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2014-2015学年高中数学选修2-3 第1章 计数原理第一章1.3.2


1.3.2 本 课 时 栏 目 开 关 “杨辉三角”与二项式系数的性质 【学习要求】 1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的 各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用. 【学法指导】 从联系的观点讨论二项式系数的性质,与杨辉三角结合,同 时, 二项式系数组成的数列是一个函数, 可以从函数的角度, 利用图象,数形结合进行思考. 填一填·知识要点、记下疑难点 对称性 本 课 时 栏 目 开 关 在(a+b)n 展开式中, 与首末两端“等距离 ”的两 n-m m C 个二项式系数相等,即 Cn = n . n+ 1 n+ 1 k 当 k< 时, 二项式系数 Cn逐渐增大; 当 k> 2 2 时,二项式系数 Ck n逐渐减小.当 n 是偶数时,展 开式中间一项 的二项式系数 的二项式系数 与 相等且最大. , 最大;当 n 是奇数时,展开式中间两项 增减 性与 最大 值 填一填·知识要点、记下疑难点 本 课 时 栏 目 开 关 各二项式 系数的和 1 2 n n ①C0 n+Cn+Cn+?+Cn=2 . 2 4 1 3 ②C0 n+Cn+Cn+?=Cn+Cn+ 5 Cn +?= 2n -1 . 研一研·问题探究、课堂更高效 探究点一 本 课 时 栏 目 开 关 “杨辉三角”的性质 1 1 1 1 1 1 6 5 15 3 4 10 20 2 3 6 1 1 1 4 10 15 1 5 1 6 1 问题 1 观察(a+b)n 展开式的二项式系数 (a+b)1?? (a+b)2?? (a+b)3?? (a+b)4?? (a+b)5?? (a+b)6?? ???????????? 找一些这些数的规律. 研一研·问题探究、课堂更高效 答 (1)在同一行中,每行两端都是 1,与这两个 1 等距离的项 n-m 的系数相等,即 Cm = C ; n n 本 课 时 栏 目 开 关 (2)在相邻的两行中, 除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”的 r-1 r 两个数的和,即 Cr = C + C + n 1 n n. 研一研·问题探究、课堂更高效 问题 2 问题 1 中的表称为“杨辉三角”,杨辉三角有什么 作用? 本 课 时 栏 目 开 关 答 利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质, 当二项 式的次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数. 研一研·问题探究、课堂更高效 例 1 如图所示,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭 头所示的数组成一个锯齿形的数列: 1,2,3,3,6,4,10, ?, 记这个数列的前 n 项和为 Sn, 求 S19. 本 课 时 栏 目 开 关 1 2 解 由图知,数列中的首项是 C2 ,第 2 项是 C ,第 3 项是 C 2 2 3,第 1 2 2 4 项是 C3 ,?,第 17 项是 C10 ,第 18 项是 C1 10,第 19 项是 C11. 2 1 2 1 2 1 2 2 ∴S19=(C1 + C ) + (C + C ) + (C + C ) + ? + (C + C ) + C 2 2 3 3 4 4 10 10 11= 1 1 1 2 2 2 (C1 + C + C + ? + C ) + (C + C + ? + C 2 3 4 10 2 3 11) ?2+10?×9 3 = + C 12=274. 2 小结 利用杨辉三角和二项式系数的关系,将问题转化,利用 组合数的性质求解问题. 研一研·问题探究、课堂更高

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