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2016年江苏省无锡市江阴市南菁高中高考数学一模试卷



(6)2016 年江苏省无锡市江阴市南菁高中高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卷相应的位 置上. 1. (5 分) (2005?北京) 若 zl=a+2i, z2=3﹣4i, 且 为纯虚数, 则实数 a 的值为 .

2. (5 分) (2016?江阴市一模)在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 则 = .
2



3. (5 分) (2016?江阴市一模)已知命题 p:x ﹣x≥6,q:x∈Z,则使得“p 且 q”与“非 q”同时 为假命题的所有 x 组成的集合 M= . 4. (5 分) (2016?江阴市一模)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象如图所示, 则 f (1)+f (2)+f (3)+…f (2015)= .

5. (5 分) (2012?南京二模)某单位从 4 名应聘者 A,B,C,D 中招聘 2 人,如果这 4 名应 聘者被录用的机会均等,则 A,B 两人中至少有 1 人被录用的概率是 . 6. (5 分) (2016?江阴市一模)某市高三数学抽样考试中,对 90 分及其以上的成绩情况进 行统计,其频率分布直方图如图所示,若(130,140]分数段的人数为 90 人,则(90,100] 分数段的人数为 .

7. (5 分) (2013?江苏一模)已知 l、m 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,有下 列 4 个命题: ①若 l?β,且 α⊥β,则 l⊥α; ②若 l⊥β,且 α∥β,则 l⊥α; ③若 l⊥β,且 α⊥β,则 l∥α; ④若 α∩β=m,且 l∥m,则 l∥α. 其中真命题的序号是 . (填上你认为正确的所有命题的序号)
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8. (5 分) (2016?江阴市一模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和.若

,则

=



9. (5 分) (2014?四川)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y ﹣m+3=0 交于点 P(x,y) .则|PA|?|PB|的最大值是 . 10. (5 分) (2012?南京二模)在如图所示的流程图中,若输入 n 的值为 11,则输出 A 的值 为 .

11. (5 分) (2016?江阴市一模)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 lna1+lna2+…+lna20= . 12. (5 分) (2014?安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +
2

5

=1(0<b<1)的左、右焦点,过

点 F1 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程 为 . 13. (5 分) (2016?江阴市一模)函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1 <x2 时,都有 f(x1)≤f(x2) ,则称函数 f(x)在 D 上为非减函数.设函数 f(x)在[0,1] 上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;② =1﹣f(x) .则 = .
2

;③f(1﹣x)

14. (5 分) (2012?浙江校级模拟)设函数 f(x)=x ﹣ax+a+3,g(x)=ax﹣2a.若存在 x0∈R, 使得 f(x0)<0 与 g(x0)<0 同时成立,则实数 a 的取值范围是 . 二、解答题: 15. (14 分) (2016?江阴市一模)设函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的图象相 邻两条对称轴之间的距离为 (1)求 f(x)的解析式; (2)若 α 为锐角,f( + )= ,求 sin2α 的值.
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,函数 y=f(x+

)为偶函数.

16. (14 分) (2014?启东市模拟)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°, AA1=AC=BC=1,A1B= . (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 的中点,求证:BC1∥平面 A1CD.

17. (14 分) (2012?无锡模拟)某工厂接到一标识制作订单,标识如图所示,分为两部分, “T 型”部分为宽为 10cm 的两个矩形相接而成, 圆面部分的圆周是 A, C, D, F 的外接圆. 要 2 求如下:①“T 型”部分的面积不得小于 800cm ;②两矩形的长均大于外接圆半径.为了节 约成本,设计时应尽量减小圆面的面积.此工厂的设计师,凭直觉认为当“T 型”部分的面积 取 800cm 且两矩形的长相等时,成本是最低的.你同意他的观点吗?试通过计算,说说你 的理由.
2

18. (16 分) (2014?北京)已知椭圆 C:x +2y =4, (1)求椭圆 C 的离心率 (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,求直线 AB 与 2 2 圆 x +y =2 的位置关系,并证明你的结论. 2 x 19. (16 分) (2014?淮安模拟)已知函数 f(x)=(x﹣a) e 在 x=2 时取得极小值. (1)求实数 a 的值; 4 4 (2)是否存在区间[m,n],使得 f(x)在该区间上的值域为[e m,e n]?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由. 20. (16 分) (2015?江苏模拟)已知数列{an}中,a2=a(a 为非零常数) ,其前 n 项和 Sn 满足: Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a=2,且 am ﹣Sn=11,求 m、n 的值; (3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 an+b≤p 的最大项恰为第 3p ﹣2 项?若存在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由.
2

