当前位置:首页 >> 数学 >>

2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用


2.5 等比数列的前 n 项和? 2.5.1 等比数列前 n 项和公式的推导与应用 学情分析 师生将共同分析探究等比数列的前 n 项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减 法”为最基本的方法,“错位相减法”也是一种算法,其设计的思路是“消除差别”,从而达到 化简的目的. 教学重点 1.等比数列前 n 项和公式的推导; 2.等比数列前 n 项和公式的应用. 教学难点 等比数列前 n

项和公式的推导. 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 三维目标 一、知识与技能 1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题; 2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式; 3.用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式,利用公式知三求一; 4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想. 二、过程与方法 1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学; 2.发挥学生的主体作用,作好探究性活动. 三、情感态度与价值观? 1.通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严肃认真 的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力; 2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法; 3.通过对有关实际问题的解决, 体现数学与实际生活的密切联系, 激发学生学习的兴趣. 教学过程 导入新课 师 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗? 生 知道一些,踊跃发言. 师 “请在第一个格子里放上 1 颗麦粒,第二个格子里放上 2 颗麦粒,第三个格子里放上 4 颗麦粒, 以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格 子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.?? 师 假定千粒麦子的质量为 40 g,按目前世界小麦年度产量约 60 亿吨计.你认为国王能不能 满足他的要求? 生 各持己见.动笔,列式,计算. 生 能列出式子:麦粒的总数为 1+2+22+…+263=? 师 这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?让我们一起来分析一下. 课件展示: 1+2+22+…+2 63=? 师 我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列, 那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项 是 1,公比是 2,求第 1 个格子到第 64 个格子所放的麦粒数总和,就是求这个等比数列的前 64 项的和. 现在我们来思考一下这个式子的计算方法: 记 S=1+2+22+23+…+2 63,式中有 64 项,后项与前项的比为公比 2,当每一项都乘以 2 后, 中间有 62 项是对应相等的,作差可以相互抵消.

课件展示: S=1+2+22+23+…+2 63,① 2S=2+22+23+…+263+264,② ②-①得 2S-S=2 64-1. 264-1 这个数很大,超过了 1.84× 10 19,假定千粒麦子的质量为 40 g,那么麦粒的总质量超过 了 7 000 亿吨.而目前世界年度小麦产量约 60 亿吨,因此,国王不能实现他的诺言. 师 国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致了一个很不幸的后果的发生,这都是 他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识,正是我们这节课所 要探究的知识. 推进新课 [合作探究] 师 在对一般形式推导之前,我们先思考一个特殊的简单情形:1+q+q2+…+qn=? 师 这个式子更突出表现了等比数列的特征,请同学们注意观察. 生 观察、独立思考、合作交流、自主探究. 师 若将上式左边的每一项乘以公比 q,就出现了什么样的结果呢? 生 q+q2+…+qn+q n+1. 生 每一项就成了它后面相邻的一项. 师 对上面的问题的解决有什么帮助吗? 师 生共同探索: 如果记 Sn=1+q+q2+…+qn, 那么 qSn=q+q2+…+qn+q n+1. 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=1-qn. 师 提问学生如何处理,适时提醒学生注意 q 的取值. 生 如果 q≠1,则有 S ?

1? qn . 1? q

师 当然,我们还要考虑一下如果 q=1 问题是什么样的结果. 生 如果 q=1,那么 Sn=n. 师 上面我们先思考了一个特殊的简单情形, 那么, 对于等比数列的一般情形我们怎样思考? 课件展示: a1+a2+a3+…+an=? [教师精讲] 师 在上面的特殊简单情形解决过程中,蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法,那就 是“错位相减,消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”. 师 在解决等比数列的一般情形时,我们还可以使用“错位相减法”. 如果记 Sn=a1+a2+a3+…+an, 那么 qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq, 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-anq. 师 再次提醒学生注意 q 的取值. 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 ? an q . 1? q

师 上述过程如果我们略加变化一下,还可以得到如下的过程:

