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2.2.1等差数列的概念及通项


徐州高级中学备课纸
高中 课 年级 题 学科 执教人: 2.2.1 等差数列的概念 20 课 时 分 配 年 月 日
本课(章节) 需 课时 本节课为 第 课时 为本学期总 第 课时

1.理解等差数列的概念; 教学目标

2.掌握等差数列的通项公式,了解通项公式的推导方法; 3.体会等差数列的通项公式与一次函数的关系.



重 难

点 点

等差数列的定义、通项公式及应用. 培养学生观察、分析、归纳、推理的能力. 自主学习、练讲结合

教学方法

课型 动

新授课

教具

多媒体







学 生 活 动

一、复习回顾 1.数列的定义,项及项数的概念. 2.数列的分类. 3.数列的表示方法. 4.数列的通项公式. 5.数列的前 n 项和. 6.递推公式. 7.数列的单调性问题. 二、创设情境、引入新课 回顾本章第 2.1 节开始我们遇到的数列①,②: 某剧场有 30 排座位,第一排有 20 个座位,从第二排起,后一排都 比前一排多 2 个座位,那么各排的座位数依次为 ① 20, 22, 24, 26, 28,? . 人们在 1740 年发现了一颗慧星, 并推算出这颗慧星每隔 83 年出现 一次,那么从发现那次算起,这颗慧星出现的年份依次为 ② 1740,1823,1906,1989, 2072,? . 再考察下面的问题: 第 23 届到第 28 届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996, 2000, 2004 . 某电信公司的计费标准是: 通话时间不超过 3 分钟, 收话费 0.2 元, 以后每分钟收话费 0.1 元,那么通话费按从小到大的次序依次为

0.2,0.2 ? 0.1,0.2 ? 0.1? 2,0.2 ? 0.1? 3,? . 如果 1 年期储蓄的月利率为 1.65 ‰,那么将 10000 元分别存 1 个 月, 2 个月, 3 个月, ? , 12 个月,所得的本利和依次为
1

10000 ? 16.5,10000 ? 16.5 ? 2,?,10000 ? 16.5 ?12 .
上面这些数列有什么共同的特点? 三、讲解新课 1.等差数列的定义: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得 的差都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做 等差数列的公差,公差通常用 d 表示. 以上定义用符号表示即为: a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an?1 ? an ? ? ? d , 推关系) ,也可写成 an ? an ?1 ? d ? n ≥ 2 ? 简化形式:an ?1 ? an ? d (这里的 n 取一切正整数) . (这是一个递

下面数列都是等差数列: ①自然数列: 0,1, 2,3, 4,? ;②正偶数列: 2, 4, 6,8,10,? ; ③ 3, ?2, ?7, ?12,? ;④ 21 , 22, 22 , 23, 23 ,? . 设 ? an ? 是一个首项为 a1 , 公差为 d 的等差数列, 则它的第 n 项 an ? ? ? 等差数列的通项公式的推导: a3 , a4 , ⑴ a1 , a2 , …, an , …

1 2

1 2

1 2

a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + ? 4 ? 1? d ,…, a1 + ? n ? 1? d ,…

可以归纳出: an ? a1 + ? n ? 1? d ? am ? ? n ? m ? d . ⑵一般地,对于等差数列 ? an ? 的第 n 项 an ,有

an ? a1 + ? n ? 1? d .
这就是等差数列 ? an ? 的通项公式.其中 a1 为首项, d 为公差. 证 因为 ? an ? 为等差数列,所以当 n ≥ 2 时,有

a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d ,
……

an ? an?1 ? d .
将上面 n ? 1 个等式的两边分别相加,得

an ? a1 ? ? n ? 1? d ,

所以

an ? a1 + ? n ? 1? d ? n ≥ 2 ? .

