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高中数学 2.5《平面向量应用举例》教学设计


2.5《平面向量应用举例》教学设计
【教学目标】 1.通过应用举例,让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法,可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题; 2.通过本节的学习, 让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用, 增强学生的 积极主动的探究意识,培养创新精神. 【导入新课】 回顾提问:

/>??? ? ??? ? ???? ? (1)若 O 为 ?ABC 重心,则 OA + OB + OC = 0 .

???? 1 ??? ???? ??? ? ? (2) 水渠横断面是四边形 ABCD , DC = AB ,且 | AD |= | BC |,则这个四边形为等腰梯 2
形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么? 教师:本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题;掌握向量法和坐标法,以 及用向量解决平面几何和物理问题的步骤, 已经布置学生们课前预习了这部分, 检查学生预 习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来. 新授课阶段 探究一: (1)向量运 算与几何中的结论"若 a ? b ,则 | a |?| b | ,且 a, b 所在直线平行 或重合"相类比,你有什么体会?(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例. 教师:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及 数量积表示出来: 例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图: 平行四边行

?

?

?

?

? ?

??? ? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ABCD 中,设 AB = a , AD = b ,则 AC ? AB ? BC ? a ? b (平移) ,

???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? ???? 2 ? 2 ???? DB ? AB ? AD ? a ? b , AD ? b ?| AD |2 (长度) .向量 AD , AB 的夹角为 ?DAB .因此,
可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算 研究几何运算之间的关系,如距 离、夹角等.把运算结果 “翻译”成几何关系.本节课,我们就通过几个具体实例,来说 明向量方法在平面几何中的运用 例 1 证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:平行四边形 ABCD.

1

求证: AC ? BD ? AB ? BC ? CD ? DA .
2 2 2 2 2 2

分析:用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,我们常常要考虑向量的数量积.注意 到 AC ? AB ? AD , DB ? AB ? AD ,我们计算 | AC |2 和 | BD |2 . 证明:不妨设 AB ? a, AD ? b,则

???? ?

???? ???? ?

???? ?

???? ???? ?

???? ?

???? ?

????

???? ?

???? ? ???? ? ???? ???? ? AC ? a+b, DB ? a-b, | AB |2 ? |a|2, | AD |2 ? |b|2.
得 | AC |2 ? AC ? AC ? ( a+b)·( a+b) = a·a+ a·b+b·a+b·b= |a| +2 a·b+|b| . 同理, | DB |2 ? |a| -2a·b+|b| .
2 2 2 2

???? ?

???? ? ???? ?

① ②

???? ?

①+②得

???? ? ???? ? ???? ???? ? | AC |2 ? | DB |2 ? 2(|a|2+|b|2)=2( | AB |2 ? | AD |2 ).

所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 师:你能用几何方法解决这个问题吗? 让学生体会几何方法与向量方法的区别与难易情况. 师:由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性, 他把一个思辨过程变成了一个算法过程, 可以按照一定的程序进行运算操作, 从而降低了思 考问题的难度. 用向量方法解决平面几何问题,主要是下面三个步骤: ⑴建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转 化为向量问题; ⑵通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ⑶把运算结果“翻译”成几何关系. 变式训练: ?ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,BF 与 CD 交于点 O,设

???? ??? ? ? ??? ? ? ? ? (2)用 a, b 表示向量 AO . AB ? a, AC ? b. (1)证明 A、O、E 三点共线;
例 2 如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、DC 边的中 点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能发现 AR、RT、TC 之间的关 系吗? 分析:由于 R、T 是对角线 AC 上两点,所以要判断 AR、RT、TC 之间的关系,只需要分 别判断 AR、RT、TC 与 AC 之间的关系即可.
2

解:设 AB ? a, AD ? b,则 AC ? a+b. 因为 AR 与 AC 共线,因此,存在实数 m,使得 AR =m(a+b). 又因为 BR 与 BE 共线,因此存在实数 n,使得 BR =n BE = n( 由 AR ? AB ? BR = AB ? n BE ,得 m(a+b)= a+ n( 整理得 (m ? n ? 1) a+ (m ?

????

???? ?

???? ?

????

???? ?

????

????

????

????

????

????

???? ???? ????

????

1 b- a). 2

1 b- a). 2

1 n) b=0. 2

由于向量 a、b 不共线,所以有

1 ? m? , ? m ? n ? 1 ? 0, ? ? ? 3 解得 ? ? 1 m ? n ? 0, ?n ? 2 . ? ? 2 ? 3 ?

