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天津市天津一中11-12学年高一上学期期中考试 数学试题


天津一中 2011—2012 高一年级第一学期数学期中考试试卷

一.选择题: 1.设集合 A ? ? x | ?3 ? x ? 3? , B ? y | y ? 2 ,1 ? x ? 2 ,则 ? CR A ? ? ? CR B ? ? (
x

?

?



A. ? 2,3 ? C. ? ??, 2 ? ? ?3, ?? ?

B. ? ??, 2 ? ? ? 3, ?? ? D. ? ??, 2 ? ? ? 4, ?? ? ( ) C. ,1] (
3 4

2.函数 y ? log 1 ?4 x ? 3? 的定义域为
2

A. ? ?, ) (

3 4

B. ? ?,1 ] (

D. 3 ,1) (
4

3.设 f ( x) ? lg(10 x ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x) ?
1 C.- 2

4x ? b 是奇函数,那么 a+b 的值为( 2x
1 D. 2



A. 1

B.-1

4. lg x ? lg y ? 2 lg( x ? 2 y) ,则 log 2 x 的值的集合是( y A. {1} B. {2} C. {1,0}



D. {2,0} )

5.已知函数 y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( A. (0,1) 6.函数 y ? B. (0,2) C. (1,2) ). D.[2,+ ? )

e x ? e? x 的图像大致为 ( e x ? e? x
y

y 1 O 1 1 x

y

y

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C )

7.已知函数 f(x)=log3x+2 (x∈[1,9]),则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值是(

A.13

B.16
1

C.18

D.22 )

8. f ( x) ? a x , ( x) ? x 3 , ( x) ? log a x , 设 实数a满足 log a (1 ? a 2 ) >0, 那么当x>1时必有 ( h g A. h(x ) < g (x) < f (x) C. f (x) < g (x) < h(x) B. h(x ) < f (x) < g (x) D. f (x) < h(x) < g (x)

9.已知函数 f (x) 是 R 上的增函数, A(0, ?2) , B(3, 2) 是其图象上的两点,那么 | f ( x ? 1) |? 2 的解集是( A. (1,4) C. (??,1) ? [4,??) ) B. (-1,2) D. (??,?1) ? [2,??)

? 1 x ( ) ? 3( x ? 0) 10.设函数 f ( x) ? ? 2 , 已知 f (a) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( ? 1 ? 2 ? x ( x ? 0)
A. (?2,1) C. (1, ??) B. (??, ?2) ? (1, ??) D. (??, ?1) ? (0, ??)



二.填空题: 11.已知幂函数 y ? f (x) 的图象过点 (2, 2 ), 则f (9) ?
? x 12.设函数 g ( x) ? ?e ( x ? 0) ,则 g ( g ( 1 )) ? __________ 2 ?ln x( x ? 0)



13.定义运算法则如下:

a ? b ? a ? b , a ? b ? lg a ? lg b , M ? 2 ?
2

1 2

?

1 3

1 2

1 4

8 1 , N ? 2 ? , 则 M+N= 125 25

. .

14.已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) 的值域是[1,log 214],那么函数 f(x)的定义域是
2

15. min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值, 设 f ( x) =min{ 2 , x ? 2 , 10 ? x } ( x ? 0 ), 用
x

则 f ( x) 的最大值为 _______ . 16. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) , x>0 时 f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 , 当 那么 x<0 时 f (x) = 三.解答题: 17.已知 x ? [ ? 3,2 ],求函数 f (x) = 1 ? 1 ? 1的最大值不最小值. 4x 2x .

18.已知函数 f ( x) ? log a 1 ? kx (a ? 1) 是奇函数 x ?1 (1)求 k 的值,并求出该函数的定义域; (2)根据(1)的结果,判断 f (x) 在 (1 , ? ?) 上的单调性,并给出证明.