当 n ? 1 时,上面的等式也成立. 注:等差数列的通项公式的推导过程涉及到两个重要的数学方法: ①归纳法;②叠加法. 2.例题 例 1 判断下列数列是否为等差数列: ⑴ 1,1,1,1,1 ; ⑵ 4,7,10,13,16 ; ⑶ ?3, ?2, ?1,1, 2,3 ;
2

解:⑴所给数列是首项为 1 ,公差为 0 的等差数列. ⑵所给数列是首项为 4 ,公差为 3 的等差数列. ⑶因为 ?1 ? ? ?2 ? ? 1 ? ? ?1? , 所以这个数列不是等差数列. 例 2 求出下列等差数列中的未知项: ⑴ 3, a,5 ; ⑵ 3, b, c, ?9 解:⑴根据题意,得 a ? 3 ? 5 ? a , 解得 a ? 4. ⑵根据题意,得 ?

?b ? 3 ? c ? b, ?b ? ?1, 解得 ? ? c ? b ? ?9 ? c , ?c ? ?5.

注:①如果 a, A, b 三个数成等差数列,那么 A ? 如果 A ?

a +b ; 2

a +b ,则 a, A, b 三个数成等差数列. 2 a +b 我们把 A ? 叫做 a 和 b 的等差中项. 2 3?5 由上面的⑴可以直接用结论,得出 a ? ? 4. 2 ② 由 等 差 数 列 的 定 义 , 我 们 知 道 b ? 3 ? d , c ? 3 ? 2d , 其中 d 是此等差数列的公差, 于是可得 d ? ?4 , ?9 ? 3 ? 3d , b ? ?1 , c ? ?5 . a + an ?1 例 3 ⑴在等差数列 ? an ? 中,是否有 an ? n ?1 ? n ≥ 2? ? 2 ⑵在数列 ? an ? 中,如果对于任意的正整数 n ? n ≥ 2 ? ,都有

an ?1 + an ?1 ,那么数列 ? an ? 一定是等差数列吗? 2 解:⑴因为 ? an ? 是等差数列,所以 an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? n ≥ 2 ? , an ?
所以 an ?

⑵在数列 ? an ? 中,如果对于任意的正整数 n ? n ≥ 2 ? ,都有

an ?1 + an ?1 . 2 an ?

an ?1 + an ?1 , 2 那么, an ?1 ? an ? an ? an ?1 ? n ≥ 2 ? ,
等,所以数列 ? an ? 是等差数列. 这表明, 这个数列从第 2 项起, 后一项减去前一项所得的差始终相

四、练习 1.P34 1,2,3,4,5 说明:练习 4,5 告诉我们:一个等差数列:掐头去尾、颠颠倒倒、挑
3

挑拣拣、加减乘除(正确理解这一特征)后,仍为等差数列. 2.已知下列数列为等差数列,填空: ①?

? , 5,8 ; ② 2, 2 2, ? ? ; ③ 2, ? ? , ? ? , ?6 .


3.已知两个数列 x, a1 , a2 , a3 , y 与 x, b1 , b2 , y 都是等差数列,且 x ? y ,

a2 ? a1 的值为 . b2 ? b1 4. 在 ?ABC 中, 已知角 A, B, C 成等差数列, 则 sin B ? , . cos A + cos C 的取值范围是 解:因为角 A, B, C 成等差数列,所以 2B ? A + C ,又 A ? B ? C ? ? ,
所以 B ?

? 3 ? ,所以 sin B ? sin ? . 3 2 3 ?? ?? ?? ? ? 因为 A + C ? ,所以 C ? ? A? 0 ? A ? ?, 3 3 ? 3 ? ? ?? ? cos A + cos C ? cos A + cos ? ? A? ? 3 ?
? cos A + cos ?? ?? cos A + sin sin A 3 3

1 3 ?? ? cos A + sin A ? sin ? A + ? , 2 2 6? ? 1 ?? ? ? ?? ? 因为 ? A + ? ,所以 ? sin ? A + ? ≤1 , 2 6? 6 6 6 ? ?1 ? 即 cos A + cos C 的取值范围是 ? ,1? . ?2 ? 2 5. 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , 若 Sn ? n ? n + 1 , 试问: 数列 ? an ? ?
是等差数列吗?请说明理由. 五、小结 本节课学习了以下内容: 1.等差数列的概念,判断一个数列是等差数列的方法; 2.等差中项的概念.

作业

P39 1,2,8 板 书 设 计

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