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高中数学圆锥曲线经典题型.doc


高中数学圆锥曲线经典题型
椭圆
一、选择题: 1.已知椭圆方程

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ,双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点, 4 3 a b

则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

2.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第 a 2 b2
( )

一象 限内且在 l1 上,若 l2 ⊥PF1, l2 //PF2,则双曲线的离心率是 A. 5 【答案】B B.2 C. 3

D. 2

b b x , l2 : y ? ? x ,因为点 P 在第 a a 1 一象限内且在 l1 上, 所以设 P( x0 , y0 ), x0 ? 0 , 因为 l2 ⊥PF1,2 //PF2, 所以 PF1 ? PF2 , OP ? F1 F2 ? c , 即 l 2 b b 2 2 2 即 x02 ? y02 ? c2 , 又 y0 ? x0 , 代 入 得 x0 ? ( x0 ) ? c , 解 得 x0 ? a, y0 ? b , 即 P ( a, b) 。 所 以 a a b b b ? ? ( ? ) ? ?1 b l2 ⊥ PF1 , 所 以 a ? c a , 因 为 a k PF1 ? , l2 的 斜 率 为 , 即 a?c
【解析】双曲线的左焦点 F1 (?c,0) ,右焦点 F2 (c,0) ,渐近线 l1 : y ?
2 2 b2 ? a(a ? c) ? a ? ac ? c ?2a ,所以 c2 ? ac ? 2a2 ? 0 ,所以 e2 ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? 2 ,所以双曲线

的离心率 e ? 2 ,所以选 B.

x2 y 2 3.已知双曲线 2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3x 的焦 a b
点重合,则该双曲线的离心率等于 A. 2 B. 3 C.2 D.2

3

1

4.抛物线 y ? 4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 A.

7 8

B.

15 16

C.

3 4

D.0

x2 y 2 ? ? 1 的两渐近线围成的三角形的面积为 5.抛物线 y ? ?12 x 的准线与双曲线 9 3
2

A.

3

B. 2 3

C.

2

D. 3 3

【答案】D 【解析】抛物线 y ? ?12 x 的准线为 x ? 3 ,双曲线
2

x2 y 2 3 3 ? ? 1 的两渐近线为 y ? x和y?? x, 9 3 3 3

令 x ? 3 ,分别解得 y1 ? 3, y2 ? ? 3 ,所以三角形的低为 3 ? (? 3) ? 2 3 ,高为 3,所以三角形的 面积为

1 ? 2 3 ? 3 ? 3 3 ,选 D. 2

6.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A, B 两点,它们到直线 x ? ?2 的距离之和等于 5, 则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有 且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在

2

7.已知双曲线 率等于 A.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线离心 2 a b

3 5 5

B.

6 2

C.

3 2

D.

5 5

8. 已 知 椭 圆

x2 y 2 ( ? ? 1(a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 ? c,0), F2 (c,0) , 若 椭 圆 上 存 在 点 P 使 a 2 b2


a c ? ,则该椭圆的离心率的取值范围为( sin ?PF F2 sin ?PF2 F1 1
) A.(0, 2 ? 1
B.(

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

3

9. 过 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的 左 焦 点 F1 作 x 轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 点 P , F2 为 右 焦 点 , 若 a 2 b2


?F1PF2 ? 60? ,则椭圆的离心率为 (
A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

二、填空题: 10.若圆 C 以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为 6,则该圆的标准方程
2





4

11.设 F 是抛物线 C1: y 2 ? 4 x 的焦点,点 A 是抛物线与双曲线 C2: 的一个公共点,且 AF ? x 轴,则双曲线的离心率为 【答案】 5 【解析】抛物线的焦点为 F (1, 0) .双曲线的渐近线为 y ? ?

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的一条渐近线 a 2 b2

b b x ,不妨取 y ? x ,因为 AF ? x ,所以 a a b b xA ? 1 ,所以 yA ? ?2 ,不妨取 A(1, 2) ,又因为点 A(1, 2) 也在 y ? x 上,所以 ? 2 ,即 b ? 2a ,所以 a a

b2 ? 4a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 c 2 ? 5a 2 ,所以 e2 ? 5 ,即 e ? 5 ,所以双曲线的离心率为 5 。

x2 y 2 ? ? 1 ,则双曲线的离心率是 12.已知双曲线的方程为 16 9

.

13.若焦点在 x 轴上的椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m = 2 2 m

.

【答案】

3 2
2 2 2 2 2

【解析】因为焦点在 x 轴上。所以 0 ? m ? 2 ,所以 a ? 2, b ? m, c ? a ? b ? 2 ? m 。椭圆的离心率为

e?

