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2013-2014学年高中数学人教A版必修四同步辅导与检测:2.3.2平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算


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平 面 向 量

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.2 平面向量的正交分解、坐标表示 及坐标运算

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1.理解向量的坐标表示. 2.掌握向量的有关坐标运算:两坐标的和、两坐 标的差、数乘向量坐标和向量 AB的坐标运算.

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基础梳理 一、平面向量的坐标表示 1.平面向量的正交分解:把一个向量分解为________ 叫做把向量正交分解. 2.在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,由 平面向量的基本定理可知,有且只有一对实数x、y使得 ________.这样平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我 们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作________,其中x 叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,a=(x,y)叫做 向量的坐标表示. 1.两个互相垂直的向量 2.a=xi+yj a=(x,y) 金品质?高追求 我们让你更放心!

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3.几个特殊向量的坐标表示

i=________,j=________,0=________.
4.以原点O为起点作向量 OA,设 OA =xi+yj,则 向量OA 的坐标(x,y),就是________;反过来,终点A的 坐标(x,y)也就是________. 3.(1,0) (0,1) (0,0)

4.终点A的坐标 向量 OA 的坐标

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思考应用 1.点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系? 解析:(1)点的坐标是反映点的位置,它由点的位 置决定,向量的坐标反映的是向量的大小和方向,其 仅仅由大小和方向决定,与位置无关; (2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标, 当向量起点在原点时,向量的终点坐标就等于向量的 坐标.

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二、向量的坐标运算 1.两个向量和差的坐标运算 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=________; a-b=________. 2.数乘向量和坐标运算

若a=(x,y),则λa=__________.
3.向量AB 的坐标表示 若已知A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB =______.即一个向 量的坐标等于表示此向量的有向线段的______. 1.(x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) 2.(λx,λy) 3.(x2-x1,y2-y1) 终点的坐标减去始点的坐标 金品质?高追求 我们让你更放心!

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思考应用 2.向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化,而 向量本身的坐标却不变,这怎么解释呢? 解析:解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐 标的变化是否会引起向量坐标的变化,向量 AB 经过平 移以后得到向量CD ,这两个向量的坐标分别等于其相 应的终点的坐标减去始点坐标,尽管对应的始点、终 点坐标不同,但由坐标表示过程中构造的平行四边形 全等可知,其差值是不变的,所以一个向量的坐标只 和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关, 而与具体位置无关.

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自测自评 1.若向量(x,y)=0,则必有( B ) A.x=0或y=0 B.x=0且y=0

C.xy=0

D.x+y=0

1→ → → - 2 , 4 2 , 6 ( ) ( ) 2.已知MA= ,MB= ,则 AB=( 2 A.(0,5) B.(0,1) C.(2,5) D.(2,1)

D )

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3.已知a=(3,-1),b=(-1,2),c=2a+b 则c=( B ) A. (6,-2) C. (-5,0) B.(5,0) D.(0,5)

(-3,-2) 4.若点A (-2,1) ,B(1,3),则 =_________.

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平面向量的坐标运算 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,

a-b,3a+4b.
分析:利用向量的坐标运算法则. 解析:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5), a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3), 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16)=(-6,19).

点评:(1)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘 原来向量的相应坐标. (2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量 相应坐标的和(差) 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练
1.已知 a=(-1,2),b=(2,1),求: 1 3 (1)2a+3b; (2)a-3b; (3) a- b. 2 2

解析:(1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) =(-2,4)+(6,3)=(4,7); (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1) =(-1,2)-(6,3)=(-7,-1); 1 3 1 3 (3) a- b= (-1,2)- (2,1) 2 2 2 2 1 ? ? 3? ? 7 1? ? = -2,1 - 3,2 = -2,-2 . ? ? ? ? ? ?
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用方程思想求向量坐标 已知a+b= (2,-8),a-b= (-8,16),求a和b. 分析:设a=(m,n),b=(p,q),则问题就可转化 为方程思想解决.
解析:解法一:设a=(m,n),b=(p,q),则

? ?n+q=-8 ?m-p=-8 ? ?n-q=16
m+p=2

? ?n=4 ,解得? p=5 ? ?q=-12
m=-3

.

∴a=(-3,4),b=(5,-12).