2

2

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(6)2016 年江苏省无锡市江阴市南菁高中高考数学一模试 卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卷相应的位 置上. 1. (5 分) (2005?北京)若 zl=a+2i,z2=3﹣4i,且 为纯虚数,则实数 a 的值为 .

【解答】解:

=

它是纯虚数,所以 3a﹣8=0,且 4a+6≠0,解得 a= 故答案为:

2. (5 分) (2016?江阴市一模)在边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 则 = 2 . ,



【解答】解:∵边长为 1 的正方形 ABCD 中,设 ∴| |=1,| |= ∴ 故答案为 2. , + = . = =|﹣2 |=2| |=2,

3. (5 分) (2016?江阴市一模)已知命题 p:x ﹣x≥6,q:x∈Z,则使得“p 且 q”与“非 q”同时 为假命题的所有 x 组成的集合 M= {﹣1,0,1,2} . 2 【解答】解:由命题 p:x ﹣x≥6,得到命题 P:x≥3 或 x≤﹣2; ∵?q 为假命题,∴命题 q:x∈Z 为真翕题. 再由“p 且 q”为假命题,知命题 P:x≥3 或 x≤﹣2 是假命题. 故﹣2<x<3 且 x∈Z. ∴满足条件的 x 的集合为{﹣1,0,1,2}. 故答案为:{﹣1,0,1,2}. 4. (5 分) (2016?江阴市一模)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象如图所示, 则 f (1)+f (2)+f (3)+…f (2015)= 0 .

2

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【解答】解:函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象, 可得 A=2, ? =6﹣2,∴ω= . x.

再根据图象经过原点,可得 φ=0,∴f(x)=2sin 由于 f(x)的周期为

=8,f (1)+f (2)+f (3)+…f (8)=0,

则 f (1)+f (2)+f (3)+…f (2015)=251×0+f (1)+f (2)+f (3)+…f (7) =0, 故答案为:0. 5. (5 分) (2012?南京二模)某单位从 4 名应聘者 A,B,C,D 中招聘 2 人,如果这 4 名应 聘者被录用的机会均等,则 A,B 两人中至少有 1 人被录用的概率是 【解答】解:某单位从 4 名应聘者 A,B,C,D 中招聘 2 人, ∵这 4 名应聘者被录用的机会均等, ∴A,B 两人都不被录用的概率为 = , .

∴A,B 两人中至少有 1 人被录用的概率 p=1﹣

=1﹣ = .

故答案为: .

6. (5 分) (2016?江阴市一模)某市高三数学抽样考试中,对 90 分及其以上的成绩情况进 行统计,其频率分布直方图如图所示,若(130,140]分数段的人数为 90 人,则(90,100] 分数段的人数为 810 .

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【解答】解:根据直方图,组距为 10,在(130,140]内的 因为此区间上的频数为 90,所以这次抽考的总人数为 1800 人. 因为 (90, 100]内的

,所以频率为 0.05,

, 所以频率为 0.45, 设该区间的人数为 x, 则由



得 x=810,即(90,100]分数段的人数为 810. 故答案为:810. 7. (5 分) (2013?江苏一模)已知 l、m 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,有下 列 4 个命题: ①若 l?β,且 α⊥β,则 l⊥α; ②若 l⊥β,且 α∥β,则 l⊥α; ③若 l⊥β,且 α⊥β,则 l∥α; ④若 α∩β=m,且 l∥m,则 l∥α. 其中真命题的序号是 ② . (填上你认为正确的所有命题的序号) 【解答】解:对于①,若 l?β,且 α⊥β,则根据线面垂直的判定可知,只要当 l 与两面的 交线垂直时才有 l⊥α,所以①错; 对于②, 根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个, 一定垂直与另一个, 即若 l⊥β, α∥β, l⊥α;②正确 对于③,若 l⊥β,α⊥β,则 l∥α 或 l?α,所以③错 对于④,若 l∥m,且 α∩β=m,则 l∥α 或 l?α,所以④错 故答案为②