如果记 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1, 那么 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn, 要想得到 Sn,只要将两式相减,就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn. 如果 q≠1,则有 S n ?

a1 (1 ? q n ) . 1? q

师 上述推导过程,只是形式上的不同,其本质没有什么差别,都是用的“错位相减法”. 形式上,前一个出现的是等比数列的五个基本量:a1,q,an,Sn,n 中 a1,q,an,Sn 四个;后者出现的 是 a1,q,Sn,n 四个,这将为我们今后运用公式求等比数列的前 n 项的和提供了选择的余地. 值得重视的是: 上述结论都是在“如果 q≠1”的前提下得到的.言下之意,就是只有当等比数列 的公比 q≠1 时,我们才能用上述公式. 师 现在请同学们想一想,对于等比数列的一般情形,如果 q=1 问题是什么样的结果呢? 生 独立思考、合作交流. 生 如果 q=1,Sn=na1. 师 完全正确. 如果 q=1,那么 Sn=nan.正确吗?怎么解释? 生 正确.q=1 时,等比数列的各项相等,它的前 n 项的和等于它的任一项的 n 倍. 师 对了,这就是认清了问题的本质. 师 等比数列的前 n 项和公式的推导还有其他的方法,下面我们一起再来探讨一下: [合作探究] 思路一:根据等比数列的定义,我们有:

a a2 a3 a4 ? ? ? ... ? n ? q , a1 a2 a3 an?1

再由合比定理,则得

a 2 ? a3 ? a 4 ? ... ? a n ?q, a1 ? a 2 ? a3 ? ... ? a n ?1



S n ? a1 ?q, S n ? an

从而就有(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略) 思路二:由 Sn=a1+a2+a3+…+an 得 Sn=a1+a1q+a2q+…+a n-1q=a1+q(a1+a2+…+a n-1)=a1+q(Sn-an), 从而得(1-q)Sn=a1-anq. (以下从略) 师 探究中我们们应该发现,Sn-S n-1 ?=an 是一个非常有用的关系,应该引起大家足够的重视. 在这个关系式中,n 的取值应该满足什么条件? 生 n>1. 师 对的,请同学们今后多多关注这个关系式:Sn-S n-1=an,n>1. 师 综合上面的探究过程,我们得出:

?na1 , q ? 1, ?na1 , q ? 1, ? ? n S n ? ? a1 (1 ? q ) 或者 ? a1 ? an q q ? 1 ? 1? q , q ? 1 ? 1? q , ? ?

[例题剖析] 【例题 1】 求下列等比数列的前 8 项的和:

1 1 1 , , ,…; 2 4 8 1 (2)a1=27,a9= ,q<0. 243
(1) [合作探究] 师生共同分析:

1 1 , q ? ,求 n=8 时的和,直接用公式即可. 2 2 1 由 (2) 所给条件,需要从 a 9 ? 中获取求和的条件,才能进一步求 n = 8 时的和 . 而 ? 243
由(1)所给条件,可得 a1 ? a9=a1q8,所以由条件可得 q8= 公式就可以了. 生 写出解答:

a9 1 1 = ,再由 q<0,可得 q ? ? ,将所得的值代入 243 ? 27 3 a1

1 1 [1 ? ( ) 8 1 1 2 ? 255 . (1)因为 a1 ? , q ? ,所以当 n=8 时, S8 ? 2 1 2 2 256 1? 2
(2)由 a1=27, a 9 ?

a 1 1 ,可得 q 8 ? 9 ? , 243 a1 243? 27

1 3 1 1 (1 ? ) 243? 27 ? 1640 . 于是当 n=8 时, S8 ? 27 1 81 1 ? (? ) 3
又由 q<0,可得 q ? ? , 【例题 2】 某商场今年销售计算机 5 000 台, 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30 000 台(结果保留到个位)? 师 根据题意,从中发现等比关系,从中抽象出等比数列,并明确这是一个已知 Sn=30 000 求 n 的问题. 生 理解题意,从中发现等比关系,并找出等比数列中的基本量,列式,计算. 解:根据题意,每年的销售量比上一年增加的百分率相同,所以,从今年起,每年销售量组 成一个等比数列{an},其中 a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000. 于是得到

