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数学课件——反证法


2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反 证 法 复习 1.直接证明的两种基本证法: 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点: 综合法 已知条件 分析法 结论 ????? 结论 由因导果 ????? 已知条件 执果索因 3、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用分析法寻求思路,再由综合法书写过程 思考? (1)如果有5只鸽子飞进两只鸽笼,至少有3只 鸽子在同一只鸽笼,对吗? (2)A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗?为什么? 分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 则C必定是在撒谎. 理论 把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明 注:反证法是最常见的间接证法, 同一法也是一种间接证法. 一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件 下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾。 这样的 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立, 证明方法叫做反证法。 ?反证法的证明过程: 否定结论——推出矛盾——肯定结论, 即分三个步骤:反设—归谬—存真 反设——假设命题的结论不成立; 归谬——从假设出发,经过一系列正确的推理, ````````得出矛盾; 存真——由矛盾结果,断定反设不成立,从而 肯定原结论成立。 用反证法证明命题的过程用框图表示为: 肯定条件 否定结论 导 致 反设 不成立 结论 成立 逻辑矛盾 例题 例1:已知:一个整数的平方能被2整除, 求证:这个数是偶数。 证明:假设a不是偶数, 则a是奇数,不妨设a=2n+1(n是整数) ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1 ∴a2是奇数,与已知矛盾。 ∴假设不成立,所以a是偶数。 注:直接证明难以下手的命题,改变其思维方向, 从进行反面思考,问题可能解决得十分干脆。 例2: 2, 3, 5 不可能成等差数列 解题反思: ?证明本题时,你是怎么想到反证法的? ?反证法中归谬是核心步骤,本题中得到的逻辑矛盾是什么? 注:否定型命题(命题的结论是“不可能……”, “不能表示为……”,“不是……”,“不存 在……” ,“不等于……”,“不具有某种性质” 等) 常用反证法 练习: 证明:在?ABC中,若?C是直角,则?B一定是锐角。 例3 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 证:由于a ≠0,因此方程至少有一个根x=b/a, ```如果方程不只一个根,不妨设x1,x2 (x1 ≠x2 )是 方程的两个根. 则ax1 = b,ax2 = b ∴ax1 = ax2 ∴ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2) =0 ∵a ≠ 0 ∴ x1 - x2 ? 0,即x1 = x2 与x1 ? x2矛盾 故假设不成立,结论成立。 注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法 例4:已知x>0,y>0,x+y>2, 1? x 1? y 求证: 中至少有一个小于2。 , y x 分析:所谓至少有一个,就是不可能没有,要证 “至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不 成立即可. 注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法 归纳总结: 一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件 下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾。 这样的 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立, 证明方法叫做反证法。 三个步骤:反设—归谬

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