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2011—2012学年度第二学期高二数学理科期中试卷


江阴市一中 2011—2012 学年度第二学期期中试卷 — 高二数学(理科) 高二数学(理科) 2012.4
命题人:巫斌 审核人:韩惠英 一、填空题(本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在试卷相应的位置)

2?i = 3 ? 4i 10 2. 99 ? 1 被 1000 除所得到的余数为
1. 3.若一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,从中任取两个球,至少有一个白球的概率是 4.房间里有 5 盏电灯分别由 5 个开关控制,至少开 1 盏灯用以照明,不同的方法共有 5.在 0 到 1 之间任取两个实数,则它们的平方和大于 1 的概率是 种.

6. 用数学归纳法证明 时,由 到 时,不等式 左边应添加的项是 7.由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积最大,最大值为 2R2”则关于球的相应命题 为 . 4 2 3 4 2 8.若(2x+3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则(a0+a2+a4) - (a1 + a3 ) 2 = . 9. 在平面上画 n 条直线,且任何两条直线都相交,期中任何 3 条直线不共点,则这 n 条直线将平面分 成 部分 10. 若 O 是 平 面 上 一 定 点 , A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

uuu r uuur uuu uuu r r AB AC OP = OA + λ ( uuu + uuur ), λ ∈ [ 0, +∞ ) ,则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的 r AB AC

心.

11. 复数 Z = x + yi, x, y ∈ R, 满足 Z ? 2 ? 2i =

y 2 , 则 的取值范围是 x

。 1 2 4 8 16 32 …… (13 题)

中, , 则猜想这个数列的通项公式为____________ 12. 在数列 13. 将首项为 1,公比为 2 的等比数列的各项排列如右表,其中第 i 行第 j 个数表示为

aij (i, j ∈ N * ) ,例如 a32 = 16 .若 aij = 22011 ,则 i + j =



14.下图展示了一个由区间(0,k)k 为一正实数)到实数集 R 上的映射过程:区间(0,k)中的实数
m 对应线段 AB 上的点 M,如图 1;将线段 AB 围成一个离心率为 的椭圆,使两端点 A、B 恰好重合于椭

圆的一个短轴端点,如图 2 ;再将这个椭圆放在平面直角坐标系中,使其中心在坐标原点,长轴在 X 轴上,已知此时点 A 的坐标为 (0,1),如图 3,在图形变化过程中,图 1 中线段 AM 的长度对应于图 3 中的椭圆弧 ADM 的长度.图 3 中直线 AM 与直线 y=-2 交于点 N(n,—2),则与实数 m 对应的实数 就是 n,记作 f(m)=n,

现给出下列命题:①.

;②

是奇函数;③在定义域上单调递增;④.

的图象关于点

( ,0)对称;⑤f(m)=

时 AM 过椭圆右焦点.

其中所有的真命题是_______ (写出所有真命题的序号) 二、解答题(本题共 6 道题,共计 90 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程获演算步骤)

a 2 ? 7a + 6 15.(本题满分 14 分)已知复数 Z = + (a 2 ? 5a ? 6)i, a ∈ R ,分别求 a 为多少时,Z 为 2 a ?1
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数

n 16. (本题满分 14 分)在 (1 + x) 的展开式中,已知第 3 项与第 5 项的系数相等

(1)求 ( x ?
2

2 n ) 的展开式中系数最大的项和系数最小的项; x 2 (2)求 ( x 2 + x ? 2) n 的展开式含 x 项的系数.

17. (本题满分 14 分) 针对当前国际形势,国家需要进行某项 863 计划课程研究,需从含一名男组长和一名女组长的 8 名 男院士、5 名女院士中选 5 人参加课题研究,求下列各条件下分别有多少种不同的选法. (1)只有一名女院士且两组长当选; (2)仅有一名组长当选,其他院士中男女人数相等; (3)至多有两名女院士当选,男组长需当选,女组长不当选.

