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重庆市三峡联盟2013届高三联考 数学理试卷


三峡名校联盟高 2013 级 3 月联考 数学(理科)试题

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.若集合 A ? x x ? x? , B ? x x ? x ? 0 ,则 A ? B (
2

?

?

r />?

) . D. (??, ?1) )

A. [0,1]

B. (??, 0)

C. (1, ??)

a 2 ,且对任意的正整数 m,n,都有 am+n= am + an,则 n 等于( 3 n 2 3 1 A. B. C. D.2 2 3 2 ? 3 4 i n cs 3. z ? s ? ? ? (o ? ? )i 是纯虚数, tan( ? ? ) 的值为( 若 则 ). 4 5 5 1 1 A. ? 7 B. ? C. 7 D. ?7 或 ? 7 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.若两个非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与
2.已知数列{ an }满足 a1=

? ? b ? a 的夹角为(
A.

) B.

? 6
6cm
3

? 3
3

C.

2? 3
D.1cm
3

D.

5? 6


5. 已知某三棱锥的三视图(单位: C m)如图所示,则该三棱锥的体积是(

A.

B.2cm

C.3 cm

3

6.若在区域

?x ? y ? 2 ? 0 ? x?0 ? ? y?0 ?

内任取一点 P,则点 P 恰好在单位

开始 输入 M,N 否

圆 x 2 ? y 2 ? 1内的概率为(



M ?N?

? A. 4
7. 已知 M ? 输出的 S ? (

? B. 6

? C. 8
?
2 0

? D. 12



S?N
输出 S 结束 ·1·

S?M

?

1

0

1 ? x dx, N ? ? 2 cosxdx , 由如右程序框图


第 7 题图

A. 1

B.

?
2

C.

?
4

D. ? 1

8.设函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,? 则( )

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 对称,它的周期是 ? , 3

A. f (x ) 的图象过点 (0, ) C. f (x ) 的一个对称中心是 (

1 2

B. f (x ) 在 ?

5? ,0) ks5 12 uD. 将 f (x ) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象
9. 点 P 为双曲线 C1 :

? ? 2? ? 上是减函数 , ?12 3 ? ?

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 和圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 的一个交点,且 a2 b2

2?PF1 F2 ? ?PF2 F1 ,其 中 F1 , F2 为双曲线 C1 的两个焦点,则双曲线 C1 的离心率为
A. 3 B.

3 ?1

C. 1? 2

D. 2

10. 函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0) 对称, x, y 满足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y) , O 为坐标原点,则当

1 ? x ? 4 时, OM ? ON 的取值范围为 (
A. ? ,??? 12 B. ?0,3?

???? ???? ?

) C. ?3,12? D. ?0,12?

二、 填空题: 本大题共 6 小题, 考试共需作答 5 小题, 每小题 5 分, 25 分. 共 11.12.13 为必答题.14.15.16 为三选二.若都选.则计 14.15 题得分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清, 模棱两可均不得分
2 11.点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任一点,则点 P 到直线 y ? x - 2 的最小距离为

.12. .在矩形 ABCD 中, AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点, F 为该矩形内 若 (含边界) 任意一点, AE. AF 则: 的最大值为______: 13.给出以下命题:

y2 ? x 2 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 2x ; ① 双曲线 2
② 命题 p : “ ?x ? R , sin x ?
+

1 ? 2 ”是真命题; sin x

? ③ 已知线性回归方程为 y ? 3 ? 2 x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位;
④ 设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? 0.2 ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? 0.6 ;
·2·

⑤ 已知

2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2 ,依照以 2?4 6?4 5? 4 3? 4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4

上各式的规律,得到一般性的等式为 则正确命题的序号为 选做题

n 8?n ? ? 2, n ? 4) ( n ? 4 (8 ? n) ? 4
(写出所有正确命题的序号) .

14.曲线 ? ? 4 cos ? 与曲线 ? cos? ? 2 ? 3 的交点间距离为 15.如图△ABC 的外角平分线 AD 交外接圆于 D, BD ? 4 ,则 CD ?

16.关于 x 的不等式 x ? x ? 1 ? a2 ? a ? 1 的解集为空集,则实数 a 的取值范围为 __ 答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 13 分) 如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .
?

三、解

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 BC 边上高的值.

