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高中数学 《平面向量数量积的坐标表示》教案(1)


平面向量数量积的坐标表示
教学目标: 掌握两个向量数量积的坐标表示方法, 掌握两个向量垂直的坐标条件, 能运用两个向量 的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 教学重点: 平面向量数量积的坐标表示. 教学难点: 向量数量积的坐标表示的应用. 教学过程: Ⅰ.课题引入 上一节我们学习了平面向量的数量积, 并对向量已能用坐标表示, 如果已知两个非零向 量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用 a 和 b 的坐标表示 a?b 呢? 这是我们这一节将要研究的问题. Ⅱ.讲授新课 首先我们推导平面向量的数量积坐标表示: 记 a=(x1,y1),b=(x2,y2), ∴a=x1i+y1j,b=x2i+y2j 2 2 ∴a?b=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i +(x1y2+x2y1)i?j+y1y1j =x1x2+y1y2 1.平面向量数量积的坐标表示: 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2), ∴a?b=x1x2+y1y2 2.两向量垂直的坐标表示: 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 则 a⊥b ? a?b=0 ? x1x2+y1y2=0 [例 1]已知 a=(1, 3 ),b=( 3 +1, 3 -1),则 a 与 b 的夹角是多少? 分析:为求 a 与 b 夹角,需先求 a?b 及|a||b|,再结合夹角 θ 的范围确定其值. 解:由 a=(1, 3 ),b=( 3 +1, 3 -1) 有 a?b= 3 +1+ 3 ( 3 -1)=4,|a|=2,|b|=2 2 .

a?b 2 记 a 与 b 的夹角为 θ ,则 cosθ = = |a||b| 2
又∵0≤θ ≤ ? , π ∴θ = 4

评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定. [例 2]已知 a=(3,4),b=(4,3),求 x,y 的值使(xa+yb)⊥a,且|xa+yb|=1. 分析:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想. 解:由 a=(3,4),b=(4,3),有 xa+yb=(3x+4y,4x+3y) 又(xa+yb)⊥a ? (xa+yb)?a=0 ? 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0 即 25x+24y=0 ① 2 又|xa+yb|=1 ? |xa+yb| =1 ? (3x+4y)2+(4x+3y)2=1 2 2 整理得:25x +48xy+25y =1 2 即 x(25x+24y)+24xy+25y =1

② 2 由①②有 24xy+25y =1 将①变形代入③可得:y=± 24 再代入①得:x= 35 5 7



24 ? 24 ? x? x?? ? ? ? 35 ? 35 ∴? 或? ?y ? ? 5 ?y ? 5 ? 7 ? 7 ? ?
→ → [例 3]在△ABC 中,AB=(1,1),AC=(2,k),若△ABC 中有一个角为直角,求实数 k 的值. → → 解:若 A=90°,则AB?AC=0, ∴1?2+1?k=0,即 k=-2 → → → → → 若 B=90°,则AB?BC=0,又BC=AC-AB=(2,k)-(1,1)=(1,k-1) 即得:1+(k-1)=0,∴k=0 → → 2 若 C=90°,则AC?BC=0,即 2+k(k-1)=0,而 k -k+2=0 无实根, 所以不存在实数 k 使 C=90° 综上所述,k=-2 或 k=0 时,△ABC 内有一内角是直角. 评述:本题条件中无明确指出哪个角是直角,所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全 面性,同时要注意坐标运算的准确性. → [例 4]已知:O 为原点,A(a,0),B(0,a),a 为正常数,点 P 在线段 AB 上,且AP=

tAB (0≤t≤1),则OA?OP的最大值是多少?
→ → → → 解:设 P(x,y),则AP=(x-a,y),AB=(-a,a),由AP=tAB可有:







? x ? a ? ?at ?x ? a ? at ,解得 ? ? ? y ? at ? y ? at
→ → ∴OP=(a-at,at),又OA=(a,0), → → 2 2 ∴OA?OP=a -a t ∵a>0,可得-a <0,又 0≤t≤1, → 2 2 2 ∴当 t=0 时, OA ?OP=a -a t,有最大值 a . [例 5]已知|a|=3,|b|=2,a,b 夹角为 60°,m 为何值时两向量 3a+5b 与 ma -3b 互相垂直?
2