8. (5 分) (2016?江阴市一模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和.若

,则

=



【解答】解:∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 且 S3=3a1+3d,S7=7a1+21d, ∴ = ,

= ,

整理得:a1=6d, 则 = = = .
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故答案为:

9. (5 分) (2014?四川)设 m∈R,过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y ﹣m+3=0 交于点 P(x,y) .则|PA|?|PB|的最大值是 5 . 【解答】解:有题意可知,动直线 x+my=0 经过定点 A(0,0) , 动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点 B(1,3) , 注意到动直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 始终垂直,P 又是两条直线的交点, 2 2 2 则有 PA⊥PB,∴|PA| +|PB| =|AB| =10. 故|PA|?|PB|≤ 故答案为:5 10. (5 分) (2012?南京二模)在如图所示的流程图中,若输入 n 的值为 11,则输出 A 的值 为 . =5(当且仅当 时取“=”)

【解答】解:由程序框图,执行程序,运行结果如下: A=2 I=1 A=﹣3 I=2 A=﹣ A= A=2 A=﹣3 A=﹣ A= A=2 A=﹣3 A=﹣ I=3 I=4 I=5 I=6 I=7 I=8 I=9 I=10 I=11
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此时 A= ,退出循环 故答案为: .

11. (5 分) (2016?江阴市一模)若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 lna1+lna2+…+lna20= 50 . 5 【解答】解:∵数列{an}为等比数列,且 a10a11+a9a12=2e , 5 ∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e , 5 ∴a10a11=e , 10 ∴lna1+lna2+…lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11) 5 10 50 =ln(e ) =lne =50. 故答案为:50.

5

12. (5 分) (2014?安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x +

2

=1(0<b<1)的左、右焦点,过

点 F1 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点,若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为 x+
2

=1 .
2

【解答】解:由题意,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,AF2⊥x 轴,∴|AF2|=b , 2 ∴A 点坐标为(c,b ) , 设 B(x,y) ,则 ∵|AF1|=3|F1B|, 2 ∴(﹣c﹣c,﹣b )=3(x+c,y) ∴B(﹣ c,﹣ b ) ,
2

代入椭圆方程可得 ∵1=b +c , ∴b = ,c = , ∴x +
2 2 2 2 2



=1.
2

故答案为:x +

=1.

13. (5 分) (2016?江阴市一模)函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1 <x2 时,都有 f(x1)≤f(x2) ,则称函数 f(x)在 D 上为非减函数.设函数 f(x)在[0,1] 上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;② =1﹣f(x) .则 = .
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;③f(1﹣x)

【解答】解:∵f(0)=0,f(1﹣x)=1﹣f(x) , 令 x=1,则 f(0)=1﹣f(1) ,解得 f(1)=1, 令 x= ,则 f( )=1﹣f( ) ,解得:f( )= . 又∵ ,

∴f( )= f(1)= ,f( )= f( )= ,f( )= f( )= , 又由 f(x)在[0,1]上为非减函数, 故 f( )= , ∴f( )+f( )= . 故答案为: .

14. (5 分) (2012?浙江校级模拟)设函数 f(x)=x ﹣ax+a+3,g(x)=ax﹣2a.若存在 x0∈R, 使得 f(x0)<0 与 g(x0)<0 同时成立,则实数 a 的取值范围是 (7,+∞) . 2 【解答】解:由 f(x)=x ﹣ax+a+3 知 f(0)=a+3,f(1)=4, 又存在 x0∈R,使得 f(x0)<0, 2 知△ =a ﹣4(a+3)>0 即 a<﹣2 或 a>6, 另 g(x)=ax﹣2a 中恒过(2,0) , 故由函数的图象知: 2 2 ①若 a=0 时,f(x)=x ﹣ax+a+3=x +3 恒大于 0,显然不成立. ②若 a>0 时,g(x0)<0?x0<2

2

③若 a<0 时,g(x0)<0?x0>2 此时函数 f(x)=x ﹣ax+a+3 图象的对称轴 x= 故函数在区间( ,+∞)上为增函数 又∵f(1)=4, ∴f(x0)<0 不成立. 故答案为: (7,+∞) .
2



二、解答题:
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15. (14 分) (2016?江阴市一模)设函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)的图象相 邻两条对称轴之间的距离为 (1)求 f(x)的解析式; (2)若 α 为锐角,f( + )= ,求 sin2α 的值. =π,求得 ω=2. ,k∈z, )=cos2x. ,函数 y=f(x+ )为偶函数.