7 . 25
C D B

第 16 题图

18. (本小题满分 13 分) 现有长分别为 1m 、2m 、3m 的钢管各 3 根(每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号) , 从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均等的, 1 ? n ? 9 ) ,再将抽取的钢管相接焊成笔直 的一根. (1)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A) ; (2)当 n ? 2 时,若用 ? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求 ? 的分布列; ②令? ? ?? 2? ? ? ? 1, E (? ) ? 1 ,求实数 ? 的取值范围.

·3·

19.(本小题满分 13 分) 如 图 , 四 边 形 PCBM 是 直 角 梯 形 , ?PCB ? 90? , PM ∥ BC , PM ? 1, BC ? 2 .又 AC ? 1 , ?ACB ? 120?, AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所 成的角为 60? . (1)求证: PC ? AC ; (2)求二面角 M ? AC ? B 的余弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln ? 2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax ? a?R ? . 3
3

(1)若 x ? 2 为 f (x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)当 a ? ?

1 ?1 ? x ? + b 有实根,求实数 的最大值。 时,方程 f ?1 ? x ? ? b 2 3 x

21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线和椭圆都经过点 M ?1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴,抛物 线的顶点为坐标原点. (1)求这两条曲线的方程; (2)对于抛物线上任意一点 Q ,点 P (a, 0) 都满足 PQ ? a ,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

an (an ? 2) ( n ? N* ) . 4

1 1 1 1 5 ( n ? N* ) ; ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? 3 a1 a2 a3 an 32 ? an ?1 1 1 1 (3)是否存在非零整数 ? ,使不等式 ? (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) cos ? a1 a2 an 2
对一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.
·4·

1 an ? 1

三峡名校联盟高 2013 级 3 月联考
数学试题答案(理科) 一、1-5 CBABD 6-10 ACCBD 二、11.
2

12. 9/2

13. ①③⑤

14. 2

15. 4

16. [0,1]

17(1)∵ cos 2? ? 2cos 2 ? ?1 ? ?
∵ ? ? (0,

?
2

9 7 2 ,∴ cos ? ? , 25 25
-----------------6 分
2

) ,∴ cos ? ?

3 . 5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

4 , 5
7

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 , 10

----------10 分

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD ? , sin ?CAD sin ?C
A ----------12 分

CD ? sin ?C ? ∴ AD ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5, 2 10

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ?

-----------------13 分 C D B
第 16 题图

H

DB 3 ? , 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ? AD 5
则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m

---------9 分

? 注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH ,

·5·

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1 ,即 AH ? 4 18.解:(1)事件 A 为随机事件, P( A) ? (2)① ? 可能的取值为 2,3, 4,5,6

----------11 分 ----------13 分
1 1 C3C32C6 9 ? ………………………………………4 分 3 C9 14

P(? ? 2) ?

C32 1 ? C92 12
1 1 C32 ? C3C3 1 ? C92 3

P(? ? 3) ?

1 1 C3C3 1 ? C92 4

P(? ? 4) ?

P(? ? 5) ?

1 1 C3C3 1 ? C92 4

P(? ? 6) ?

C32 1 ? C92 12

∴ ? 的分布列为:

?

2

3

4

5

6

P

1 12

1 4

1 3

1 4

1 12

……………………………………………………9 分 ② E (? ) ? 2 ?

1 1 1 1 1 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 4 12 4 3 4 12

………………………………11 分

?? ? ?? 2? ? ? ? 1,? E(? ) ? ?? 2 E(? ) ? ? ? 1 ? ?4? 2 ? ? ? 1
? E (? ) ? 1 ,??4? 2 ? ? ? 1 ? 1 ? 0 ? ? ?

1 …………………………………………13 分 4

19、方法 1: (1)∵ PC ? BC , PC ? AB ,∴ PC ? 平面 ABC,∴ PC ? AC .5 分
? ? (2)取 BC 的中点 N,连 MN.∵ PM ? CN ,∴ MN ? PC ,∴ MN ? 平面 ABC.作 NH ? AC ,交 AC 的延长线于 H,连结 MH.由三垂线定理得 AC ? MH ,∴ ?MHN 为二面角 M ? AC ? B 的 平面角.∵直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? ,∴在 Rt?AMN 中, ?AMN ? 60? .

