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北京市东城区普通校2013-2014学年第一学期12月联考试卷高三数(理科)


东城区普通校 2013-2014 学年第一学期联考试卷高三数(理科)
命题校:65 中 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。
2 1. 已知集合 A ? x ? R 0 ? x ? 3 , B ? x ? R x ? 4 ,则 A ? B ? (

2013 年 12 月

?

/>?

?

?

)

(A) x 2 ? x ? 3

?

?

(B) x 2 ? x ? 3

?

?
)

(C) x x ? ?2或2 ? x ? 3

?

?

(D) R

2. 在复平面内,复数 i(i ? 1) 对应的点在( (A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 ) (C)3.5

(D)第四象限

3. 等差数列 {a n } 中, a4 ? 2 ,则 S7 等于( (A)28 (B)14

(D)7 )

4. 已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? ,那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 5. 若向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? (A) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2 ,且 a ? (a + b) ,则 a 与 b 的夹角为(

)

? 2 3? 4

(B)

2? 3 5? 6


(C)

(D)

6. 某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是( (A) 8 (C) 4

8 3 4 (D) 3
(B) )

7. 与直线 x - y - 4 = 0 和圆 x2 + y 2 + 2x - 2 y = 0 都相切的半径最小的圆的方程是 ( (A) ( x + 1)2 + ( y + 1)2 = 2 (C) ( x - 1) + ( y + 1) = 2
2 2

(B) ( x + 1)2 + ( y + 1)2 = 4 (D) ( x - 1) + ( y + 1) = 4 , 则称 f (x) 为 F
2 2

| 8. 已知函数 f (x) 的定义域为 R , 若存在常数 m ? 0 , 对任意 x ? R ,有 | f ( x)| ?m x|
2 函数.给出下列函数:① f ( x) ? x ;② f ( x) ? sin x ? cos x ;③ f ( x ) ?
2

x ;④ f (x) 是定 x ? x ?1

义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 x1 , x 2 均有 序号为 ( (A)①② (C)②④ ) (B)①③

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? x2 .其中是 F 函数的

(D)③④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.命题“ ?x0 ? (0, ), tan x0 ? sin x0 ”的否定是

? 2

.

10.过双曲线

x2 y 2 = 1 的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 9 16

.(一般式)

?x ? y ?1 ? 0, ? 11. 若实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 2 , 则 2x ? y 的最大值为_____. ? x ? 1, ?
12. 设 a ? ( )

1 2

0.5

, b ? 0.3 , c ? log0.3 0.2 ,则 a, b, c 的大小关系是_____.(从小到大用“ ? ”连接)
0.5

13. 曲线 y ? x3 与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的图形的面积为



14. 无穷等差数列 {an } 的各项均为整数,首项为 a1 、公差为 d , S n 是其前 n 项和,3、21、15 是其中的 三项,给出下列命题; ①对任意满足条件的 d ,存在 a1 ,使得 99 一定是数列 {an } 中的一项; ②对任意满足条件的 d ,存在 a1 ,使得 30 一定是数列 {an } 中的一项; ③存在满足条件的数列 {an } ,使得对任意的 n ? N , S 2 n ? 4 S n 成立。
*

其中正确命题为

。 (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? sin(? x ? ?)(? ? 0,| ? | ? ? ) 的图象如图所示. (Ⅰ )求 ?,? 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4

?

y 1

O

? 4

? 2

x

?1

16. (本小题满分 13 分) ?ABC 中的内角 A ,B ,C 所对的边长分别为 a ,b ,c , cos B ? 设 且 (Ⅰ)当 a ?

4 ,b ? 2. 5

5 时,求角 A 的度数; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值. 3

17. (本小题满分 13 分)在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC 和 ?PBC 是边长为 2 的等边三角形, AB ? 2 ,

O 是 AB 中点.
(Ⅰ)在棱 PA 上求一点 M ,使得 OM ∥平面 PBC ; (Ⅱ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (Ⅲ)求二面角 P ? BC ? A 的余弦值.

P

A

O
B

C

18. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 是等差数列, a3 ? 10 , a6 ? 22 ,数列 {bn } 的前 n 项和是 Tn ,且 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅲ)记 cn ? a n ? bn ,求证: cn?1 ? cn .

1 Tn ? b n ? 1 . 3

19. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2a 2 ? x(a ? 0) . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ )讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ )当 a ? (??,0) 时,记函数 f ( x ) 的最小值为 g (a ) ,求证: g (a) ?

1 2 e . 2

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m (| k |?

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 2 2 a b

1 ) 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 2

OAPB,其中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点.求 OP 的取值范围.

东城区普通校 2013-2014 学年第一学期联考答案 高三数学(理科)参考答案
(以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分) 一.选择题 题号 答案 二、填空题 1 B 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 C 8 D

? ?x ? (0, ), tan x ? sin x 2 1 b?a?c 12. 13. 4
9. 三、解答题 15. (本小题满分 13 分) 解: )由图可知 T ? 4( (Ⅰ

10.