【解答】解: (1)由题意可得,函数的周期为 再根据函数 y=f(x+ 即 φ=kπ﹣

)=sin(2x+π+φ)为偶函数,可得 π+φ=kπ+ ,∴f(x)=sin(2x+

,k∈z,结合 0<φ<π,可得 φ= + )=cos(α+ )cos(α+

(2)∵α 为锐角,f( ∴sin(2α+ ﹣ ,

)= ,∴sin(α+ )= ,cos(2α+

)= . )=2 ﹣1=

)=2sin(α+

∴sin2α=sin[(2α+ = ﹣(﹣

)﹣ )× =

]=sin(2α+ .

)cos

﹣cos(2α+

)sin

16. (14 分) (2014?启东市模拟)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°, AA1=AC=BC=1,A1B= . (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 的中点,求证:BC1∥平面 A1CD.

【解答】证明: (1)在 在△ A1BC 中, BC=1, A1C=1, , ∴

,∴A1C=1, , ∴∠A1CB=90 , ∴BC⊥A1C,
°

又 AA1⊥BC,AA1∩A1C=A1, ∴BC⊥平面 ACC1A1, ∵BC?平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 ACC1A1. (2)连接 A1C 交 AC1 于 O,连接 DO,
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则由 D 为 AB 中点,O 为 AC1 中点得,OD∥BC1, ∵OD?平面 A1DC,BC1?平面 A1DC, ∴BC1∥平面 A1DC.

17. (14 分) (2012?无锡模拟)某工厂接到一标识制作订单,标识如图所示,分为两部分, “T 型”部分为宽为 10cm 的两个矩形相接而成, 圆面部分的圆周是 A, C, D, F 的外接圆. 要 2 求如下:①“T 型”部分的面积不得小于 800cm ;②两矩形的长均大于外接圆半径.为了节 约成本,设计时应尽量减小圆面的面积.此工厂的设计师,凭直觉认为当“T 型”部分的面积 2 取 800cm 且两矩形的长相等时,成本是最低的.你同意他的观点吗?试通过计算,说说你 的理由.

【解答】解:设一个矩形长 AF=x(dm) ,则另一矩形长为 8﹣x(dm) . 设圆半径为 r(dm) ,则
2 2 2 2

﹣1+ ,

=8﹣x,

r ﹣ x =(9﹣x) +r ﹣ ﹣2(9﹣x) 即 2(9﹣x) 令 9﹣x=t,得 2t 得2 即r ≥
2

=(9﹣x) + x ﹣ . =t + (9﹣t) ﹣ = t +20﹣ t, )﹣ ≥ ﹣ = ,
2 2 2

2

2

= (t+ + ,

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即有 r



此时 t=4 即有 x=5,y=3(单位:dm) . 则不同意他的观点. 18. (16 分) (2014?北京)已知椭圆 C:x +2y =4, (1)求椭圆 C 的离心率 (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,求直线 AB 与 2 2 圆 x +y =2 的位置关系,并证明你的结论. 【解答】解: (1)由 x +2y =4,得椭圆 C 的标准方程为 ∴a =4,b =2,从而 c =a ﹣b =2. 因此 a=2,c= . 故椭圆 C 的离心率 e=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





(2)直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0) , (t,2) ,其中 x0≠0. ∵OA⊥OB, ∴ ,即 tx0+2y0=0,解得 .

当 x0=t 时,

,代入椭圆 C 的方程,得

. .

