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湖北省武汉科技大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:导数及其应用


武汉科技大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习单元突破:导数及其应用 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.若 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

f ?( x0 )

? 2 ,则 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 等于( 2k
C.-1

) D.

A.-1 【答案】A 2.函数

B.-2

1 2

y ? sin(2 x2 ? x) 导数是(
2

) B. 2 x sin(2 x
2

A.. cos(2 x

? x)
2

? x)

C. (4 x ? 1)cos(2 x 【答案】C

? x)

D. 4cos(2 x

2

? x)
)

3.已知函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图像如图,则(

A.函数 f(x)有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f(x)有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f(x)有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f(x)有 1 个极大值点,3 个极小值点
【答案】B 4.下列说法正确的是( ) A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大. B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值. C.对于函数

f ( x) ? x 3 ? px2 ? 2x ? 1 ,若 | P |? 6 ,则 f (x) 无极值.

D.函数 f (x ) 在区间 ( a, b) 上一定存在最值. 【答案】C 5.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ( x ? 2), 则 lim
2 x ??1

f ?( x) 等于( x ?1
C.0

) D.-6

A.6

B.2

【答案】D 6.曲线 y ?

x ?1 在点 P(1, 2) 处的切线的方程为( ) x2 A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. 3x ? y ? 1 ? 0 C. 4 x ? y ? 2 ? 0

D. 3x ? y ? 5 ? 0

【答案】D

7.若函数 为(
A.

〔e 是自然对数的底数),则此函数在点(

)处的切线的倾斜角

)
B.0 C.钝角 D.锐角

【答案】C 8.若 a>0,b>0,且函数 等于( A.2 【答案】D 9.函数 f ( x ) 可导,则 ) B.3 C.6 D.9

f ( x) ? 4 x3 ? ax2 ? 2bx ? 2

在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值

lim
?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) 等于( 2?x

)

A. 【答案】C

f ' (1)

B.

2 f ' (1)

C.

1 ' f (1) 2

D.

f ' (2)

10.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则 f2006(x) =( 【答案】B 11.若 lim ) B.-sinx C.cosx D.-cosx A.sinx

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ? 2 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k ,则 lim 等于( ) ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 1 A. 2 k B. k C. k D.以上都不是 2
)

【答案】A 12. 已知 f (x ) 为定义在 (??,??) 上的可导函数,且 f ( x) ? f ?( x) 对于 x ? R 恒成立,则( A. B. C. D.

f (2) ? e 2 ? f (0) , f (2) ? e 2 ? f (0) , f (2) ? e 2 ? f (0) , f (2) ? e 2 ? f (0) ,

f (2010 ? e 2010 ? f (0) ) f (2010 ? e 2010 ? f (0) ) f (2010 ? e 2010 ? f (0) ) f (2010 ? e 2010 ? f (0) )
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

【答案】A 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

13. 函数 【答案】4

f ? x ? ? ax3 ? 3x ?1 对于 x???1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a =____________.

14.曲线 y ?
【答案】1

1 ? 2 x 在 x ? 1 处切线的斜率是 x

.

15.已知曲线 y ? 【答案】 (1, )

x2 ? 3 lnx 的一条切线的斜率为 ? 5 ,则切点的坐标为 4 2



1 4

16.在曲线 y ? x3 ? 3x ? 1的所有切线中,斜率最小的切线的方程为 【答案】y=3x+1



三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数 (1)求

f ( x) ? ( x ? k ) e .
2

x k

f (x) 的单调区间; ? ?) ,都有
f ( x) ? 1 e ,求 k 的取值范围。

(2)若对 ?x ? (0 ,

f / ( x) ?
【答案】 (1)

x 1 2 ( x ? k 2 )e k / k ,令 f ( x) ? 0 得 x ? ? k

f ( x) 在 (??, ?k ) 和 (k , ??) 上递增,在 (?k , k ) 上递减; 当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??, k ) 和 (?k , ??) 上递减,在 (k , ?k ) 上递增 当 k ? 0 时,

(2) 当 k ? 0 时,

f (k ? 1) ? e

k ?1 k

?

1 1 f ( x) ? ?x ? (0 , ? ?) 都有 e; e ;所以不可能对 f (?k ) ? 4k 2 e ,所以对 ?x ? (0 , ? ?) 都

f ( x) 在 (0, ??) 上的最大值为 当 k ? 0 时有(1)知
f ( x) ?


