧度, OP ? d ,则 d ? f

?? ? 的图象大致为 _____

【答案】 【解析】 OP ? 2 cos(

?
2

? ? ) ? 2sin ? , ? ? (0, ? )


7、(上海文 3)直线 4 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? ? 【答案】 π ? arctan 4 【解析】 tan ? ? ?4,?? ? (

?
2

, ? ) ? ? ? π ? arctan 4 .。

8、(上海文 11)如图, A, B 是直线 l 上的两点,且 AB ? 2 .两个半径相等的动圆分别与 l 相切于
A, B 点, C 是这两个圆的公共点,则圆弧 AC , CB 与

C
l

线段 AB 围成图形面积 S 的取值范围是
π? ? 2? ? 【答案】 ? 0, 2? ?



A
O1 C O2

B
两 圆

【解析】如图, 当 ? O1与 ? O2 外切于点 C 时,S 最大,此时, 半径为 1 , S 等于矩形 ABO2O1 的面积减去两扇形面积,

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A

B

l

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1 ? ? Smax ? 2 ?1 ? 2 ? ( ? ? ?12 ) ? 2 ? ,随着圆半径的变化,C 可以向直线 l 靠近,当 C 到直线 l 的 4 2
距离 d ? 0时, S ? 0,? S ? (0, 2 ?

?

2

]。


, 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是 9、(湖南文理 11)圆心为 (11)
【答案】 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 【解析】半径 R=

|1?1? 4 | 2

? 2 ,所以圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

10、(江西理 16)设有一组圆 Ck : ( x ? k ? 1)2 ? ( y ? 3k )2 ? 2k 4 (k ? N* ) .下列四个命题: A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不 相交 . D.所有的圆均不 经过原点 . 其中真命题的代号是 .(写出所有真命题的代号)
2

解析:圆心为(k-1,3k)半径为 2k ,圆心在直线 y=3(x+1)上,所以直线 y=3(x+1)必与所 有的圆相交,B 正确;由 C1、C2、C3 的图像可知 A、C 不正确;若存在圆过原点(0,0),则有

(?k ? 1) 2 ? 9k 2 ? 2k 4 ? 10k 2 ? 2k ? 1 ? 2k 4 ( k ? N *) 因为左边为奇数,右边为偶数,故不存
在 k 使上式成立,即所有圆不过原点。填 B、D 11、(四川文理 15)已知 ? O 的方程是 x2 ? y 2 ? 2 ? 0 , ? O ' 的方程是 x2 ? y 2 ? 8x ? 10 ? 0 ,由 动点 P 向 ? O 和 ? O ' 所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是__________________ 解析: ? O :圆心 O (0, 0) ,半径 r ? 切线长相等得

2 ; ? O ' :圆心 O '(4,0) ,半径 r ' ? 6 .设 P( x, y) ,由
3 . 2

x2 ? y2 ? 2 ? x2 ? y2 ? 8x ? 10 , x ?

2008 年高考数学试题分类汇编 直线与圆
一.选择题:
1,(上海卷 15)如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C、D 的定圆所围成的区域 边界) , A、 B、 C、 D 是该圆的四等分点. 若点 P( x,y) 、 点 P?( x?,y?)
D O y A

轴的 (含 满足
B x

?
C

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x ≤ x? 且 y ≥ y? ,则称 P 优于 P? .如果 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点优于 Q,

那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧( D ) A.弧 AB B.弧 BC C.弧 CD D.弧 DA x y sin ? ) ,则( D ) 2.(全国一 10)若直线 ? ? 1 通过点 M (cos ?, a b 1 1 1 1 A. a 2 ? b2 ≤1 B. a 2 ? b2 ≥1 C. 2 ? 2 ≤ 1 D. 2 ? 2 ≥ 1 a b a b

? y ≥ x, ? 3. (全国二 5) 设变量 x, y 满足约束条件:? x ? 2 y ≤ 2, , 则 z ? x ? 3 y 的最小值 ( ? x ≥ ?2. ?
A. ?2 B. ?4 C. ?6 D. ?8

D



4.(全国二 11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 , 原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( A 1 1 A.3 B.2 C. ? D. ? 3 2 )

? x ? y ? 1≥ 0, ? 5.(北京卷 5)若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最小值是( ? x ≤ 0, ?
A.0 B.1 C. 3 D.9

B



6.(北京卷 7)过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线

l1,l2 关于 y ? x 对称时,它们之间的夹角为( C
A. 30? B. 45? C. 60? D. 90?



7.(四川卷4)直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 0 ,再向右平移1个单位,所得到的直 线为( A )
1 1 (A) y ? ? x ? 3 3 1 (B) y ? ? x ? 1 3 1 x ?1 3

(C) y ? 3x ? 3

(D) y ?

?x? y?0 ? 8.(天津卷 2)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 5 x ? y 的最大值为 ?x ? 2 y ? 1 ?

