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棱柱和棱锥


棱柱和棱锥
一. 教学内容: 棱柱和棱锥 【重点和难点】 1. 棱柱和棱锥的性质及应用 2. 棱柱和棱锥的侧面积和体积 【知识要点】 知识图表

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

长方体

棱柱

直棱柱 正棱锥 欧拉公式

正棱柱

正方体

简 单 几 何 体

棱锥 球

简单几何体的性质

【典型例题】
例 1. 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F。 (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C—PB—D 的大小。(2004 年天津试题)

P E

F

D

C

A

B

(1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO。 ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点 在 ?PAC 中,EO 是中位线, ∴PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, 所以,PA // 平面 EDB

P E

F

D O A B

C

(2)证明:∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD, ∴ PD ? DC ∵PD=DC,可知 ?PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴ DE ? PC 。 ①

同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC。 ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC。 而 DE ? 平面 PDC, ∴ BC ? DE 。 ②

由①和②推得 DE ? 平面 PBC。 而 PB ? 平面 PBC, ∴ DE ? PB 又 EF ? PB 且 DE ? EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD。 (3)解:由(2)知, PB ? DF ,故 ? EFD 是二面角 C—PB—D 的平面角。 由(2)知, DE ? EF, PD ? DB 。 设正方形 ABCD 的边长为 a,则 PD ? DC ? a, BD ?

2a

PB ? PD2 ? BD2 ? 3a ,
PC ? PD2 ? DC 2 ? 2a
DE ? 1 2 PC ? a 2 2 。

在 Rt ?PDB 中,

DF ?

PD ? BD a ? 2a 6 ? ? a PB 3 。 3a

2 a DE 3 sin FED ? ? 2 ? DF 2 6 a 3 在 Rt ?EFD 中, ,
?EFD ?

?
3。



? 所以,二面角 C—PB—D 的大小为 3 。
本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象能力和 推理论证能力。 例 2. 如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB=2, AA1 ? 2 ,由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱

AA1 到顶点 C1 的最短路线与 AA1 的交点记为 M,
求: (I)三棱柱的侧面展开图的对角线长

A1 M (II)该最短路线的长及 AM 的值
(III)平面 C1 MB 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小

A1 B1 M A B

C1

C

解: (I)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面展开图是长为 6,宽为 2 的矩形
2 2 其对角线长为 6 ? 2 ? 2 10

? (II)如图,将侧面 AA1 B1 B 绕棱 AA1 旋转 120 使其与侧面 AA1C1C 在同一平面上,点 B

运动到点 D 的位置,连接 DC1 交 AA1 于 M,则 DC1 就是由顶点 B 沿棱柱侧面经过棱 AA1 到顶 点 C1 的最短路线,其长为
DC 2 ? CC1 ? 4 2 ? 2 2 ? 2 5
2

? ?D M A ? ?C1 MA1 ,? AM ? A1 M



A1 M ?1 AM

(III)连接 DB, C1 B ,则 DB 就是平面 C1 MB 与平面 ABC 的交线
A1 B1 M C1

D

A B

C

在 ?DCB 中

? ?DBC ? ?CBA ? ?ABD ? 60? ? 30? ? 90? ? CB?DB
由三垂线定理得 C1 B?DB

又 C1C?平面CBD

? ?C1 BC 就是平面 C1 MB 与平面 ABC 所成二面角的平面角(锐角)

? 侧面 C1 B1 BC 是正方形
??C1 BC ? 45?

故平面 C1 MB 与平面 ABC 所成的二面角(锐角)为 45

?

本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力。

例 3. 如图,正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4。E,F 分别为棱 AB,BC 的中点,EF∩BD=G. (Ⅰ)求证:平面 B1EF⊥平面 BDD1B1; (Ⅱ)求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d;

本小题主要考查正四棱柱的基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 (Ⅰ)证法一:连结 AC ∵正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是正方形, ∴AC⊥BD,又 AC⊥D1D,故 AC⊥平面 BDD1B1. ∵E,F 分别为 AB,BC 的中点,故 EF∥AC, ∴EF⊥平面 BDD1B1, ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1. 证法二:

∵BE=BF,∠EBD=∠FBD=45°, ∴EF⊥BD. 又 EF⊥D1D ∴EF⊥平面 BDD1B1, ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1.

(Ⅱ)在对角面 BDD1B1 中,作 D1H⊥B1G,垂足为 H. ∵平面 B1EF⊥平面 BDD1B1,且平面 B1EF∩平面 BDD1B1=B1G, ∴D1H⊥平面 B1EF,且垂足为 H, ∴点 D1 到平面 B1EF 的距离 d=D1H. 解法一: 在 Rt△D1HB1 中,D1H=D1B1·sin∠D1B1H. ∵ D1 B1 ? 2 A1 B1 ? 2 ? 2 2 ? 4 ,
sin ?D1 B1 H ? sin ?B1GB ?
4 17 16 17 . 17

B1 B ? GB1

4 4 ?1
2 2

?