1 3 1 c2 2 ? m 2 ,所以 e ? ? 2 ? ,解得 m ? 。 2 2 4 a 2
2

14.已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 的坐标是(4,a) ,则当 | a |? 4 时, | PA | ? | PM | 的最小值是 。

5

三、解答题: 15. (本小题满分 13 分)

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 ? 0,1? ,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l a 2 b2

与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q 、 P ,与椭圆分别交于点 M 、 N ,各点均不重合且满足

???? ? ???? ??? ? ? ???? PM ? ?1 MQ, PN ? ?2 NQ
(1)求椭圆的标准方程; (2)若 ?1 ? ?2 ? ?3 ,试证明:直线 l 过定点并求此定点.

6

(2) 由题意设 P(0, m), Q( x0 ,0), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,设 l 方程为 x ? t ( y ? m) , 由 PM ? ?1 MQ 知 ( x1 , y1 ? m) ? ?1 ( x0 ? x1 ,? y1 ) ∴ y1 ? m ? ? y1?1 ,由题意 ?1 ? 0 ,∴ ?1 ? 分 同理由 PN ? ?2 NQ 知 ?2 ?

m ?1 y1

-----------------7

??? ?

????

m ?1 y2
(*) ------8 分

∵ ?1 ? ?2 ? ?3 ,∴ y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 0 联立 ?

?x 2 ? 3 y 2 ? 3 得 (t 2 ? 3) y 2 ? 2mt2 y ? t 2 m 2 ? 3 ? 0 ? x ? t ( y ? m)
(**)

∴需 ? ? 4m 2 t 4 ? 4(t 2 ? 3)(t 2 m 2 ? 3) ? 0 且有 y1 ? y 2 ?

2 m t2 t 2m2 ? 3 , y1 y 2 ? 2 t2 ? 3 t ?3

(***)-------10 分

(***)代入(*)得 t 2 m 2 ? 3 ? m ? 2mt2 ? 0 ,∴ (mt) 2 ? 1 , 由题意 mt ? 0 ,∴ mt ? ?1 (满足(**)), 得 l 方程为 x ? ty ? 1 ,过定点(1,0),即 P 为定点. 16.(本大题满分 13 分) 已知椭圆 C : ---------------13 分 ----12 分

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 2 2 a b

x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)求 OA? OB 的取值范围; (3)若 B 点在于 x 轴的对称点是 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点。

(2)解:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4)
7

? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 4 分 y2 ? ?1 ? 4 3 ?
由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?
1 4

32k 2 64k 2 ? 12 , 1 x2 ? x 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



6分

∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2

17. 若椭圆 E1 :

a b x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 和椭圆 E2 : 2 ? 2 ? 1 满足 2 ? 2 ? m(m ? 0) , 则称这两个椭圆相似, 2 a1 b1 a1 b1 a2 b2

m 是相似比.
(Ⅰ)求过( 2, 6) 且与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 相似的椭圆的方程; 4 2

(Ⅱ)设过原点的一条射线 l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于 A 、 B 点(点 A 在线段 OB 上). ①若 P 是线段 AB 上的一点,若 OA , OP , OB 成等比数列,求 P 点的轨迹方程; ②求 OA ?OB 的最大值和最小值.

8

(Ⅱ) 线 l 的斜率不存在时 A(0, ? 2), B(0, ?2 2) ,
2 设点 P 坐标 P(0, y0 ) ,则 y0 ? 4 , y0 ? ?2 .即 P(0, ?2 ).

① 当射

………………5 分

当射线 l 的斜率存在时,设其方程 y ? kx ,P( x, y ) 由 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则

? y1 ? kx1 ? 2 ? x1 y12 ?1 ? ? ?4 2

4 ? 2 ? x1 ? 1 ? 2k 2 ? 得? 2 ? y 2 ? 4k ? 1 1 ? 2k 2 ?
同理 | OB |?

? OA |? |

2 1? k 2 1 ? 2k 2

4 1? k 2 1 ? 2k 2
2

………………………7 分

y2 ) 2 2 8(1 ? k ) y 2 2 x 2 ? 8( x ? y ) , 又点 P 在 l 上,则 k ? ,且由 x ? y ? ? x y2 1 ? 2k 2 x2 ? 2 y 2 1? 2 2 x 8(1 ?
即所求方程是

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

又? (0, ?2 )适合方程, 故所求椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

………………9 分

② 由 ① 可 知 , 当 l 的 斜 率 不 存 在 时 , | OA |? OB |? 2 ? 2 ? 4 , 当 l 的 斜 率 存 在 | 2

| 时, | OA |? OB |?

