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2014届高考数学一轮复习课件:第八章第5课时椭 圆(新人教A版)


第5课时





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考纲展示 备考指南

1.椭圆的定义、标准方程和几 何性质是高考的重点,而直线 1.了解圆锥曲线的实际 和椭圆的位置关系是高考考查 背景,了解圆锥曲线 的热点. 在刻画现实世界和解 2.定义、标准方程和几何性质 决实际问题中的作用. 常以选择题、填

空题的形式考 2.掌握椭圆的定义、标 查,而直线与椭圆位置关系以 准方程及简单的几何 及与向量、方程、不等式等的 性质. 综合题常以解答题的形式考查, 属中、高档题目.

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.椭圆的定义
和 平面内与两个定点F1,F2的距离的____等于常数 大于|F1F2| (___________)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭

焦点 焦距 圆的______,两焦点间的距离叫做椭圆的______.

思考探究
在椭圆定义中常数若等于|F1F2|或小于|F1F2|,则点的轨

迹如何?
提示:当常数=|F1F2|时,轨迹为线段|F1F2|;当常数 <|F1F2|时,轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x 2 y2 2+ 2=1(a>b>0) a b y2 x 2 2+ 2=1(a>b>0) a b

图形

性 质

范围 对称性

-b≤x≤b,- a≤y≤a 坐标轴 原点 对称轴:__________,对称中心:______ -a≤x≤a,-b≤y≤b

标准方程 顶点 轴 性 质 焦距 离心率 a,b,c 的关系

x 2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)

y2 x 2 + =1(a>b>0) a2 b2 A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

2a 长轴 A1A2 的长为______ 2b 短轴 B1B2 的长为______ 2c |F1F2|=______ c (0,1) e= ∈_______ a a2-b2 c2=__________

课前热身
x 2 y2 1.设 P 是椭圆 + =1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个 25 16 焦点,则|PF1|+|PF2|等于( A.4 C.8 B.5 D.10 )

答案:D

1 2.已知椭圆的一个焦点为 F(1,0),离心率 e= ,则椭圆的 2 标准方程为( x2 2 A. +y =1 2 x 2 y2 C. + =1 4 3 ) y2 B.x2+ =1 2 y2 x 2 D. + =1 4 3

答案:C

x 2 y2 1 3.已知椭圆的焦点在 y 轴上,若椭圆 + =1 的离心率为 , 2 m 2 则 m 的值是( ) 2 4 A. B. 3 3 5 8 C. D. 3 3
解析:选 D.由题意知 a2=m,b2=2,∴c2=m-2. m-2 1 1 c2 1 8 ∵e= ,∴ 2= ,∴ = ,∴m= . 2 4 3 a 4 m

x2 y2 4. (2013· 常州调研)若方程 + =1 表示椭圆, k 的取 则 5-k k-3 值范围是________.

?5-k>0 ? 解析:由已知得?k-3>0 ?5-k≠k-3 ?
答案:(3,4)∪(4,5)

,解得 3<k<5 且 k≠4.

5.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是(0,-4),则k的 值为________.
1 1 1 1 2 2 解析:a = ,b = ,则 c = .又 c=4,所以 k= . 32 k 2k 2k
2

1 答案: 32

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 椭圆的定义及标准方程 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角

例1

形,且焦点到同侧顶点的距离为 3,则椭圆的标准方程为 ________; (2)(2011· 高考课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 2 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________.

?a=2 3, ?a=2c, 【解析】 (1)由已知? ∴? ?a-c= 3, ?c= 3.
从而 b2=9, x 2 y2 x 2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 12 9 9 12

x 2 y2 (2)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 2 c 2 b2 1 由 e= 知 = ,故 2= . 2 a 2 a 2 由 于△ ABF2 的 周 长 为|AB|+ |BF2 |+ |AF2 |= |AF1|+ |AF2|+ |BF1|+|BF2|=4a=16,故 a=4, ∴b2=8. x 2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8
【答案】 x2 y2 x2 y2 (1) + =1 或 + =1 12 9 9 12 x 2 y2 (2) + =1 16 8

【题后感悟】

(1)在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时,

经常联想到椭圆的定义,即利用椭圆上的点到两焦点距离之 和等于2a求解. (2)在求椭圆方程时,若已知椭圆上的点到两焦点的距离,可 先求出椭圆的长轴长,再想法求短轴长,从而得出方程;若

已知点的坐标,可先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数
法求解. (3)当椭圆的焦点不确定时,应考虑焦点在x轴或在y轴两种情 形,无论哪种情形,始终有a>b>0.