1 1 4k 2 1 1 f ( x) ? ? ?? ?k ?0 ?x ? (0 , ? ?) 都有 e即 e e 时, k 的取值范 e 2 ,故对

1 [ ? , 0) 围为 2 。
18.已知函数

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ?a, b ? R? .

(Ⅰ)若函数

f ? x ? 在 x ? 1 处有极值为 10,求 b 的值;

(Ⅱ)若对于任意的 a ? 【答案】(Ⅰ)

??4, ??? , f ? x ? 在 x ? ?0,2? 上单调递增,求 b 的最小值.

f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b ,

于是,根据题设有

? f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? 2 ? f ?1? ? 1 ? a ? b ? a ? 10
解得 ?

?a ? 4 ?a ? ?3 或 ? ?b ? ?11 ?b ? 3

当?

?a ? 4 2 时, f ? ? x ? ? 3x ? 8x ?11, ? ? 64 ? 132 ? 0 ,所以函数有极值点; ?b ? ?11

当?

?a ? ?3 2 时, f ? ? x ? ? 3 ? x ? 1? ? 0 ,所以函数无极值点. ?b ? 3
b ? ?11 .

所以

(Ⅱ)法一: 所以

f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ?? ?4, ?? , x ??0,2? 都成立,

F ? a ? ? 2xa ? 3x2 ? b ? 0 对任意 a ?? ?4, ?? , x ??0,2? 都成立 F ? a ? 在 a ?? ?4, ?? 上为单调递增函数或为常数函数, F ? a ?min ? F ? ?4? ? ?8x ? 3x2 ? b ? 0 对任意 x ??0,2? 都成立
max

因为 x ? 0 , 所以 所以 即

b ? ? ?3x 2 ? 8 x ?
2

.
2

又 ?3x

4 ? 16 16 ? ? 8x ? ?3? x ? ? ? ? , 3? 3 3 ?

4 16 2 ? , 时, ? ?3 x ? 8 x ? max 3 3 16 所以 b ? , 3 16 所以 b 的最小值为 . 3
所以 当 x ? 法二:

f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ?? ?4, ?? , x ??0,2? 都成立,
2

即 b ? ?3x ? 2ax 对任意 a ?

??4, ?? , x ??0,2? 都成立,

即b ?

? ?3x

2

? 2ax ?

max



令 F ? x ? ? ?3x 2 ? 2ax ? ?3? x ? 当 a ? 0 时, F

? ?

a ? a2 ? ? , 3? 3

2

? x?max ? F ?0? ? 0 ,于是 b ? 0 ;

2 a2 ? a? a ?4 ? a ? 0 时, F ? x ?max ? F ? ? ? ? 当 ,于是, b ? . 3 ? 3? 3



? a2 ? 16 16 ? ? ? ,所以 b ? 3 . ? 3 ?max 3
16 . 3

综上, b 的最小值为 19.已知函数

f ( x) ? x2 ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处的

切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l2 , 并且 l1 与 l2 平行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈R,求函数

y ? f [ xg ( x)+t ], x ??1, e? 的最小值;
1

(3)令 F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ,给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 存在实数 m 满足: ?

? x2 ,对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,

? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ,并且使得不等式

| F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.
【答案】 y ? f ( x ) 图象与 x 轴异于原点的交点 M (a, 0) , f '( x) ? 2 x ? a

y ? g ( x ? 1) ? ln( x ? 1) 图象与 x 轴的交点 N (2, 0) , g '( x ? 1) ?
由题意可得 kl ∴
1

1 x ?1

? kl2 ,即 a ? 1 ,

f ( x) ? x2 ? x, , f (2) ? 22 ? 2 ? 2

y ? f [ xg ( x)+t ] ? [ x ln x+t ]2 ? ( x ln x+t ) = ( x ln x)2 ? (2t ?1)( x ln x) ? t 2 ? t
令 u ? x ln x ,在 ∴ u ? x ln x 在

x ??1, e? 时, u ' ? ln x ? 1 ? 0 ,

?1,e? 单调递增, 0 ? u ? e,

y ? u 2 ? (2t ?1)u ? t 2 ? t 图象的对称轴 u ?
①当 u ?