8(1 ? k 2 ) 4 ? 4? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
9

? 4 ?| OA |? OB |? 8 , |
综上, | OA |? OB | 的最大值是 8,最小值是 4. |

………………11 分 ………………12 分

18.(本小题满分 12 分)已知长方形 ABCD, AB ? 2 2 ,BC=1。以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平 面直角坐标系 xoy. (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得弦 MN 为直径的圆恰好 过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2(k ? 0) . 设 M,N 两点的坐标分别为 ( x1, y1 ), ( x2 , y2 ) . 联立方程: ?

? y ? kx ? 2
2 2 ?x ? 2 y ? 4

消去 y 整理得, (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 4 ? 0 有 x1 ? x2 ? ?

8k 4 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

………………7 分

10

若以 MN 为直径的圆恰好过原点,则 OM ? ON ,所以 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,…………8 分 所以, x1x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? 0 , 即 1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ( 所以,

4(1 ? k 2 ) 16k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
……………………9 分



8 ? 4k 2 ?0, 1 ? 2k 2

得 k 2 ? 2, k ? ? 2 .

……………………10 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 ,或 y ? ? 2 x ? 2 .………………11 分 所在存在过 P(0,2)的直线 l : y ? ? 2 x ? 2 使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点。 …12 分 19.(本小题满分 12 分)

如图,直线 l :y=x+b 与抛物线 C :x =4y 相切于点 A。 (1) 求实数 b 的值; (11) 求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【解析】 (I)由 ?

2

?y ? x ?b ?x ? 4 y
2

2 得 x ? 4 x ? 4b ? 0

(? )

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4) ? 4 ? (?4b) ? 0 ,解得 b ? ?1 ………………4 分
2

11

双曲线
题组一 双曲线的定义及标准方程

1.(2010· 汕头一模)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的 距离为 2,则双曲线方程为 A.x2-y2=1 C.x2-y2= 2 B.x2-y2=2 1 D.x2-y2= 2 ( )

x2 y2 解析:由题意,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0), a a | 2a| 则 c= 2a,渐近线 y=x,∴ = 2,∴a2=2. 2 ∴双曲线方程为 x2-y2=2. 答案:B 2. 已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10, F2( 10, M 是此双曲线上的一点, 0)、 0), 且 满足 MF1 · 2 MF =0,| MF1 |·MF2 |=2,则该双曲线的方程是 | x2 A. -y2=1 9 x2 y2 C. - =1 3 7 y2 B.x2- =1 9 x2 y2 D. - =1 7 3

???? ????? ?

???? ?

?????

(

)

???? ????? ? ???? ????? ? MF1 · 2 =0,∴MF1 ⊥MF2 ,∴MF1⊥MF2, MF 解析:∵
∴ |MF1|2+|MF2|2=40, ∴ (|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|· |MF2|+|MF2|2=40-2× 2=36, ∴ ||MF1|-|MF2||=6=2a,a=3, 又 c= 10,∴ b2=c2-a2=1, x2 ∴ 双曲线方程为 -y2=1. 9 答案:A 题组二
2 2

双曲线的几何性质 ( D.1 )

x y 3.(2009· 宁夏、海南高考)双曲线 - =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12 A.2 3 B.2 C. 3

x2 y2 解析:双曲线 - =1 的焦点为(4,0)或(-4,0).渐近线方程为 y= 3x 或 y=- 3x.由双曲线的对 4 12 |4 3+0| 称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d= =2 3. 3+1 答案:A
12

x2 y2 4.(2010· 普宁模拟)已知离心率为 e 的曲线 2- =1,其右焦点与抛物线 y2=16x 的焦点重合,则 e 的 a 7 值为 3 A. 4 4 23 B. 23 4 C. 3 ( ) D. 23 4

解析:抛物线焦点坐标为(4,0),则 a2+7=16, c 4 ∴ a2=9,∴ e= = . a 3 答案:C x2 y2 5.(2009· 江西高考)设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1,F2,P(0,2b)是正三 a b 角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 3 A. 2 B.2 5 C. 2 D.3 ( )

|PO| 解析: =tan60° , |F1O| 2b c2 = 3? 4b2=3c2? 4(c2-a2)=3c2? c2=4a2? =4? e=2. c a2 答案:B x2 y2 6.(2010· 广州模拟)已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F a b 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的 取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,2) ( ) D.(2,1+ 2)

C.(1,1+ 2)

解析:如图,要使△ABE 为锐角三角形,只需∠ AEB 为锐角,由双曲线对称性知△ABE 为等腰三角 形,从而只需满足∠ AEF<45° . 又当 x=-c 时,y= ∴ tan∠ AEF= b2 , a

|AF| b2 = <1, |EF| a(a+c)

∴ e2-e-2<0, 又 e>1,∴ 1<e<2. 答案:B 题组三 直线与双曲线的位置关系 ( )

x2 y2 7.(2010· 西安调研)过点 P(4,4)且与双曲线 - =1 只有一个交点的直线有 16 9 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

解析:如图所示,满足条件的直线共有 3 条.