4 x - 3 y - 20 = 0

11. 4

14. ①③(答对 1 个给 2 分,有错误答案不给分)

?
2

?

?
4

) ? ? ,? ?

又由 f ( ) ? 1 得, sin(? ? ? ) ? 1 ,又 f (0) ? ?1 ,得 sin ? ? ?1

?

2? ? 2, T

-------------2 分

2

? | ? |? ? ? ? ? ?

?
2



------------4 分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知: f ( x) ? sin( 2 x ? 因为 g ( x) ? (? cos 2 x)[ ? cos(2 x ? 所以, 2k? ?

?
2

) ? ? cos 2 x 1 sin 4 x 2

------------6 分 ------------9 分

?
2

)] ? cos 2 x sin 2 x ?

?
2

2 k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) . 故函数 g ( x) 的单调增区间为 [ 2 8 2 8

? 4 x ? 2 k? ?

?

,即

k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) ----------12 分 2 8 2 8
----------13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos B ?

4 3 ,所以 sin B ? . ---------------2 分 5 5 5 a b 1 ? 因为 a ? , b ? 2 ,由正弦定理 可得 sin A ? . -------------4 分 3 sin A sin B 2
o 因为 a ? b ,所以 A 是锐角,所以 A ? 30 .

---------------6 分 ------------------7 分

(Ⅱ)因为 ?ABC 的面积 S ?

1 3 ac sin B ? ac , 2 10

所以当 ac 最大时, ?ABC 的面积最大.

2 2 因为 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,所以 4 ? a ? c ?

8 ac . 5

-----------------9 分 ----------------11 分 -----------------12 分 ---------------13 分

因为 a 2 ? c 2 ? 2ac ,所以 2ac ?

8 ac ? 4 , 5

所以 ac ? 10 , (当 a ? c ? 10 时等号成立) 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 .

17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)当 M 为棱 PA 中点时, OM ∥平面 PBC . 证明如下: --------------------1 分

? M , O 分别为 PA, AB 中点,
? OM ∥ PB
又 PB ? 平面 PBC , OM ? 平面 PBC --------------------2 分

? OM ∥平面 PBC .
(Ⅱ)连结 OC , OP

--------------------4 分

? AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 ,
?OC ⊥ AB , OC ? 1 .
同理, PO ⊥ AB , PO ? 1 . 又 PC ? 2 , --------------------5 分 --------------------6 分

? PC 2 ? OC 2 ? PO2 ? 2 , ??POC ? 90? .
? PO ⊥ OC .
? PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O ,
--------------------7 分

? PO ⊥平面 ABC .
? PO ? 平面 PAB
? 平面 PAB ⊥平面 ABC .
(Ⅲ)如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz .

--------------------8 分

--------------------9 分

z
P

则 B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) , P(0, 0,1) , ----------10 分

??? ? ??? ? ? BC ? (?1,1,0) , PB ? (1,0, ?1) . ??? ? 由(Ⅱ)知 OP ? (0,0,1) 是平面 ABC
的一个法向量. ----------11 分

A

设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

O
B

C

y

x

??? ? ?n ? BC ? 0 ?? x ? y ? 0 ? 则 ? ??? . ?? ? ?n ? PB ? 0 ? x ? z ? 0 ?
令 z ? 1 ,则 x ? 1, y ? 1 ,

? 平面 PBC 的一个法向量 n ? (1,1,1) .

--------------------12 分

??? ? ??? ? OP ? n 1 3 ? . ? cos ? OP, n ?? ??? ? ? 3 | OP | ? | n | 1? 3
? 二面角 P ? BC ? A 的平面角为锐角, ? 所求二面角 P ? BC ? A 的余弦值为
18.(本小题满分 13 分) 解: (1)由已知 ?

3 . 3

--------------------13 分

?a1 ? 2d ? 10, ?a1 ? 5d ? 22.

----------2 分

解得 a1 ? 2, d ? 4.

----------3 分 -----------4 分

? an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2.
1 bn , ① 3 3 1 令 n =1,得 b1 ? 1 ? b1 . 解得 b1 ? , 4 3 1 当 n ? 2 时, Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 ② 3 1 1 ① -②得 bn ? bn ?1 ? bn , 3 3 1 ? bn ? bn ?1 4
(2)由于 Tn ? 1 ? 又 b1 ?

-----------5 分

--------------------6 分 --------------------7 分

b 1 3 ? 0, ? n ? . 4 bn?1 4

--------------------8 分

3 1 为首项, 为公比的等比数列 4 4 3 (3)由(2)可得 bn ? n . 4
∴数列 {bn } 是以

--------------------9 分 --------------------10 分 --------------------11 分 --------------------12 分 --------------------13 分

c n ? a n ? bn ?

3(4n ? 2) 4n

c n ?1 ? c n ?

3[4(n ? 1) ? 2] 3(4n ? 2) 30 ? 36 n ? ? . 4 n ?1 4n 4 n ?1

? n ? 1 ,故 cn?1 ? cn ? 0.
19. (本小题满分 14 分)

? cn?1 ? cn .

解: (I) f ? x ? 的定义域为 {x | x ? 0} .