4 17

,



d ? D1 H ? 4 ?

?

解法二: ∵△D1HB1~△B1BG,
d ? D1 H ?
D1 H D1 B1 ? ∴ B1 B B1G ,



B1 B 2 42 16 17 ? ? . 2 2 B1G 17 4 ?1

解法三:

连结 D1G,则三角形 D1GB1 的面积等于正方形 DBB1D1 面积的一半,
1 1 ? B1G ? D1 H ? B1 B 2 2 即2 ,

? d ? D1 H ?

B1 B 2 16 17 ? . B1G 17

【模拟试题】
一. 选择题:

1. 长方体三个面的面积为





,则长方体的对角线长(



A.

B.

C.

D.

2. M={正四棱柱} N={长方体} P={直四棱柱} Q={正方体},下列关系正确的是

A.

B.

C.

D.
? ?

3. 在三棱锥 A—BCD 中,AB=AC=AD,BC=1,∠ABC=∠BCD,∠BDC= 2 ,∠ABD= 3 , 则 AC 的长为 ( )
3 2
2 2

A.1

B.

C.

1 D. 2

4. 直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上如图,AP=C1Q, 则四棱锥 B—APQC 的体积为 ( )

V A. 2

V B. 3

V C. 4

V D. 5
) D. 直角三角形

5. 过正四棱锥不相邻的两条侧棱的截面一定是( A. 等腰三角形 B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形

6. 已知正三棱锥的一个侧面积和底面积之比为

,则此三棱锥的高与斜高之比(



A.

:4

B. 1:4

C.

:4

D.

:1

7. 三棱锥的顶点在底面上的射影落在底面三角形的内部,三个侧面和底面所成的角相等,则 顶点在底面上的射影是底面三角形的( ) A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心

8. 下面命题不正确的是(



A. 底面是矩形的四棱柱是平行六面体; B. 棱长相等的直四棱柱是正方体; C. 平行六面体的对角线互相平分; D. 对角线相等的平行六面体是长方体;

9. 正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 SC 所成角为( A. 30° ) B. 45°

,底面边长为

,E 为 SA 中点,则异面直线 BE 与

C. 60°

D. 90° )

10. 在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

11. 正三棱锥的底面边长为 6,高为

,则这个三棱锥的全面积为(



A. 9

B. 18

C. 9(

+



D.

12. 设长方体对角线长度为 4,过每一顶点有两条棱与对角线夹角都是 60° ,则此长方体的体 积为( )

A.

B. 8

C. 8

D. 16 的一个球,则这个多面体的体

13. 表面积为 S 的多面体的每一个面积都外切于表面积为 36 积数为( )

A.

B.

C. S

D. S2

14.ABCD—A1B1C1D1 是正方体,M、N 分别是 AA1、BB1 的中点,设 C1M 与 DN 所成的角 为θ ,则 sinθ 的值为 ( )

1 A. 9

2 B. 3

2 5 C. 9

4 5 D. 9

15. 经过长方体一个顶点三条棱的长分别为 3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,这个 球的表面积( )

A. 20 二. 填空题:

B. 25

C. 50

D. 200

1. 棱锥的底面面积为 150cm2,平行于底面的截面面积为 54cm2 底面和截面距离为 14cm,则这个 棱锥高为_______ 2. 已知三棱锥 A—BCD 的体积是 V,棱 BC 的长是 a,面 ABC 和面 DBC 的面积分别是 S1 和 S2,设面 ABC 和面 DBC 所成的二面角是α ,则 sinα = .

3. 如果正四面体的棱长为

cm,那么它相邻两侧面所成的角的余弦值_____

4. 已知三棱锥 S—ABC 的三条侧棱两两垂直,SA=5,SB=4,SC=3,D 为 AB 中点,E 为 AC 中点,则四棱锥 S—BCED 的体积为_____ 5. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是上底面 ABCD 中心,若棱长为 a,则三棱锥 O—AB1D1 的体积为 三. 解答题 .

1. 过长方体的一个顶点的一条对角线和交在这个顶点的三个面所成角分 求证:cos2 + cos2 + cos2 =2

别为

、 、 ,

2. 正六棱柱的一条较长对角线长是 13cm,侧面积为 180cm2,求棱柱体积(6 分)

3. 平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的各棱长都相等,且∠B1C1D1=∠CC1B1=∠CC1D1=60°(1) 求证平面 ACC1A1⊥平面 BB1D1D;(2)若 AA1=a,求 C 到平面 A1B1C1 的距离.