1 ? 2t ,抛物线开口向上 2

1 1 ? 2t ? 0 即 t ? 时, ymin ? y |u ?0 ? t 2 ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 2 2 ? e 即t ? ②当 u ? 时, ymin ? y |u ?e ? e ? (2t ?1)e ? t ? t 2 2 1 ? 2t 1 ? 2e 1 ?e即 ? t ? 时, ③当 0 ? 2 2 2

ymin ? y |

1? 2t u? 2

1 ? 2t 2 1 ? 2t 2 1 ?( ) ? (2t ? 1) ?t ?t ? ? 2 2 4
1, 1 1 x ?1 F '( x) ? ? 2 ? 2 ? 0 得x ? 1 x x x x

(3) F ( x) ? g ( x) ? g '( x) ? ln x ?

所以 F ( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递增

? ? ∴ 当x ? 1 时, F(x) F(1) 0
①当 m ? (0,1) 时,有 ?

? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx1 ? (1 ? m) x1 ? x1 ,

? ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,
得 ? ? ( x1 , x2 ) ,同理 ? ? ( x1 , x2 ) , ∴ 由 f (x ) 的单调性知

0 ? F ( x1 ) ? F (? ) 、 F (? ) ? F ( x2 )

从而有 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,符合题设. ②当 m ? 0 时, ?

? mx1 ? (1 ? m) x2 ? mx2 ? (1 ? m) x2 ? x2 ,

? ? (1 ? m) x1 ? mx2 ? (1 ? m) x1 ? mx1 ? x1 ,
由 f (x ) 的单调性知 0 ?

F (? ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (? ) ,

∴ | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符 ③当 m ? 1 时,同理可得 ?

? x1 , ? ? x2 ,

得 | F (? ) ? F (? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | ,与题设不符. ∴综合①、②、③得 m ? (0,1) 20.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时) 的函数解析式可以表示为:y=

1 3 x2 ? x ? 8 (0<x≤120).已知甲、乙两地相距 100 128000 80

千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 【答案】 (1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 要耗油(

100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 40 3 ? ? 40 ? 8) 2.5 ? 17.5(升) . ? 128000 80

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升.

100 小时, 设耗油量为 h(x)升,衣题意得 x 100 1 800 15 1 3 ? x2 ? ? (0<x<120 ) , x3 ? x ? 8 )· h(x)=( x 1280 x 4 128000 80
(2)当速度为 x 千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了 h’(x)=

x 800 x 3 ? 803 ? 2 ? ( 0<x≤120= 640 x 640x 2

令 h’(x)=0,得 x=80. 当 x∈(0,80)时,h’(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h’(x)>0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120)上只有一个极值,所以它是最小值. 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升. 21.某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件. 如果降低价格,销售量可以增加, 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位: 0 ? x ? 21 ) 元, 的平方成正比. 已 知商品售价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (Ⅰ)将一个星期内该商品的销售利润表示成 x 的函数 f ( x ) ; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大? 【答案】(1)商品降价 x 元,则每个星期多卖的商品数为 kx ,则依题意有
2

f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx2 ) ? (21 ? x)(432 ? kx2 ) ,
· 2 又由已知条件, 24 ? k 2 ,于是有 k ? 6 ,
所以

f ( x) ? ?6x3 ?126x2 ? 432x ? 9072,x ?[0, . 21] f ?( x) ? ?18x2 ? 252x ? 432 ? ?18( x ? 2)( x ? 12) .

(2)根据(1),我们有

当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x ) 的变化如下表:

故 x ? 12 时, f ( x ) 达到极大值.因为 f (0) ? 9072 , f (12) ? 11264 , 所以定价为 18 元能使一个星期的商品销售利润最大. 22.已知函数

f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax 在(0,1)内是增函数.

(1)求实数 a 的取值范围;

(2)若 b ? 1 ,求证:

ln(b ? 2) ? ln b ? 2 ln(b ? 1) ?

?1 b(b ? 1)

.

【答案】(1)由已知得 f / ( x) ?
?a ?1

1 1 ? a ? 0在? 0,1? 内恒成立,即 a ? ? 在? 0,1? 内恒成立, x?2 x?2

(2)? b ? 1,? 0 ?

b ?1 b ? ? 1 ,又由(1)得当 a ? 1 时, b b ?1 b ?1 b )? f( ), b b ?1

f ( x) ? ln(2 ? x) ? x 在 ? 0,1? 内为增函数,则 f (

b ?1 b ?1 b b , )? ? ln(2 ? )? b b b ?1 b ?1 ?1 b?2 b ?1 b ?1 b 即 ln , ? ln(b ? 2) ? ln b ? 2 ln(b ? 1) ? . ? ln ? ? b(b ? 1) b ?1 b b b ?1 ?ln(2 ?


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