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2016届高考数学—热点难点突破-不拉分系列之(十四)解答立体几何中探索性问题


立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直 关系的探究,对条件和结论不完备的开放性问题 的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设 问,假设其存在并探索出结论,然后在这个假设 下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定 假设,若得到矛盾就否定假设.

[ 典例 ]

( 理 )(2012· 福建高考改编 ) 如图,在长方体 ABCD -

A1B1C1D1 中,AA1=AD=1,E 为 CD 中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存 在,求 AP 的长;若不存在,说明理由.

[解] 如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E, F,G 分别是棱 AP, AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等? 说明理由. [解] (1)证明:因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)证明:因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG,

DG∥AB∥EF. 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG. 所以四边形 DEFG 为矩形. (3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点. 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG. 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG, 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 1 中点 Q,且 QM=QN= EG, 2 所以 Q 为满足条件的点. [题后悟道] 此类问题一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,一般 点的情形很少,然后给出符合要求的证明,注意书写格式要规范,一般有两种格式: 第一种书写格式:探求出点的位置→证明→符合要求→写出明确答案; 第二种书写格式:从结论出发“要使什么成立”,“只需使什么成立”,寻求使结论成 立的充分条件,类似于分析法. MN. 的

针对训练 (2012· 黄山模拟)如图, 在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, ∠ ABC=60° ,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ ED=2∶1, 在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC?证明你 的结论. 证明: 存在. 证明如下: 取棱 PC 的中点 F, 线段 PE 的中点 M, 连接 BD. 设 BD∩AC=O. 连接 BF,MF,BM,OE. ∵PE∶ED=2∶1,F 为 PC 的中点,M 是 PE 的中点,E 是 MD 的中点, ∴MF∥EC,BM∥OE. ∵MF?平面 AEC,CE?平面 AEC,BM?平面 AEC,OE?平面 AEC,

∴MF∥平面 AEC,BM∥平面 AEC. ∵MF∩BM=M, ∴平面 BMF∥平面 AEC. 又 BF?平面 BMF, ∴BF∥平面 AEC.


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