19.已知:函数 f ( x) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( y) ? x( x ? 2 y ? 1) 成立,且 f (1) ? 0 . (1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x) 的解析式。

(3)已知 a ? R ,设 P:当 0 ? x ? 1 时,丌等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立;Q:当 x ?[?2,2] 时, 2

g ( x) ? f ( x) ? ax 是单调函数。如果满足使 P 成立的 a 的集合记为 A ,满足使 Q 成立的 a 的集
合记为 B ,求 A ∩ C R B ( R 为全集) 。

20.已知 a >0 且 a ≠1. f ?log a x ? ? (1)求 f (x) 的解析式; (2)判断 f (x) 的奇偶性不单调性;

a x ? x ?1 a ?1
2

?

?

(3)对于 f (x) ,当 x ? (?1,1)时, f ?1 ? m? ? f ?1 ? 2m? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

参考答案: 一、选择题: 1.C 6.A 2.C 7.A 3.D 8.B 4.B 9.B 5.C 10.B

二、填空题: 11.3 12.

1 2

13.5 14.[-4,-2] ? [2,4] 15.6 16.-x2-|x|+1 三、解答题: 17. 分)解: (8

f ( x) ? (

1 2 1 ) ? x ?1 2x 2

1 1 令U=( )x ? x ? [?3, 2] ?U ? [ , 8] 2 4 2 ? f (U ) ? U ? U ? 1 1 3 ? (U ? ) 2 ? 2 4 ? f ( x) max ? 57 f ( x) min ? 3 4

18. 分)解: (8

(1)? f (? x) ? ? f ( x)

1 ? kx 1 ? kx ? ? log a ?x ?1 x ?1 1 ? kx x ?1 ? log a ? log a ?x ?1 1 ? kx ? log a

1 ? kx x ?1 ? ? x ? 1 1 ? kx ?1 ? k 2 x 2 ? 1 ? x 2 ? ? k 2 ? 1 ? k ? 1或k ? ?1 ???? (2 ') (舍) ? f ( x) ? log 1? x x ?1 定义域:{x|x<-1或x>1} ???? (2 ') x ?1 (2)? f ( x) ? log a (a ? 1) x ?1 任取1 ? x1 ? x2
x1 ? 1 x ?1 ? log a 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a ? log a

?1 ? x1 ? x2

? ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ? 0, ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0

? ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? x2 ? x1 ? 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2( x2 ? x1 ) ? 0 ? ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ? 1 又a ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ???? (2 ') ???? (2 ')

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x)在(1, ? ?)上 ?

19. (10 分)解: (1)令 x=1,y=0 ∴f(1)-f(0)=2 ∴f(0)=f(1)-2=-2 ………………3 分 ∴f(x)=x2+x-2 ………………3 分

(2)令 y=0 ∴f(x)-f(0)=x·(x+1)

(3)由 P:∵f(x)+3<2x+a 恒成立 ∴x2+x+1<2x+a ∴a>x2-x+1 对 ?x ? (0, ) 恒成立

1 3 ( x ? )2 ? ? a ? 1 ? A ? {a | a ? 1} 2 4
由 Q:∵g(x)=x2+(1-a)x-2

||

1 2

?

a ?1 a ?1 ? 2或 ? ?2 2 2

B={a|a≥5 或 a≤-3}

? A ? CR B ? [1, 5]
20. (10 分)解: (1)令 logax=t 则 x=at

………………4 分

a (a t ? a ?t ) a ?1 a ? f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ) a ?1 ? f (t ) ?
2

???? 3分

(2)? f (? x) ? ① 当a ? 1时

a (a ? x ? a x ) ? ? f ( x) a ?1
2

? f ( x)为奇函数

a x ? , a? x ?

??a ? x ?

? a x ? a? x ? ? f ( x)在R上 ?
② 当0<a ? 1时



a ?0 a ?1
2

a x ? , a? x ?

??a ? x ?

? a x ? a? x ? ? f ( x)在R上 ?



a ?0 a ?1
2

???? 3分

(3)∵f(1-m)+f(1-2m)<0

∴f(1-m)<-f(1-2m) ∵又 f(x)为奇函数 ∴f(1-m)<f(2m-1) ∵又 f(x)在(-1,1)上 ?

?1 ? m ? 2m ? 1 2 ? ? ? ?1 ? 1 ? m ? 1 ? ? m ? 1 3 ? ?1 ? 2 m ? 1 ? 1 ?


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