13

答案:C x2 y2 8.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲 9 16 线交于点 B,则△AFB 的面积为________. 4 解析:由题意知,A(3,0),F(5,0),渐近线斜率 k=± , 3 4 则直线方程为 y= (x-5), 3 x2 y2 17 代入 - =1,得 x= , 9 16 5 ∴ y=- 32 17 32 ,即 B( ,- ), 15 5 15

1 32 32 ∴ S△AFB= × 2× = . 2 15 15 32 答案: 15 题组四
2

双曲线的综合问题

y 9.(2010· 德州模拟)P 为双曲线 x2- =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和(x-4)2+y2=1 15 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 解析: 双曲线的两个焦点为 F1(-4,0)、 F2(4,0), 为两个圆的圆心, 半径分别为 r1=2, r2=1, |PM|max =|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5. 答案:5 10.(1)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1),若此圆过点 P 的切线 与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程; (2)已知双曲线的离心率 e= 5 x2 y2 ,且与椭圆 + =1 有共同的焦点,求该双曲线的 方程. 2 13 3

解:(1)切点为 P(3,-1)的圆 x2+y2=10 的切线方程是 3x-y=10. ∵ 双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴ 两渐近线方程为 3x± y=0. 设所求双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0). ∵ P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得 λ=80, 点 x2 y2 ∴ 所求的双曲线方程为 - =1. 80 80 9 (2)在椭圆中,焦点坐标为(± 10,0),

14

c 10 5 ∴ c= 10,又 e= = = ,∴ a2=8,b2=2. a a 2 x2 y2 ∴ 双曲线方程为 - =1. 8 2 x2 11.已知双曲线 C: -y2=1,P 是 C 上的任意点. 4 (1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点 A 的坐标为(3,0),求|PA|的最小值. 解:(1)证明:设 P(x1,y1)是双曲线上任意一点, 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x-2y=0 和 x+2y=0, |x1-2y1| |x1+2y1| 点 P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是 和 . 5 5
2 2 x1 ? 4 y1

|x1-2y1| |x1+2y1| 它们的乘积是 · = 5 5

5

4 = . 5

∴ P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. 点 (2)设 P 的坐标为(x,y),则 x2 |PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+ -1 4 5 12 4 = (x- )2+ . 4 5 5 12 4 ∵ |x|≥2,∴ x= 时,|PA|2 的最小值为 , 当 5 5 2 5 即|PA|的最小值为 . 5 x2 2 12.(文)已知椭圆 C1 的方程为 +y =1,双曲线 C2 的左、 右焦点分别是 C1 的左、右顶点, C2 的左、 而 4 右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程;

OB (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA · >2(其中 O 为原点),
求 k 的取值范围. x2 y2 解:(1)设双曲线 C2 的方程为 - =1, a2 b2 则 a2=4-1=3,c2=4, 由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 故 C2 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1,得 3
15

??? ??? ? ?

(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得

?1-3k2≠0, ? ?Δ=(-6 2k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)>0,
1 ∴ k2≠ 且 k2<1. 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 -9 6 2k x 1+x2= ,x1x2= . 1-3k2 1-3k2 ∴ x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) 3k2+7 =(k2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= . 3k2-1 ①

??? ??? ? ? OB 又∵OA · >2,得 x1x2+y1y2>2,
3k2+7 ∴ >2, 3k2-1 即 -3k2+9 1 >0,解得 <k2<3, 3 3k2-1 ②

1 由① 得 <k2<1, ② 3 故 k 的取值范围为(-1,- 3 3 )∪ ,1). ( 3 3

(理)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的垂直平分线过 点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围. x2 y2 解:(1)设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0). a2 b2 由已知得 a= 3,c=2. 又 a2+b2=c2,得 b2=1. x2 故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3

?y=kx+m ? (2)联立?x2 整理得 ? 3 -y2=1 ?
(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. ∵ 直线与双曲线有两个不同的交点,
? ?1-3k2≠0 ? ∴ , ? ?Δ=12(m2+1-3k2)>0 16

1 可得 m2>3k2-1 且 k2≠ . 3 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0). x1+x2 6km 3km 则 x1+x2= ,x0= = , 2 1-3k2 1-3k2 m y 0=kx0+m= . 1-3k2 由题意,AB⊥ MN, m +1 1-3k2 1 ∵ kAB= =- (k≠0,m≠0). 3km k 1-3k2 整理得 3k2=4m+1. 将② 代入① ,得 m2-4m>0,∴ m<0 或 m>4. 1 又 3k2=4m+1>0(k≠0),即 m>- . 4 1 ∴ 的取值范围是(- ,0)∪ m (4,+∞). 4





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