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1 解法二:a= [(a+b)+(a-b)]=(-3,4), 2 1 b= [(a+b)-(a-b)]=(5,-12). 2
点评:上面两种方法都是通过解方程组得到解 决,解法一侧重以坐标为主体的方程;解法二是整 体思想,解向量方程.

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跟踪训练 2.已知a=(2,1),b=(-3,4),c=(-6,19), 用a,b,表示c.

解析:设c=xa+yb,则有 (-6,19)=x(2,1)+y(-3,4) =(2x-3y,x+4y),
? ? ?2x-3y=-6 ?x=3 ∴? ,解得? . ? ? ?x+4y=19 ?y=4

∴c=3a+4b.

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平面向量的坐标表示

已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和 → → → → → - 2 , 3 ( ) D .以AB,AC为一组基底来表示AD+BD+CD.
分析:本题主要是考查向量的坐标表示、向量的 坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识, 求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量 → → → → → 等的坐标,然后根据平面 AB、AC、AD、BD、CD → → → → → 向量基本定理得到等式 AD +BD+CD=m· AB+n· AC, 再列出关于m、n的方程组,进而解方程求出所表示的 系数. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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◆数学?必修4?(配人教A版)◆ → → → 1 , 3 2 , 4 ),AC=( ),AD=(-3,5), 解析:AB=( → → BD=(-4,2),CD=(-5,1). → → → AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1) =(-12,8). 根据平面向量的基本定理,一定存在实数m,n → → → → → 使得 AD+BD+CD=m· AB+n· AC, 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n), ? ? ?m+2n=-12 ?m=32 可得? ,解得? . ? ? ?3m+4n=8 ?n=-22 → → → → → 所以AD+BD+CD=32AB-22AC.
点评: 坐标运算要熟记公式,始点和终点的前 后顺序不可颠倒,否则会出现错误. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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跟踪训练
3.若A、B、C三点的坐标为(2,-4),(0,6),(-8,10), → 1→ → → 求AB+ BC和BC-2AC的坐标. 2

分析:本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐 标运算.问题已给出A、B、C三点的坐标,因此可写出向 的坐标运算,问题就可得解.

→ → → 的坐标,进而利用向量的数乘、加、减 量 AB 、BC、AC

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→ → - 2 , 10 ( ) 解析:AB= ,BC=(-8,4), → AC=(-10,14). 1 → 1→ ∴AB+ BC=(-2,10)+ (-8,4) 2 2 =(-2,10)+(-4,2)=(-6,12); → → BC-2AC=(-8,4)-2(-10,14) =(-8,4)-(-20,28)=(12,-24).
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平面向量坐标在几何中的应用 已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),

B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边
形ABCD的四个顶点.
分析:根据平行四边形对边平行且相等, → → → → 即有BA=CD,AD=BC.

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解析:设D(x,y),则 → BA=(-2,1)-(-1,3)=(-1,-2), → CD=(x,y)-(3,4)=(x-3,y-4). → → ∵BA=CD ? ? ?x-3=-1 ?x=2 ∴? ,解得? . ? ? ?y-4=-2 ?y=2 ∴D(2,2).
点评:设出所求点的坐标,利用向量相等或向量 共线列方程组求解,利用方程的思想求解向量中未知 的点的坐标,是一种最基本的方法.
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跟踪训练 4.已知平面上三点的坐标分别为A(1,2),B(3,-1), C(5,6),求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四 个顶点.
解析:设D(x,y),则 → BA=(1,2)-(3,-1)=(-2,3), → CD=(x,y)-(5,6)=(x-5,y-6). → → ∵BA=CD, ? ? ?x-5=-2 ?x=3 ∴? ,解得? . ?y-6=3 ?y=9 ? ? ∴D(3,9).

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一级训练 → 1.若AB=(2,3),且点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为( A.(1,1) C.(3,5) B.(-1,1) D.(4,4)

C

)

2.已知a=(5,-3), b=(1,-5),则2a-b等于( A.(-9,1) C.(9,-1 ) B.(-9,-1) D.(9,1)

C

)

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1.要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始 点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.

2.向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐 标来进行运算,使得向量运算完全代数化,将数和形紧密 结合起来,这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟 悉的数量运算.
3.求一个向量时,首先求一个向量的始点和终点坐 标. 4.求一个点的坐标,可以转化为求一个始点在原点, 终点在该点的向量坐标.

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