D (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 9.(安徽卷 8).若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点,则直线 l 的斜

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率的取值范围为( A. [? 3, 3] C )

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B. (? 3, 3)

C. [?

3 3 , ] 3 3

D. (?

3 3 , ) 3 3

10.(山东卷 11)已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 .设该圆过点(3,5)的最长弦 和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 B (A)10 6 (B)20 6 (C)30 6 (D)40 6

? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? 11.(山东卷 12)设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, 所表示的平面区域为 M,使函数 ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?

y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是 C
(A)[1,3] (B)[2, 10 ] (C)[2,9] (D)[ 10 ,9]

12.(湖北卷 9)过点 A(11, 2) 作圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共 有C A.16 条 B. 17 条 C. 32 条 D. 34 条 C )

? x ? 1, ? 13.(湖南卷 3)已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 x ? y 的最大值是( ? x ? 2 y ? 9 ? 0, ?

A.2

B.5

C.6

D.8 C )

14. (陕西卷 5) 直线 3x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 ? 0 相切, 则实数 m 等于 ( A. 3 或 ? 3 B. ? 3 或 3 3 C. ?3 3 或 3 D. ?3 3 或 3 3

? y ≥ 1, ? 15.(陕西卷 10)已知实数 x, y 满足 ? y ≤ 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 , ? x ? y ≤ m. ?

则实数 m 等于( B A.7 B.5

) C.4

D.3

16.(重庆卷 3)圆 O1: x 2+y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2: x 2+y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是 B (A)相离 (B)相交
2 2

(C)外切

(D)内切 C )

17.(辽宁卷 3)圆 x ? y ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有 公共点的充要条件是( .. A. k ? (? 2,2) B. k ? (?∞, ? 2) ? ( 2,∞ ? )

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C. k ? (? 3,3)

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D. k ? (?∞, ? 3) ? ( 3,∞ ? )

二.填空题:
1. (天津卷 15) 已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称. 直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与 圆 C 相 交 于 A, B 两 点 , 且

AB ? 6 , 则 圆

C

的 方 程 为

__________________. x2 ? ( y ? 1)2 ? 18

? x ? y ≥ 0, ? 2. ( 全 国 一 13 ) 若 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 3 ≥ 0, 则 z ? 2x ? y 的 最 大 值 ?0 ≤ x ≤ 3, ?
为 .9
2 2

3.(四川卷 14)已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的 距离的最小值为_______。 2
?x ? 0 ? 4.(安徽卷 15)若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 ?y ? x ? 2 ?
7 4 5.(江苏卷 9)在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点分别为 A(0,a),B(b,0),C (c,0) ,点 P(0,p)在线段 AO 上(异于端点),设 a,b,c, p 均为非零实数,直线 BP,CP 分 别 交 AC , AB 于 点 E ,F , 一 同 学 已 正 确 算 的 OE 的 方 程 :

时,动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为

?1 1? ? 1 1? ? ? ? x ? ? ? ? y ? 0 ,请你求 OF 的方程: ?c b? ? p a?

? 1 1? 1 1 。 x ?? ? ? y ? 0. ? b c ? p a?

6.(重庆卷 15)直线 l 与圆 x 2+y 2+2 x-4 y ? a ? 0 (a<3)相交于两点 A,B,弦 AB 的中 点为(0,1),则直线 l 的方程为 . x-y+1=0 ( ? 为参数)没有公共点,

? x ? 1 ? cos? 7.(福建卷 14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 ? ? y ? ?2 ? sin ?
则实数 m 的取值范围是 . (??,0) ? (10, ??)

8.(广东卷 11)经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线 方程是 . x ? y ?1 ? 0

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? x ? 0, ? 9.(浙江卷 17)若 a ? 0, b ? 0 ,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ? 1 ,则以 a ,b 为坐标点 ?x ? y ? 1 ?

P( a ,b)所形成的平面区域的面积等于____________。1

三.解答题:
1.(北京卷 19)(本小题共 14 分) 已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (Ⅰ)当直线 BD 过点 (0, 1) 时,求直线 AC 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC ? 60? 时,求菱形 ABCD 面积的最大值.
解:(Ⅰ)由题意得直线 BD 的方程为 y ? x ? 1 . 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD . 于是可设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? n .

由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ? y ? ?x ? n

得 4 x ? 6nx ? 3n ? 4 ? 0 .
2 2

因为 A,C 在椭圆上, 所以 ? ? ?12n ? 64 ? 0 ,解得 ?
2

4 3 4 3 ?n? . 3 3

设 A,C 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) ,

3n 3n 2 ? 4 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , y1 ? ? x1 ? n , y2 ? ? x2 ? n . 2 4
所以 y1 ? y2 ?

n . 2

所以 AC 的中点坐标为 ?

? 3n n ? ,?. ? 4 4? ? 3n n ? , ? 在直线 y ? x ? 1 上, ? 4 4?

