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河南省洛阳市2015届高三第二次统一考试数学文试题(含参考答案)


2014—2015 学年高中三年级第二次统一考试

数学试卷(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名,考号填写在答题卷上. 2.考试结束,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求 的. 1.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则复数 z 的实部与虚部之和为 A.0 B.1 C.2 2 D .4

2.已知集合 A={1, m 2 +1},B={2,4},则“m= 3 ”是“A∩B={4}”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.若α∈[0,2π) ,则满足 1 +sin 2? =sinα+cosα的α的取值范围是 A.[0,

?
2

]

B.[0,π]

C.[0,

3? ] 4

D.[0,

3? 7? ]∪[ ,2π) 4 4

4.曲线 f(x)= A.1

x 2+a 3? 在点(1,f(1) )处切线的倾斜角为 ,则实数 a= x+1 4
B.-1 C.7 D.-7

5.过抛物线 y 2=4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若|AF|=5,则|BF|= A.

1 4

B.1

C.

5 4

D .2

6.已知圆 C: x 2+y 2=4 ,若点 P( x0 , y0 )在圆 C 外,则直线 l: x0 x+y0 y=4 与圆 C 的位置关系为 A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定 7.执行下面的程序,若输入的 x=2,则输出的所有 x 的值的和为 A.6 B.21 C.101 D.126

? x+y≤2, x+y+2 ? 表示的平面区域的面积为 2,则 的最小值为 8.已知不等式 ? x≥0, x+1 ? y≥m ?
A.

3 2

B.

4 3 1 2

C.2

D.4

9.若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(2x)的图象的对称轴方程是 A.x=-1 B.x=- C.x=

1 2

D.x=1

10.已知 P 是△ABC 所在平面内一点,若 AP ?

3 2 BC ? BA, 则△PBC 与△ABC 的面积的比为 4 3
1

A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体 的各个面中最大面的面积为 A.1 B.

5 2

C. 6

D.2 3

?e x , x≤1, 12.已知函数 f(x)= ? 若方程 f(x)-kx=1 有两个不同实根,则实数 k 的取值范围为 f x-1),x>1. ?(
A. (

e-1 ,e) 3 e-1 C. ( ,1)∪(1,e) 3

e-1 ,1)∪(1,e-1] 2 e-1 D. ( ,e-1] 2
B. (

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.双曲线

y2 x 2 - =1 (b>0)的离心率为 2 ,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为__________。 4 b2

14.等比数列{ an }中,a1=1,a10=2,则 log 2 a1 + log 2 a2 +…+ log 2 a10 =_________. 15.已知点 A、B、C、D 均在球 O 上,AB=BC= 6 ,AC= 2 3 ,若三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 3,则球 O 的表面积为___________. 16.已知正项数列{ an }的前 n 项和为 S n ,对 ?n ∈N﹡有 2Sn = an+an .令 bn=
2

an

1 ,设 { bn } an+1+an+1 an

的前 n 项和为 Tn ,则在 T1,T2,T3,…,T100 中有理数的个数为_____________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 sin(A+B)=sinB+sin(A-B) . (1)求∠A; (2)若 AB ? AC ? 20 ,求 | BC | 的最小值.

2

18. (本小题满分 12 分)有 2000 名网购者在 11 月 11 日当天于某购物网站进行网购消费(消费金额不超过 1000 元) ,其中有女士 1100 名,男士 900 名.该购物网站为优化营销策略,根据性别采用分层抽样的方法从这 2000 名网购者中抽取 200 名进行分析,如下表: (消费金额单位:元) 女士消费情况: 消费金额 人数 男士消费情况: 消费金额 人数 (0,200) [200,400) [400,600) [600,800) [800,1000] 15 30 25 y 5 (0,200) [200,400) [400,600) [600,800) [800,1000] 10 25 35 30 x

(1)计算 x,y 的值;在抽出的 200 名且消费金额在[800,1000] (单位:元)的网购者中随机选出两名发放 网购红包,求选出的两名网购者都是男士的概率; 女士 男士 总计 (2)若消费金额不低于 600 元的网购者为“网购达人” ,低于 600 网购达人 元的网购者为 “非网购达人” , 根据以上统计数据填写右面 2×2 列联表, 非网购达人 并回答能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“是否为‘网购 总计 达人’与性别有关?” 附: P(K2≥k0) k0
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

n(ad-bc) ,n=a+b+c+d) (K2= (a+b) (c+d) (a+c) (b+d)

3

19. (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB =4,E,F 分别在 BC,AD 上,EF∥AB.现将四边形 ABCD 沿 EF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC.

(1)若 BE=1,是否在折叠后的线段 AD 上存在一点 P,且 AP =λ PD ,使得 CP∥平面 ABEF? 若存在,求 出λ的值;若不存在,说明理由; (2)求三棱锥 A-CDF 的体积的最大值,并求此时点 F 到平面 ACD 的距离.

uu u r

uuu r

20. (本小题满分 12 分)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E:

x 2 y2 + =1 (a>b>0)上一点,A、B 是椭圆 E 的左、右 a2 b2
1 . 2

顶点,直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=- (1)求椭圆 E 的方程;

xx y y x 2 y2 (2)已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a>b>0)上点 N( x0 , y0 )处切线方程为 02 + 02 =1 , 若 P 是直线 x a b a b
=2 上任意一点,从 P 向椭圆 E 作切线,切点分别为 C,D,求证直线 CD 恒过定点,并求出该定点坐标.

4

21. (本小题满分 12 分)已知 f(x)= xe x - ax 2 - x . (1)若 f(x)在(-∞,-1]上递增,[-1,0]上递减,求 f(x)的极小值; (2)若 x≥0 时,恒有 f(x)≥0,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) (选修 4—1 几何证明选讲) 如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A,B 两点.点 P 在线段 BA 延长线上,T 是⊙O2 上一点,PT⊥O2T,过 P 的直线交⊙O1 于 C,D 两点. (1)求证:

PT PD = ; PC PT
=5,PT=

(2)若⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1O2 求 PA 的长.

24 2 , 5

5

23. (本小题满分 10 分) (选修 4-4 坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: ?

? x=4cos? , ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非 ?y=3sin ? .

负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ=2cosθ. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点,点 N 是曲线 C2 上任意一点,求|MN|的取值范围.

24. (本小题满分 10 分) (选修 4—5 不等式选讲) 已知 a,b∈R+,a+b=1, x1 , x2 ∈R+. (1)求

x1 x2 2 的最小值; + + a b x1 x2

(2)求证: ( ax1+bx2 )( ax2+bx1 )≥x1 x2 .

6

7

8

9

10


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