4. 如图:三棱锥 V—ABC 中,VA= ABC,求: ①△VAC 的高 VE

VC=1,AB=BC=

,且 VA⊥VC,平面 VAC⊥平面

②二面角 V—AB—C 的正切值

5. 斜三棱柱 ABC—A′B′C′,底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,AA′与底面相邻两边 AB、AC 都成 45° 角,求棱柱侧面积

6. 在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,AC=BC,D、G 分别为 PA、AB 中点,E 是 PB

上的点,BE=

PB,如果 PA:AB=1:

, 求证:①EG⊥平面 CDG ②求截面 CDE 分三棱

锥所成的两部分的体积比。

【试题答案】
一. 1. D 6. C 11. C 2. B 7. B 12. B 3.C 8. B 13. C 4.B 9. C 14. D 5. A 10. D 15. C

二. 1. 35cm

3aV 2. 2 S1 S 2

3.

4.

1 3 a 5. 6 .

三. 1. 证明:连结 AC ∵C1C⊥面 ABCD ∴∠C1AC 即为 AC1 与底面所成的角令∠C1AC=

则在 Rt△AC1C 中 cos

=

同理,分别连结 AB1、AD1,令∠B1AC1=

∠D1AC1= 则 cos

=

cos =

∴cos2

+ cos2

+cos2 =

∵AC2=AB2+BC2 AB12= AB2+BB12,AD12= AD2+AA12= BC2+ B1B2 又∵AC12= AB2+BC2+ B1B2 ∴cos2 + cos2 +cos2V=2

2.解:如图:AD1、为正六棱柱一条较长对角线,设正六棱柱底面边长为 a,高为 h

S 侧=6ah=180 即 ah=30,由已知 AD1=13, 在 Rt△ADD1 中,(2a)2+h2=132 即 4a2+h2=169

由解方程 得

ah=30

a1=

a2=6

4a2+h2=169

h1=12

h2=5

∴a=

, h=12 时,V 柱=6×

× (

)2× 12=

(cm3)

a=6,h=5 时,V 柱=6×

× 6 2× 5=270

(cm3)

3.分析 (1)如图,作 CO⊥平面 A1B1C1 于 O.

∵∠CC1B1=∠CC1D,∴O 在∠B1C1D1 的角平分线上. 又∵A1B1C1D1 是菱形.

∴D1B1⊥A1C1,A1C1 平分∠B1C1D1 ∴O∈A1C1,即 A1C1 是 CC1 在平面 A1B1C1D1 内的射影,因此,D1B1⊥CC1 ∴B1D1⊥平面 A1C1CA ∴平面 BB1D1D⊥平面 A1C1CA (2)作 OM⊥B1C1 于 M,连 CM,在 Rt△CC1M 中,CC1=a,

4.解:①∵VE⊥AC 于 E,平面 VAC⊥平面 ABC,

∴VE⊥平面 ABC,Rt△AVC 中,VE= ②作 VD⊥AB 于 D,连结 DE, ∵VE⊥平面 ABC ∴∠VDE 为二面角 V—AB—C 的平面角

由已知:AC=2,AB=BC= ∴∠ABC=90° ∴DE∥BC



∴DE=

∴tg∠VDE= 5. 解:作 A′O 底面 ABC 垂足为 O ∵∠A′AC=∠A′AB=45° ∴点 O 落在∠BAC 的平分线 AD 上 ∵△ABC 为正三角形 ∴AD⊥BC ∵ A′O⊥平面 ABC,由三垂线定理 ∴A′A⊥BC ∵A′A∥B′B ∴∠B′BC=90°

∴S 侧=2absin45° +ab=(1+

)ab

6. 证明:①在三棱锥 P—ABC 中,设 PA=a,

∵PA:AB=1:

∴AB=

a

又 BE=

PB

∴PB=

a,BE=

a,

PE=

a

在△BEG 中,由余弦定理

EG2=(

)2+(

a)2—2×

·



∴EG=

a

又∵BG2=EG2+BE2 ∠BEG=90° ∴EG⊥PB ∵DG∥PB ∴EG⊥DG 又∵PA⊥平面 ABC,PA ∵CG⊥AB ∴平面 PAB⊥平面 ABC, CG 平面 ABC,CG⊥AB 平面 ABP

∴CG⊥平面 PAB ∴CG⊥EG

∵GD

CE=G

∴EG⊥平面 CDG

②又∵V 三棱锥 C—PDE= sin∠APB

S△PDE× CG=

× CG× × PD× PE·

∵V 三棱锥 C—PAB=

× S△PAB× CG=

× CG× PA× PB· sin∠APB



=

∴截面分三棱锥 P—ABC 所成两部分体积比为 1:2


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