解法:(3a+5b)?(ma-3b) 2 2 =3m|a| -9a?b+5ma?b-15|b| =27m+(5m-9)?3?2cos60°-15?4=42m-87=0 87 29 ∴m= = 时,(3a+5b)⊥(ma-3b). 42 14 Ⅲ.课堂练习 课本 P82 练习 1~8. Ⅳ.课时小结 通过本节学习, 要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法, 掌握两个向量垂直的坐 标形式条件,能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. Ⅴ.课后作业 课本 P83 习题 6,8,9,10

平面向量数量积的坐标表示 1. 在已知 a=(x, y) , b=(-y, x), 则 a, b 之间的关系为 A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b 对 2 2. 已知 a= (-4, 3) , b=(5, 6) , 则 3|a| -4a?b 为 A.63 B.83 C.23 3.若 a=(-3,4) ,b=(2,-1) ,若(a-xb)⊥(a-b),则 x 等于 A.-23 B. 7 2 C.- 7 3

( ) D. 以 上 均 不 ( D.57 ( 7 D.- 4 ( ) ) )

4. 若 a= (λ , 2) , b=(-3, 5) , a 与 b 的夹角为钝角, 则 λ 的取值范围为

10 A.( ,+∞) 3 10 C.(-∞, ) 3 13 13 13 13

10 B.[ ,+∞) 3 10 D.(-∞, ] 3 ( D.1 )

5.已知 a=(-2,1) ,b=(-2,-3) ,则 a 在 b 方向上的投影为 A.- B. C.0

6.已知向量 c 与向量 a=( 3 ,-1)和 b=(1, 3 )的夹角相等,c 的模为 2 ,则 c= . 7.若 a=(3,4) ,b=(1,2)且 a?b=10,则 b 在 a 上的投影为 . 8.设 a=(x1,y1),b=(x`2,y`2)有以下命题: ①|a| = x1 +y1 ②b = x2 +y2 ③a?b = x1x`2 + y1y`2 0,其中假命题的序号为 . 9.已知 A(2,1) ,B(3,2) ,D(-1,4) ,
2 2 2 2 2

④a⊥b ? x1x`2 + y1y`2 =

→ → (1)求证:AB⊥AD ; (2)若四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标.

10.已知 a=(3,-2) ,b=(k,k) (k∈R),t=|a-b|,当 k 取何值时,t 有最小值?最 小值为多少?

11.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值.

平面向量数量积的坐标表示答案 3+1 3-1 3+1 1- 3 , )或(- , ) 7.2 8.② 2 2 2 2 9.已知 A(2,1) ,B(3,2) ,D(-1,4) , 1.C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.( → → (1)求证:AB⊥AD ; (2)若四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标. → → (1)证明:∵AB=(1,1) ,AD=(-3,3) → → ∴AB?AD=1?3+1?(-3)=0, → → ∴AB⊥AD.

(2)解:∵ABCD 为矩形,设 C(x,y) , → → ∴AB=DC, (1,1)=(x+1,y-4) ∴x=0,y=5,∴C(0,5). 10.已知 a=(3,-2) ,b=(k,k) (k∈R),t=|a-b|,当 k 取何值时,t 有最小值?最 小值为多少? 解:∵a-b=(3-k,-2-k) ∴t=|a-b|= (3-k) +(-2-k)
2 2

= 2k -2k+13 =

2

1 2 25 2(k- ) + 2 2

1 5 2 ∴当 k= 时,t 取最小值,最小值为 . 2 2 11.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|=3,求|3a+b|的值. 解:a=(x1,y1),b=(x2,y2), ∴|a|=|b|=1, 2 2 2 2 ∴x1 +y1 =1,x2 +y2 =1 3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2), 又|3a-2b|=3, 2 2 ∴(3x1-2x2) +(3y1-2y2) =9, 将①代入化简, 1 得 x1x2+y1y2= 3





又 3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2), 2 2 2 2 2 2 2 ∴|3a+b| =(3x1+x2) +(3y1+y2) =9(x1 +y1 )+(x2 +y2 )+6(x1x2+y1y2)=12, 故|3a+b|=2 3 .


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