跟踪训练 1.(1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两 点 P1( 6,1),P2(- 3,- 2),则椭圆的方程为________; x 2 y2 (2)已知 F1,F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为 a b → → 椭圆 C 上的一点,且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9,则 b= ________.

解析:(1)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n). ∵椭圆经过 P1,P2 两点, ∴P1,P2 点坐标适合椭圆方程,
?6m+n=1, ? 则? ? ?3m+2n=1,

① ② 1 m= , 9

? ①②两式联立,解得? 1 ?n=3.

x 2 y2 ∴所求椭圆方程为 + =1. 9 3

(2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
?r1+r2=2a, ? 则? 2 2 2 ? ?r 1+r2=4c ,

∴2r1r2=(r1+r2)2-(r2+r2) 1 2 =4a2-4c2=4b2, 1 ∴S = r1r2=b2=9,∴b=3. △PF1F2 2

x 2 y2 答案:(1) + =1 9 3

(2)3

考点 2

椭圆的几何性质 x 2 y2 (1)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是圆 x2+y2 a b )

例2

-6x+8=0 的圆心,且短轴长为 8,则椭圆的左顶点为( A.(-3,0) C.(-10,0) B.(-4,0) D.(-5,0)

x 2 y2 (2)(2012· 高考课标全国卷)设 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b a b 3a >0)的左,右焦点,P 为直线 x= 上一点,△F2PF1 是底角为 2 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) 1 2 A. B. 2 3 3 4 C. D. 4 5

【解析】 (1)∵圆的标准方程为(x-3)2+y2=1, ∴圆心坐标为(3,0),∴c=3.又 b=4, ∴a= b2+c2=5. ∵椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的左顶点为(-5,0). (2)由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30° , ∴∠PF2x=60° . ?3a-c ?=3a-2c. ∴|PF2|=2× 2 ? ? ∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c, c 3 ∴e= = . a 4 【答案】 (1)D (2)C

【题后感悟】 (1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系, 例如 x 2 y2 对椭圆 2+ 2=1(a>b>0)有-a≤x≤a, -b≤y≤b,0<e<1 等. 在 a b 求与椭圆有关的一些量的范围, 或者求这些量的最大值或最小 值时,经常用到这些不等关系. (2)求解与椭圆几何性质有关的问题时常结合图形进行分析, 即 使不画出图形, 思考时也要联想到图形, 当涉及到顶点、 焦点、 长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘 出它们之间的内在联系.

跟踪训练 x 2 y2 2.(1)(2012· 高考江西卷)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右顶点分 a b 别是 A,B,左,右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B| 成等比数列,则此椭圆的离心率为( ) 1 5 A. B. 4 5 1 C. D. 5-2 2 x 2 y2 (2)(2013· 福州质量检测)直线 y=- 3x 与椭圆:C: 2+ 2= a b 1(a>b>0)交于 A,B 两点,以线段 AB 为直径的圆恰好经过椭 圆的右焦点,则椭圆 C 的离心率为( ) 3-1 3 A. B. 2 2 C. 3-1 D.4-2 3

解析:(1)选 B.由题意知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c, 且三者成等比数列,则|F1F2|2=|AF1|· 1B|,即 4c2=a2-c2, |F 1 5 a =5c ,所以 e = ,所以 e= . 5 5
2 2 2

(2)选 C.设椭圆的左,右焦点分别为 F1,F2,由题意可得|OF2| 2π =|OA|=|OB|=|OF1 |=c.由 y=- 3x 得∠AOF2= , ∠AOF1 3 π = ,∴|AF2|= 3c,|AF1|=c. 3 由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a,∴c+ 3c=2a, c ∴e= = 3-1. a

考点 3

直线与椭圆的位置关系 x 2 y2 (2012· 高考安徽卷)如图,F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2 a b

例3

=1(a>b>0)的左, 右焦点, 是椭圆 C 的顶点, 是直线 AF2 A B 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

【解】

(1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形, 1 a=2c,所以 e= . 2 (2)法一:a2=4c2,b2=3c2, 直线 AB 的方程为 y=- 3(x-c), 将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2, 8 3 3 ? 得 B? c,- c , ?5 5 ? ?8c-0?=16c. 所以|AB|= 1+3· 5 ? ? 5 1 由 S△AF1B= |AF1|· sin∠F1AB |AB|· 2 1 16 3 2 3 2 = a· c· = a =40 3, 2 5 2 5 解得 a=10,b=5 3.

法二:设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a, 由椭圆定义|BF1|+|BF2 |=2a 可知,|BF1|=3a-t, 再由余弦定理得,(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60° , 8 解得 t= a, 5 1 8 3 2 3 2 由S = a·a· = a =40 3知, 2 5 2 5 △AF1B a=10,b=5 3.