由四边形 ABCD 为菱形可知,点 ? 所以

n 3n ? ? 1 ,解得 n ? ?2 . 4 4

所以直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (Ⅱ)因为四边形 ABCD 为菱形,且 ?ABC ? 60 ,
?

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所以 AB ? BC ? CA . 所以菱形 ABCD 的面积 S ?

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3 2 AC . 2
2 2

由(Ⅰ)可得 AC ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?

2

?3n2 ? 16 , 2

所以 S ?

? 4 3 3 4 3? (?3n 2 ? 16) ? ? ? n ? ? ? ?. 4 3 3 ? ?

所以当 n ? 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 .

2.(江苏卷 18)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x2 ? 2x ? b ? x ? R ? 的图象 与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法. (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b); 令 f ? x ? ? x ? 2x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0.
2

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

2

令 y =0 得 x ? Dx ? F ? 0 这与 x ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b .
2 2

令 x =0 得 y ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为 x ? y ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1). 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 +1 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0, 所以圆 C 必过定点(0,1). 同理可证圆 C 必过定点(-2,1).
2 2

3.(湖北卷 19)(本小题满分 13 分) 如图,在以点 O 为圆心, | AB |? 4 为直径的半圆 ADB 中, OD ? AB , P 是半圆弧上一 点,
?POB ? 30? ,曲线 C 是满足 || MA | ? | MB || 为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P .

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程;

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(Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E 、 F . 若△ OEF 的面积不小于 ...2 2 ,求直线 l 斜率的取值范围.
本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识,考查轨迹方程的求法、不等式的解 法以及综合解题能力.(满分 13 分) (Ⅰ)解法 1:以 O 为原点,AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(-2, 0),B(2,0),D(0,2),P( 3,1 ),依题意得
2 2 2 2 |MA|-|MB|=|PA|-|PB|= ( 2 ? 3 ) ? 1 ? (2 ? 3) ? 1 =2 2 <|AB|=4.

∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为 a,虚半轴长为 b,半焦距为 c, 则 c=2,2a=2 2 ,∴a =2,b =c -a =2.
2 2 2 2

∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

解法 2:同解法 1 建立平面直角坐标系,则依题意可得|MA|-|MB|=|PA|-|PB|< |AB|=4. ∴曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(a >0,b>0). a2 b2

2 ? ( 3) 12 ? ?1 ? 2 2 则由 ? a 2 解得 a =b =2, b2 ?a 2 ? b 2 ? 4 ?

∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 2 2

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(Ⅱ)解法 1: 依题意, 可设直线 l 的方程为 y=kx+2, 代入双曲线 C 的方程并整理得 (1-K ) x -4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,
2 ? ? k ? ?1 ?1 ? k ? 0 ∴ ? ? ? 2 2 ? ?? 3 ? k ? 3 ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0

2

2

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x,y),F(x2,y2),则由①式得 x1+x2=
2 2 |EF|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? x 2 ) ?

4k 6 , x1 x 2 ? ? ,于是 2 1? k 1? k

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2
2

= 1 ? k ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 1 ? k ?
2 2

2 2 3?k2 1? k 2

.

而原点 O 到直线 l 的距离 d=

2 1? k 2



∴S△DEF=

1 1 2 2 2 3?k2 2 2 3? k2 d ? EF ? ? ? 1? k 2 ? ? . 2 2 1? k 2 1? k 2 1? k 2

若△OEF 面积不小于 2 2 ,即 S△OEF ? 2 2 ,则有

2 2 3? k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2. 



综合②、③知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(1-,1) ∪(1,

2 ).

解法 2:依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1-K )x -4kx-6=0. ∵直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,
2 2

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∴ ?
2 ? ?1 ? k ? 0

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??
? k ? ?1 ?? 3 ? k ? 3

? ?? ? (?4k ) ? 4 ? 6(1 ? k ) ? 0
2 2

∴k∈(- 3 ,-1)∪(-1,1)∪(1, 3 ). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 |x1-x2|= ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

? 1? k 2

?

2 2 3?k2 1? k 2

.



当 E、F 在同一去上时(如图 1 所示),

S△OEF= S ?ODF ? S ?ODE ?

1 1 OD ? x1 ? x 2 ? OD ? x1 ? x 2 ; 2 2

当 E、F 在不同支上时(如图 2 所示).

S ?OEF ? S ?ODF ? S△ODE=
综上得 S△OEF=

1 1 OD ? ( x1 ? x 2 ) ? OD ? x1 ? x 2 . 2 2

1 OD ? x1 ? x 2 , 于是 2

由|OD|=2 及③式,得 S△OEF=

2 2 3?k2 1? k 2

.

若△OEF 面积不小于 2 2,即S?OEF ? 2 2, 则有

2 2 3?k2 1? k
2

? 2 2 ? k 4 ? k 2 ? 0, 解得 ? 2 ? k ? 2.



综合②、④知,直线 l 的斜率的取值范围为[- 2 ,-1]∪(-1,1)∪(1, 2 ).

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