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导数-不等式练习2012.6.18


导数函数方程与不等式
1. (2011 江西理 4)若 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4ln x ,则 f ' ( x) ? 0 的解集为 ( ) A. (0, ? ? ) B. (-1,0) ? (2, ? ? ) C. (2, ? ? ) D. (-1,0)

2013.6

2. (2011 辽宁理 10)函数 f ( x ) 的定义域为 R, f (?1) ? 2 ,对任意 x∈R, f ?( x ) >2,则 f ( x ) >2x+4 的 解集为( ) (A) (-1,1) (B) (-1,+ ? ) (C) ? ,-1) (D) ? ,+ ? ) (()

3. (2012 辽宁理 12)若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒成立的是( (A) e ? 1 ? x ? x
x 2

(B)

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x

1 (C) cos x… ?

1 2 x 2

x (D) ln(1 ? x )… ?

1 2 x 8

4. (08江苏理)设函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ?1( x ? R) ,若对于任意的 x ?

?? 1,1?都有 f ( x) ? 0成立,则实数

a 的值为

.
x

5. (10 西城二模)已知函数 f ( x) ? e ? a ln x 的定义域是 D ,关于函数 f ( x ) 给出下列命题: ①对于任意 a ? (0, ??) ,函数 f ( x ) 是 D 上的减函数; ②对于任意 a ? (??,0) ,函数 f ( x ) 存在最小值; ③存在 a ? (0, ??) ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f ( x) ? 0 成立; ④存在 a ? (??,0) ,使得函数 f ( x ) 有两个零点. 其中正确命题的序号是
3 2

y

. (写出所有正确命题的序号)
o x

6. 如图为函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象, f '( x) 为函数 f ( x ) 的导函数, 则不等式 x ? f '( x) ? 0 的解集为 . 7.(2013 北京文 18) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x 。 (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值。 (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。

- 3

3

8. 已知 f ( x) ? x ln x ? ax , g ( x) ? ? x 2 ? 2 . (Ⅰ)对一切 x ? (0,??), f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? ?1时, 求函数 f ( x)在[m, m ? 3] ( m ? 0 )上的最小值.

9. 设函数 f ( x ) ? cos(

?
3

? 2 x) ? 2 x ( x ? R) .

(1) 判断函数 f (x ) 的单调性; 2) ( 对于函数 f (x ) , x1 ? x2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( ? x1 ) ? f ( ? x2 ) . 若 则 写出该命题的逆命题,判断这个逆命题的真假性,并加以证明.
1

10. (2011 浙江文 21)设函数 f ( x) ? a2 ln x ? x2 ? ax, a ? 0 . (I)求 f ( x) 的单调区间; (II)求所有实数 a ,使 e ?1 ? f ( x) ? e2 对 x ? ?1, e? 恒成立. 注:e 为自然对数的底数.

11. (2011 海淀一模理)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间;

1? a , (a ? R). x

(Ⅲ)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.

12. 设函数 f ( x) ? 函数 g ( x) ? k ( x) ?

1 3 1 2 ax ? bx ? cx(a, b, c ? R, a ? 0) 的图象在点 ? x, f ( x) ? 处的切线的斜率为 k ( x) ,且 3 2 1 x 为偶函数.若函数 k ( x) 满足下列条件:① k (?1) ? 0 ;②对一切实数 x ,不等式 2

k ( x) ?

1 2 1 x ? 恒成立. 2 2

(Ⅰ)求函数 k ( x) 的表达式; (Ⅱ)求证:

1 1 1 2n ? ??? ? (n ?N? ) . k (1) k (2) k ( n) n ? 2
2x ,证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; x?2

13. (2011 全国理 22)(I)设函数 f ( x ) ? ln(1 ? x) ?

(II)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式 连续抽取 20 次,设抽得 的 20 个号码互不相同的概率为 p .证 明: p ? (

9 19 1 ) ? 2. 10 e

14. (2012 丰台二模 20)设函数 f ( x) ? x ln x ? (a ? x) ln(a ? x) (a ? 0) . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)证明:对 ? x1,x2∈R+,都有 x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? ( x1 ? x2 ) ?ln( x1 ? x2 ) ? ln 2? ; (Ⅲ)若

?x
i ?1

2n

i

? 1 ,证明: ? xi ln xi ? ? ln 2n
i ?1

2n

. (i ,n?N* )

2


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