【题后感悟】

(1)直线方程与椭圆方程联立,消元后得到

一元二次方程,然后通过判别式Δ来判断直线和椭圆相交、 相切或相离. (2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横

坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两根之积的形式,
这是进一步解题的基础.

跟踪训练 x 2 y2 3.(2013· 河南省豫东、豫北十校联考)已知椭圆 2 + 2 = a b 1(a>b>0)与 x 轴,y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点,原点 2 5 3 O 到直线 AB 的距离为 ,该椭圆的离心率为 . 5 2 (1)求椭圆的方程; 5 (2)是否存在过点 P(0, )的直线 l 与椭圆交于 M,N 两个不 3 → → 同的点,使PM=4PN成立?若存在,求出 l 的方程;若不 存在,说明理由.

解:(1)由题意得,直线 AB 的方程为 bx+ay-ab=0(a>b>0), a2-b2 2 5 3 由 2 = 及 = , 2 5 2 a a +b |-ab| 得 a=2,b=1. x2 2 所以椭圆的方程为 +y =1. 4 (2)当直线 l 的斜率不存在时,M(0,-1),N(0,1),易知符合 条件,此时直线 l 的方程为 x=0. 5 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+ , 3 x2 2 代入 +y =1 得(9+36k2)x2+120kx+64=0. 4 2 2 2 4 由 Δ=14 400k -256(9+36k )>0,解得 k > . 9

设 M(x1,y1),N(x2,y2), 120k 则 x1+x2=- ,① 9+36k2 64 x1x2= ,② 9+36k2 → → 由PM=4PN得 x1=4x2,③ 由①②③消去 x1,x2, 16 ?24k? 2 36k2 得 = ,即 =1,无解. 9+36k2 ?9+36k2?2 9+36k2 综上,存在符合条件的直线 l,且其方程为 x=0.

方法感悟
1.求椭圆的标准方程时,应从“定形”“定式”“定量”三 个方面去思考.“定形”就是指椭圆的对称中心在原点,以坐 标轴为对称轴的情况下,能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴 上.“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式,若焦 x 2 y2 点在x轴上,则设方程为 2+ 2=1(a>b>0);若焦点在 y 轴上, a b y2 x 2 则设方程为 2+ 2=1(a>b>0);若焦点位置不明确,可设方程 a a 为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).“定量”就是指利用定义 和已知条件确定方程中的系数 a,b 或 m,n.

2.讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点,求离心率的 常用方法有以下两种: c (1)求得 a,c 的值,直接代入公式 e= 求得; a (2)列出关于 a,b,c 的齐次方程(或不等式),然后根据 b2=a2 -c2,消去 b,转化成关于 e 的方程(或不等式)求解.

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规范解答


直线与椭圆问题的综合

x2 (本题满分 12 分)(2012· 高考陕西卷)已知椭圆 C1: + 4

y2=1, 椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴, 且与 C1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; → (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB= → 2OA,求直线 AB 的方程.

y2 x 2 【解】 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2).1 分 a 4 a2-4 3 3 其离心率为 ,故 = ,则 a=4,3 分 2 2 a y2 x 2 故椭圆 C2 的方程为 + =1.4 分 16 4 (2)法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知, O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上?, 1 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.6 分 x2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 2 所以 xA= 2 2?, 1+4k

y2 x 2 将 y=kx 代入 + =1 中, 16 4 得(4+k )x =16,所以
2 2

x2 = B

16 .8 分 4+k2

→ → 又由OB=2OA,得 x2 =4x2 , B A 16 16 即 = , 4+k2 1+4k2 解得 k=± 1,11 分 故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.12 分

法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx.6 分 x2 2 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k2)x2=4, 4 4 2 所以 xA= . 1+4k2 16 16k2 → → 由OB=2OA,得 x2 = ,y2 = ? .8分 3 B 1+4k2 B 1+4k2 4+k2 y2 x 2 将 x2 ,y2 代入 + =1 中,得 =1, B B 16 4 1+4k2 即 4+k2=1+4k2,解得 k=± 1,11 分 故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.12 分

抓关键

促规范

→ → 由OB=2OA知,O,A,B 三点共线是解题的关键. 1
2 考生易求 xA 而不求 x2 ,从而计算量加大,易出错. A 3 由OB=2OA转化为 A,B 两点坐标间的数量关系是常





用的方法.

【方法提练】

解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:

(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭
圆的条件; (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能 力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面 积等问题; (3)平面向量与圆锥曲线的交汇是高考的热点之一,在复习 中要加强训练.

知能演练轻松闯关

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