在 ?ACN 中, AN ? AC 2 ? CN 2 ? 2 AC ? CN ? cos120? ? 3 . 在 Rt?AMN 中, MN ? AN ? cot ?AMN ? 3 cot 60? ? 1 . 在 Rt?NCH 中, NH ? CN ? sin ?NCH ? 1? sin 60? ? 在 Rt?MNH 中,∵ MH ? MN 2 ? NH 2 ? 故二面角 M ? AC ? B 的余弦值为
3 . 2

7 NH 21 ,∴ cos ?MHN ? . ? 2 MH 7

21 .13 分 7
·6·

方法 2: (1)∵ PC ? BC , PC ? AB ,∴ PC ? 平面 ABC,∴ PC ? AC .5 分 (2)在平面 ABC 内,过 C 作 BC 的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.设 P(0,0, z) ,则
??? ? ???? ? 3 1 3 3 CP ? (0, 0, z ) . AM ? (0,1, z) ? ( , ? ,0) ? (? , , z) . 2 2 2 2 ……………5 分 ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? AM ? CP z2 ? ? ∵ cos 60? ?| cos ? AM , CP ?|?| ???? ??? |? , | AM | ? | CP | 3 ? z2 ? | z |

且 z ? 0 ,∴

z z ?3
2

?

???? ? 3 3 1 ,得 z ? 1,∴ AM ? (? , ,1) .……………8 分 2 2 2

? 3 3 ???? ? ? x ? y ? 1 ? 0, 3 ?? ?n ? AM ? 0, ? 2 ? , ?x ? ? 2 n ? ( x, y,1) , 则 由 ? ??? 设 平 面 MAC 的 一 个 法 向 量 为 得? 得? ? 3 ∴ 3 1 ? n ? CA ? 0 ? ? y ? ?1, ? ? ? 2 x ? 2 y ? 0, ?

n ? (?

3 , ?1,1) .……………10 分 3

??? ? ??? ? ??? ? n ? CP 21 ????? ? ? 平面 ABC 的一个法向量为 CP ? (0, 0,1) . cos ? n, CP ?? .……………12 分 7 | n | ?| CP |

显然,二面角 M ? AC ? B 为锐二面角,∴二面角 M ? AC ? B 的余弦值为

21 .13 分 7

x ? 2ax 2 ? ?1 ? 4a ? x ? 4a 2 ? 2 ? 2a 2 ? .……1 分 ? x ? 2 x ? 2a ? ? 20.(1) f ?( x) ? 2ax ? 1 2ax ? 1 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 2? ? 0 .…………………………………2 分 因为
2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 . ………………………………………3 分 4a ? 1 又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2为f ( x) 的极值点成立.……………4 分
即 (2)若 a ? ?

?

?

b 1 (1 ? x)3 b + 可化为, ln x ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x) ? . 时,方程 f (1 ? x) ? 2 x 3 x 2 2 3 问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在 ? 0 , ? ? 上有解, ?
即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

……………………7 分

以下给出两种求函数 g ? x ? 值域的方法:
2 2 方法 1:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x ,令 h( x) ? ln x ? x ? x ( x ? 0) ,

?

?

则 h?( x) ?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? 1 ? 2x ? , ……………………9 分 x x 时 所以当 0 ? x ? 1 , h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(0 , 上为增函数, 1)
·7·

当 x ?1 时,?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数, h 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 方法 2:因为 g ? x ? ? x ln x ? x ? x 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0.

…………10 分

?

2

? ,所以 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2x ? 3x

…………………………12 分
2



设 p( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x2 ,则 p?( x) ?

1 6 x2 ? 2 x ?1 . ? 2 ? 6x ? ? x x 1? 7 1? 7 当0 ? x ? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 (0 , ) 上单调递增; 6 6 1? 7 1? 7 , ?) 上单调递减; ? 当x? 时, p? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ( 6 6 ? 1? 7 ? 2 3 3 ?1? 因为 p ?1? ? 0 ,故必有 p ? 6 ? ? 0 ,又 p ? 2 ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 , ? ? e e e ? ? ?e ?
因此必存在实数 x0 ?(

1 1? 7 , )使得 g '( x0 ) ? 0 , e2 6 ? ) 0 ?当0 ?x ?x时,g ( x ? ,所以 g ( x)在? 0 ,0 ? 上单调递减; x 0
当 x0 ? x ? 1 时, ?( x) ? 0 ,所以 g ( x)在? x0 ,1? 上单调递增; g 当 x ?1 时, '( x) ? 0 , g ( x)在?1, ?? 上单调递减; g 所以 ? 又因为 g ( x) ? x ln x ? x ? x ? x(ln x ? x ? x ) ? x(ln x ? ) ,
2 3 2

1 4

ln 当 x ? 0时 , x ?