故直线 AB 的方程为 x= ,圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2 2 此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切. 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 即(y0﹣2)x﹣(x0﹣t)y+2x0﹣ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= . ,



,t=





=



此时直线 AB 与圆 x +y =2 相切.
第 12 页(共 15 页)

2

2

19. (16 分) (2014?淮安模拟)已知函数 f(x)=(x﹣a) e 在 x=2 时取得极小值. (1)求实数 a 的值; 4 4 (2)是否存在区间[m,n],使得 f(x)在该区间上的值域为[e m,e n]?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,说明理由. x 【解答】解: (1)f'(x)=e (x﹣a) (x﹣a+2) , 由题意知 f'(2)=0,解得 a=2 或 a=4. 当 a=2 时,f'(x)=e x(x﹣2) , 易知 f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,符合题意; x 当 a=4 时,f'(x)=e (x﹣2) (x﹣4) , 易知 f(x)在(0,2)上为增函数,在(2,4) , (4,+∞)上为减函数,不符合题意. 所以,满足条件的 a=2. (2)因为 f(x)≥0,所以 m≥0. 4 2 n 4 ①若 m=0,则 n≥2,因为 f(0)=4<e n,所以(n﹣2) e =e n. 设 ,则 ,
x

2 x

所以 g(x)在[2,+∞)上为增函数. 4 2 n 4 由于 g(4)=e ,即方程(n﹣2) e =e n 有唯一解为 n=4. ②若 m>0,则 2?[m,n],即 n>m>2 或 0<m<n<2. (Ⅰ)n>m>2 时,



由①可知不存在满足条件的 m,n. (Ⅱ)0<m<n<2 时,


2 m 2 n

两式相除得 m(m﹣2) e =n(n﹣2) e . 2 x 设 h(x)=x(x﹣2) e (0<x<2) , 3 2 x 则 h'(x)=(x ﹣x ﹣4x+4)e x =(x+2) (x﹣1) (x﹣2)e , h(x)在(0,1)递增,在(1,2)递减, 由 h(m)=h(n)得 0<m<1,1<n<2, 2 m 4 此时(m﹣2) e <4e<e n,矛盾. 综上所述,满足条件的 m,n 值只有一组,且 m=0,n=4. 20. (16 分) (2015?江苏模拟)已知数列{an}中,a2=a(a 为非零常数) ,其前 n 项和 Sn 满足: Sn=

第 13 页(共 15 页)

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a=2,且 am ﹣Sn=11,求 m、n 的值; (3)是否存在实数 a、b,使得对任意正整数 p,数列{an}中满足 an+b≤p 的最大项恰为第 3p ﹣2 项?若存在,分别求出 a 与 b 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解答】解: (1)由已知,得 a1=S1= =0,∴Sn= ,
2

则有 Sn+1=

, n∈N*,

∴2(Sn+1﹣Sn)=(n+1)an+1﹣nan,即(n﹣1)an+1=nan ∴nan+2=(n+1)an+1, 两式相加得,2an+1=an+2+an n∈N*, 即 an+2﹣an+1=an+1﹣an n∈N*, 故数列{an}是等差数列. 又 a1=0,a2=a,∴an=(n﹣1)a. (2)若 a=2,则 an=2(n﹣1) ,∴Sn=n(n﹣1) . 由
2 2

,得 n ﹣n+11=(m﹣1) ,即 4(m﹣1) ﹣(2n﹣1) =43,

2

2

∴(2m+2n﹣3) (2m﹣2n﹣1)=43. ∵43 是质数,2m+2n﹣3>2m﹣2n﹣1,2m+2n﹣3>0, ∴ ,解得 m=12,n=11.

(3)由 an+b≤p,得 a(n﹣1)+b≤p. 若 a<0,则 n≥ 若 a>0,则 n≤ ∴3p﹣2≤ +1,不合题意,舍去; +1.∵不等式 an+b≤p 成立的最大正整数解为 3p﹣2,

+1<3p﹣1,

即 2a﹣b<(3a﹣1)p≤3a﹣b,对任意正整数 p 都成立. ∴3a﹣1=0,解得 a= , 此时, ﹣b<0≤1﹣b,解得 <b≤1. 故存在实数 a、b 满足条件,a 与 b 的取值范围是 a= , <b≤1.

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参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;caoqz;394782;zlzhan;minqi5;吕静;sllwyn;任 老师;刘长柏;sxs123;yhx01248;沂蒙松;双曲线;1619495736;清风慕竹(排名不分先 后) 菁优网 2016 年 5 月 30 日

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