--------------------1 分

f ?? x? ?

a 2a 2 ? ? 1? x ? 0 ? . x x2

--------------------2 分

根据题意,有 f ? ?1? ? ?2 ,所以 2a 2 ? a ? 3 ? 0 , --------------------3 分 解得 a ? ?1 或 a ? (II) f ? ? x ? ?

3 . 2

--------------------4 分

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? a)( x ? 2a) ? 2 ?1 ? ? ? x ? 0 ? .-------------5 分 x x x2 x2

(1)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? a ; 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? a . 所以函数 f ( x ) 在 ? a, ??? 上单调递增,在 ? 0, a ? 上单调递减. ----------------7 分 (2)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? ?2a ; 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? ?2a . 所以函数 f ( x ) 在 ? 0, ?2a ? 上单调递减,在 ? ?2a, ??? 上单调递增. (III)由(Ⅱ )知,当 a ? (??,0) 时,函数 f ( x ) 的最小值为 g (a ) , 且 g (a) ? f (?2a) ? a ln(?2a) ? --------9 分

2a 2 ? 2a ? a ln(?2a) ? 3a ?2a
--------10 分

g ?(a ) ? ln(?2a ) ? a ?

?2 ? 3 ? ln(?2a ) ? 2 , ? 2a
1 2 e . 2

令 g ?(a ) ? 0 ,得 a ? ?

当 a 变化时, g? ? a ? , g ? a ? 的变化情况如下表:

a

1 ( ??, ? e 2 ) 2
+ ↑ ----------------12 分

1 ? e2 2
0 极大值

1 (? e 2 , 0) 2
- ↓

g? ? a ?
g ?a?

1 ? e 2 是 g (a) 在 (??, 0) 上的唯一极值点,且是极大值点,从而也是 g (a) 的最大值点. 2

所以 g ? a ?最大值 ? g (?

1 2 1 1 1 e ) ? ? e 2 ln[?2 ? (? e 2 )] ? 3(? e 2 ) 2 2 2 2 1 3 1 ? ? e 2 ln e 2 ? e 2 ? e 2 .----------------13 分 2 2 2 1 2 所以,当 a ? (??,0) 时, g (a) ? e 成立. ----------------14 分 2

20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知可得 e ?
2

a 2 ? b2 1 ? ,所以 3a 2 ? 4b2 2 a 4
1 9 ? 2 ?1 2 a 4b

① --------------1 分

又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a2 ? 4, b2 ? 3 .

3 2

② ------------2 分

故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

------------5 分

(Ⅱ)

由?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4

消 y 化简整理得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ,

? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ③
设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则 ( (

-----------8 分

x0 ? x1 ? x2 ? ?

8km 6m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? . 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 2 x0 y0 ? ? 1. 4 3

-------9 分

由于点 P 在椭圆 C 上,所以

-------10 分

16k 2 m2 12m2 从而 ? ? 1, (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4 k 2 ) 2
2 2 化简得 4m ? 3 ? 4k ,经检验满足③式.

-------11 分

又 | OP |?

2 2 x0 ? y0 ?

64k 2 m2 36m2 ? (3 ? 4k 2 )2 (3 ? 4k 2 )2

?

4m2 (16k 2 ? 9) 16k 2 ? 9 ? (3 ? 4k 2 ) 2 4k 2 ? 3
3 . 4k ? 3
2

? 4?

-------12 分

因为 k ?

1 3 3 ? 1, ,得 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4 ,有 ? 2 2 4 4k ? 3

故 3 ? OP ?

13 . 2
13 ]. 2
-------14 分

即所求 OP 的取值范围是 [ 3,

(Ⅱ)另解:设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) , ( (

? 3x12 ? 4 y12 ? 12 ① 由 A, B 在椭圆上,可得 ? 2 2 ?3x2 ? 4 y2 ? 12 ②
①—②整理得 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ③ 由已知可得 OP ? OA ? OB ,所以 ?

-------6 分

-------7 分

??? ?

??? ??? ? ?

? x1 ? x2 ? x0 ④ ? y1 ? y2 ? y0 ⑤

-------8 分

由已知当 k ?

y1 ? y2 ,即 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ⑥ x1 ? x2

-------9 分

把④⑤⑥代入③整理得 3x0 ? ?4ky0
2 与 3x02 ? 4 y02 ? 12 联立消 x0 整理得 y0 ? 2 由 3x02 ? 4 y02 ? 12 得 x0 ? 4 ? 2 2 2 所以 | OP | ? x0 ? y0 ? 4 ?

-------10 分

9 4k ? 3
2

-------11 分

4 2 y0 , 3
-------12 分

4 2 1 3 y0 ? y0 2 ? 4 ? y0 2 ? 4 ? 2 3 3 4k ? 3 1 3 3 2 ? 1, 因为 k ? ,得 3 ? 4k ? 3 ? 4 ,有 ? 2 2 4 4k ? 3
故 3 ? OP ?

13 . 2 13 ]. 2

-------13 分

所求 OP 的取值范围是 [ 3,

-------14 分


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