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. …………………………………………12 分 21 解: (1)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ? p ? 0? ,将 M ?1, 2 ? 代入方程得 p ? 2

1 ? 0 ,则 g ( x) ? 0 ,又 g (1) ? 0 . 4

?

抛物线方程为: y 2 ? 4x -------------------2 分
? c=1 ----------------3 分
2

由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ? ?1,0?1 , F2 ?1,0? , 对于椭圆, 2a ? MF1 ? MF2 ?

?1 ? 1?

2

? 22 ?

?1 ? 1?

?4 ?2?2 2

? a ? 1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? 2 2 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? 2 2 x2 y2 ? ? 1 ----------------6 分 所以椭圆方程为 3? 2 2 2? 2 2 t2 (2)设 Q( , t ) ------------(7 分) 4 t2 2 2 2 2 2 由 PQ ? a 得 ( ? a) ? t ? a , t (t ? 16 ? 8a) ? 0, ---------------(9 分) 4 t 2 ? 16 ? 8a ? 0, t 2 ? 8a ?16 恒成立------------------10 分 则 8a ? 16 ? 0, a ? 2
∴ a? ? ??,2? -----------12 分
·8·

22. (1)由 S n ?

an (an ? 2) . 4 a (a ? 2) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 1 ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去) ……2 分 . 4 当 n ? 2 时, a (a ? 2) an ?1 (an ?1 ? 2) 由 an ? S n ? S n ?1 ? n n ? an 2 ? an ?12 ? 2(an ? an ?1 ) , ? 4 4 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 ,
∴ ?an ? 是首项为 2,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n . ………………4 分

另法:易得 a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 6 ,猜想 an ? 2n ,再用数学归纳法证明(略). (2)证法一:∵

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 3 3 2 2 an (2n) 8n ? n 8n(n ? 1) 8(n ? 1)n(n ? 1) 1 1 1 ? [ ? ](n ? 2) ,……4 分 16 (n ? 1)n n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? [( ? )?( ? ) ??? ? ] 2 16 1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3? 4 ( n ? 1) n n( n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? [ ? ] ? ? ? ? .… 7 分 8 16 2 n(n ? 1) 8 16 2 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. ……………… 8 分 a1 8 32
3 2 2 3

证法二:∵ n ? 4n(n ? 1) ? n(n ? 4n ? 4) ? n(n ? 2) ? 0 ,∴ n ? 4n(n ? 1) .

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 3? ? ( ? ) (n ? 2) .……4 分 3 3 an (2n) 8n 32n(n ? 1) 32 n ? 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴当 n ? 2 时, 3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? a1 a2 a3 an 2 4 6 (2n)3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 .……7 分 ? 3 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ? (1 ? ) ? ? ? 2 32 2 2 3 n ?1 n 8 32 n 8 32 32 1 1 5 当 n ? 1 时,不等式左边 ? 3 ? ? 显然成立. ……8 分 a1 8 32 ? an ?1 (3)由 an ? 2n ,得 cos ? cos(n ? 1)? ? (?1) n ?1 , 2 1 设 bn ? ,则不等式等价于 (?1) n ?1 ? ? bn . 1 1 1 (1 ? )(1 ? ) ?? ? (1 ? ) an ? 1 a1 a2 an


·9·

an ? 1 bn ?1 4 n 2 ? 8n ? 4 2n ? 1 2n ? 2 ? ?1 , ? ? ? 1 ? bn ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) 1 ? 4 n 2 ? 8n ? 3 ?1 ? ? an ?1 ? 1 ?1 ? 2n ? 2 ? 2n ? 3 ? ? an ?1 ? ?
……9 分 ∵ bn ? 0 ,∴ bn ?1 ? bn ,数列 ?bn ? 单调递增.

假设存在这样的实数 ? ,使得不等式 (?1) n ?1 ? ? bn 对一切 n ? N* 都成立,则 ① 当 n 为奇数时,得 ? ? (bn ) min ? b1 ? ② 当 n 为偶数时,得 ?? ? (bn ) min 综上, ? ? (?

2 3 ; ……11 分 3 8 5 8 5 ,即 ? ? ? . ……12 分 ? b2 ? 15 15

8 5 2 3 , ) ,由 ? 是非零整数,知存在 ? ? ?1 满足条件.…… 12 分 15 3

·10·


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