5000(1 ? 1.1n ) ? 30000, 1 ? 1.1

整理得 1.1n=1.6, 两边取对数,得 nlg1.1=lg1.6, 用计算器算得 n ?

lg1.6 0.2 ≈ ≈5(年). lg1.1 0.041

答:大约 5 年可以使总销售量达到 30 000 台. 练习: 教材第 66 页,练习第 1、2、3 题. 课堂小结 本节学习了如下内容: 1.等比数列前 n 项和公式的推导;特别是在推导过程中,学到了“错位相减法”. 2.等比数列前 n 项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的 4 个量, 一般需要知 道其中的 3 个,才能求出另外一个量.另外应该注意的是,由于公式有两个形式,在应用中 应该根据题意所给的条件,适当选择运用哪一个公式. 在使用等比数列求和公式时, 注意 q 的取值是至关重要的一个环节, 需要放在第一位来思考. 布置作业 课本第 69 页习题 2.5 A 组第 1、2、3 题. 板书设计 等比数列前 n 项和公式的推导与应用 等比数列的前 n 项和公式 情境问题的推导 一般情形的推导 练习:(学生板演) 例1 例2 练习:(学生板演)

课后反思 注重“错位相减法”的步骤版演,体会“错位相减法”这种方法的过程特点,其设计 的思路是“消除差别”,从而达到从而达到化简的目的.


相关文章:
2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用
2.5.1 等比数列前n项和公式的推导与应用_数学_高中教育_教育专区。高中 数学 精品教案 2.5 等比数列的前 n 项和? 2.5.1 等比数列前 n 项和公式的推导与...
等比数列的前n项和公式的几种推导方法
1 时, S n 赏析等比数列前 n 项和公式的几种推导方法山东 张吉林(山东省莱州五中 邮编 261423) 等比数列的前 n 项和公式是学习等比数列知识中的重点内容...
(人教A版)数学必修五 :2-5-1《等比数列前n项和公式的推导与应用》教案(含答案)
(人教A版)数学必修五 :2-5-1《等比数列前n项和公式的推导与应用》教案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。教学设计 2.5 等比数列的前 n 项和? 2.5.1 等比...
2.5 等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n项和_数学_高中教育_教育专区。高中 数学 精品教案 2.5 2.5.1 等比数列的前 n 项和? 等比数列前 n 项和公式的推导与应用? 从容说课 师生...
2.5等比数例的前n项和
课件园 http://www.kejianyuan.com 课题: §2.5.1 等比数列的前 n 项和(...●教学重点 等比数列的前 n 项和公式推导 ●教学难点 灵活应用公式解决有关...
2.5等比数列前n项和
§6.3.3 等比数列的前 n 项和、教学目标: 1.知识目标:理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点, 在此基础上能初步应用公式解决与之有关的...
通项和前n项和公式推导
⑵利用公式法求数列的通项:① a n ? ? ( ?S 1 n ? 1) ;② ?an ? 等差、等比数列 ?an ? 公式. ?S n ? S n ?1 (n ? 2) ⑶应用迭加(迭...
高一数学《2.5等比数列前n项和(一)》
1. 提高学生的推理能力; 2. 培养学生应用意识. 二、教学重难点教学重点 等比数列前 n 项和公式的理解、推导应用. 教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式...
等比数列的前n项和公式的应用
难点:等比数列的前 n 项和公式及有关性质的应用。 预习案 Ⅰ相关知识 等比数列前 n 项和公式的推导方法;等比数列的前 n 项和公式。 Ⅱ教材助读 1. 等比...
更多相关标签:
等比数列求和公式推导 | 等比数列公式推导 | 等比数列通项公式推导 | 等比数列求和推导 | 等比数列推导 | 等比数列求和推导过程 | 等比数列前n项和推导 | 等比求和公式推导 |