18. (本题满分 16 分)已知数列 {an } (n 为正整数)是首项为 a1 , 公比为q 的等比数列. (1)求和: a1C2 ? a2C2 + a3C2 , a1C3 ? a2C3 + a3C3 ? a4C3 ;
0 1 2 0 1 2 3

(3)设 q ≠ 1, sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和,求 s1Cn ? s2Cn + s3Cn ? s4Cn + ... + ( ?1) sn +1Cn
0 1 2 3 n

(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论,并加以证明;

n

19. (本题满分 16 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3,4 的四个小球,现从这个盒子中,有 放回地先后摸出两个小球,他们的标号分别为 x, y,记 ξ = x ? y . (2)求随机变量 ξ 的数学期望及方差; (3)设“函数 f ( x) = nx ? ξx ? 1(n ∈ N *) 在区间 ( 2,3) 上有且只有一个零点” 为事件 A,求事件 A 发生的概率
2

(1)求随机变量 ξ 的分布列,

20. (本题满分 16 分) 已知数列 {an } 满足: a1 =

(1) 求数列 {an } 的通项公式;

3 1 2an ?1 + (n ? 1) , = (n ≥ 2, n ∈ N *) 2 an 3nan ?1

(2) 证明对一切正整数 n,不等式 a1a2 ...an < 2 ? n! 恒成立.

江阴市一中 2011—2012 学年度第二学期期中试卷 —
参考答案及评分标准 一、填空题 1. 2 + 1 i
5 5

2. 0

3.

25 28

4. 31

5. 1 ?

π
4

6.

7.半径为 R 的球的内接长方体中,以正方体的体积为最大,最大值为 8. 625. 9. 1 +

8 3R 3 9
12. 二、解答题

n(n + 1) 2

10. 内

11. 2 ? 3 ,2 + 3

[

]

13.122

14.(3)(4)(5)

15. (1) a 2 ? 5a ? 6 = 0, 且a 2 ? 1 ≠ 0 ,即 a=6 (2) a 2 ? 5a ? 6 ≠ 0, 且a 2 ? 1 ≠ 0, 即a ≠ ±1且a ≠ 6

? 2 ? a ? 5a ? 6 ≠ 0 (3) a ? 7 a + 6 = 0,且 ? , 即a = 1或6 ?a 2 ? 1 ≠ 0 ?
2

16. 由已知得 Cn = Cn , n = 6 ,
2 4

2 r ? 2 2? r 2 6? r r r 12 ? 3 r (1) ? x ? ? 的通项为Tr +1 = C6 ( x ) ( ? ) = ( ?2) C6 x x? x ? ?3 当 r=5,展开式中的系数最小,即 T6 = ?192 x ,为展开式中系数最小的项;
当 r=4 时,展开式中的系数最大,即 T5 = 240 为展开式中系数最大的项. (2) ( x 2 + x ? 2) 6 = ( x + 1) 6 ( x ? 2) 6 的展开式中含 x 项的系数为
2 2 1 1 C6 × (?2)6 + C6 × (?2)5 + C6 × (?2) 4 = 48

6

17. (1) C7 = 35
3

(2) C2C7 C4 = 252
1 2 2

(3) C7 C4 + C7 C4 + C7 = 301
2 2 3 1 4

18.(1) a1C2 ? a2C2 + a3C2 = a1 ? 2a1q + a1q = a1 (1 ? q )
0 1 2 2

2

1 3 a1C30 ? a2C3 + a3C32 ? a4C3 = a1 ? 3a1q + 3a1q 2 ? a1q 3 = a1 (1 ? q )3

(2)归纳概括的结论为: 若数列 {an } 是首项为 a1 , 公比为q 的等比数列,则
0 1 2 3 n a1Cn ? a2Cn + a3Cn ? a4Cn + ... + (?1) n an +1Cn = a1 (1 ? q ) n , n 为正整数.

证明:

0 1 2 3 0 1 2 n n a1Cn ? a2Cn + a3Cn ? a4Cn + ... + (?1) n an +1Cn = a1Cn ? a1qCn + a1q 2Cn + ... + (?1) n a1q nCn = 0 1 2 n a1[Cn ? qCn + q 2Cn + ... + (?1)q nCn ] = a1 (1 ? q) n

(3)因为 sn =

a1 ? a1q n ,所以 1? q

a1 ? a1q 0 a1 ? a1q 2 1 a ? a q n +1 n Cn ? Cn + ... + (?1) n 1 1 Cn = 1? q 1? q 1? q a1 a aq 0 1 0 1 2 n n [Cn ? Cn + ... + (?1) n Cn ] ? 1 [Cn ? qCn + q 2Cn + ... + (?1) n q nCn ] = 1 (1 ? q ) n 1? q 1? q q ?1 19. (1)ξ 的所有取值为 0,1,2,3 ?x = 1 ?x = 2 ?x = 3 ?x = 4 因为 ξ = 0 时,有 ? ,? ,? ,? ,四种情况; ?y = 1 ?y = 2 ?y = 3 ?y = 4 ?x = 1 ?x = 2 ?x = 2 ?x = 3 ?x = 3 ?x = 4 ,? ,? ,? ,? ,? ξ = 1 时,有 ? ,六种情况; ?y = 2 ?y = 1 ?y = 3 ?y = 2 ?y = 4 ?y = 3
0 1 2 n s1Cn ? s2Cn + s3Cn + ... + (?1) n sn +1Cn =

ξ = 2 时,有 ? ξ = 3 时,有 ?

?x = 1 ?x = 3 ?x = 2 ?x = 4 ,? ,? ,? ,四种情况; ?y = 3 ?y = 1 ?y = 4 ?y = 2

?x = 1 ?x = 4 ,? ,两种情况. ?y = 4 ?y = 1 1 3 1 1 P (ξ = 0) = , P (ξ = 1) = , P (ξ = 2 ) = , P (ξ = 3) = 4 8 4 8 5 15 (2) E (ξ ) = ,D( ξ )= 4 16 2 (3)因为 f ( x ) = nx ? ξx ? 1 在(2,3)有且只有一个零点,所以 1 f (2) = 0, ξ = 2n ? 舍 2 1 f (3) = 0, ξ = 3n ? 舍 3 1 1 当 f ( 2) f (3) = ( 4n ? 1 ? 2ξ )(9n ? 1 ? 3ξ ) < 0,2n ? < ξ < 3n ? 2 3 3 8 n = 1, < ξ < , ξ = 2 2 3 1 7 n ≥ 2, ξ > 2n ? ≥ 2 2 1 所以 n=1, P ( A) = P (ξ = 2) = , n ≥ 2, P ( A) = 0 4 ? n 1 n ?1 n? 1 1 20. 解: (Ⅰ) 1? = (1 ? ) ,所以 ?1 ? ? 以首项为 1 ? = , ,公比为 将条件变为: an 3 an ?1 a1 3 ? an ?
n 1 1 n3n ,所以 1 ? = ,所以 an = n , (n ≥ 1) ….① 3 an 3n 3 ?1

n ,要证 a1a2 ...an < 2 ? n! ,只要证 n ∈ N * 1 1 1 (1 ? )(1 ? 2 )...(1 ? n ) 3 3 3 1 1 1 1 时有, (1 ? )(1 ? 2 )...(1 ? n ) > …②,显然,左端每个因式皆为正数,先证明对每个 n ∈ N * , 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? 2 )...(1 ? n ) ≥ 1 ? ( + 2 + ... n ) …③,用数学归纳法证明③式: 3 3 3 3 3 3
(2)证明:据①得,

a1a2 ...an =

⒈当 n=1,③式成立 ⒉假设 n=k 时,③式成立,即 (1 ? )(1 ?

1? 1 1 ?1 1 1? 1 ? ?1 1 ?1 1 = 1 ? ? + 2 + ... + k ? ? k +1 + k +1 ? + 2 + ... + k ? ≥ 1 ? ? + 2 + ... k +1 ? 3 ? 3 3 ?3 3 3 ? 3 ? ?3 3 ?3 3 即当 n=k+1 时,③式成立,所以对一切 n ∈ N * ③式成立 1 1 1 1? 1 ? 1 1 1 1 利用③得 (1 ? )(1 ? 2 )...(1 ? n ) ≥ 1 ? ?1 ? ( ) n ? = + ( ) n > 3 3 3 2? 3 ? 2 2 3 2
所以②式成立,从而结论得证。

当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 )...(1 ? k ) ≥ 1 ? ( + 2 + ... k ) 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? + ... + )? (1 ? k +1 ) (1 ? )(1 ? 2 )...(1 ? k )(1 ? k +1 ) ≥ ?1 ? ( + 3 3 3 3 3 32 3k ? 3 ?

江阴市一中 2011—2012 学年度第二学期期中试卷 —

高二数学(理科) 二数学(理科) 数学答题纸

2012 2012.4

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将正确答案填在题中的横线上) 1. 2. 3. 4. 7. 10. 13. 5. 8. 11. 14. 6. 9. 12.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分)

16. (本小题满分 14 分)

17. (本小题满分 14 分)

18. (本小题满分 16 分)

19. (本小题满分 16 分)

20. (本小题满分 16 分)


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