? 1 ???? AC . 3 ???? 1 ???? ? 同理 TC ? AC . 3 ???? 1 ???? ? 于是 RT ? AC . 3
所以 AR ? 所以 AR=RT=TC. 说明:本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法,待定系数法 使用向量方法证明平面几何问题的常用方法. 探 究二: (1)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么? (2)在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.为什么? 师:向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然 后通过向量运算解决向量问题,最后再用所获得的结果解释物理现象. 例 3 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹 角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从 数学的角度解释这种现象吗? 分析:上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型.只要分析清楚 F、G、 ? 三者之 间的关系(其中 F 为 F1、F2 的合力),就得到了问题的数学解释. 解:不妨设|F1|=|F2|, 由向量加法的平行四边形法则,物理的平衡原理以及直角三角 形的指示,可以得到

????

3

|F1|=

?? ? |G | 2 cos

?
2



通过上面的式子我们发现,当 ? 由 0 ~ 180 逐渐变大时,
? ?

cos

?
2

? ? ? 由 0 ~ 90 逐渐变大, 2

的值由大逐渐变小,因此,|F1|有小逐渐变大,即 F1、F2 之间的夹角越大越费力,夹

角越小越省力. 师:请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题: ⑴ ? 为何值时,|F1|最小,最小值是多少? ⑵|F1|能等于|G|吗?为什么? 例 4 如图, 一条河的两岸平行, 河的宽度 d ? 500 m, 一艘船从 A 处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h, 水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间 是多少(精确到 0.1min)? 分析:如果水是静止的,则船只要取垂直于对岸的方 向行驶,就能使行驶航程最短,所用时间最短.考虑到水 的流速, 要使船的行驶航程最短, 那么船的速度与水流速度的合速度 v 必须垂直于对岸. (用 《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响) 解: | v | = | v1 | ? | v2 | ? 96 (km/h),
2 2

? ?

??

?? ?

? ? 所以, t ? ?

d |v |

0.5 ? 60 ? 3.1 (min). 96

答:行驶航程最短时,所用的时间是 3.1 min. 本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释,即“分析”中给出的船必须垂直于河 岸行驶,这是船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸,分析清楚这种关系后,本例就 容易解决了. 例 5 已知 | a |? 2 | b |? 3 , a与b 的夹角为 60 , c ? 5a ? 3b , d ? 3a ? k b ,当实数 k 为
o

何值时,⑴ c ∥ d ?⑵ c ? d ? 解:⑴若 c ∥ d ,得 k

?

9 ; 5
4

⑵若 c ? d ,得 k ? ?

29 . 14

例 6 如图,ABCD 为正方形,P 是对角线 DB 上一点,PECF 为矩形,求证:①PA=EF; ②PA⊥EF. 解:以 D 为原点, DC 为 x 轴正方向建立直角坐标系,则 A( 0,1), C:(1,0), B:(1,1).

设DP ? r , 则P(

2 2 r, r). 2 2

??? ? 2 2 ? PA ? (? r,1 ? r ). 2 2 ? E点为(1, ??? ? 2 2 2 2 r ), F : ( r,0), ? EF ? ( r ? 1, ? r ). 2 2 2 2
??? ? 2 2 2 2 ?| EF |? (1 ? r ) ? (? r) . 2 2

??? ? 2 2 2 2 ?| PA |? (? r ) ? (1 ? r) . 2 2

故 PA ? EF.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 而PA ? EF ? 0 ? PA ? EF .

例 7 如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点, 求证: PA +PB +PC +PD =8r . 证明:? BD ? PD ? PB, AC ? PC ? PA,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ? ??? ? ?| BD |2 ? ( PD ? PB) 2 ?| PD |2 ?2 PBPD? | PB |2 , ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ? ??? ? | AC |2 ? ( PC ? PA) 2 ?| PC |2 ?2 PC PA? | PA |2 .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BD, AC为直径, 故PD ? PB, PA ? PC ? PD ? PB ? PA ? PC ? 0. ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ?
2 2 2 2 2

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | BD |2 ? | AC |2 ?| PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 ,

即 4r 2 ? 4r 2 ? PA2 ? PB 2 ? PC 2 ? PD 2 ? 8r 2 . 例 8 已知 P 为△ABC 内一点, 且 3 AP +4 BP +5 CP = 0 . 延长 AP 交 BC 于点 D, 若 AB = a , AC = b ,用 a 、 b 表示向量 AP 、 AD . 解:∵ BP = AP - AB = AP - a , CP = AP - AC = AP - b , 又 3 AP +4 BP +5 CP = 0 ,∴ 3 AP +4( AP - a )+5( AP - b )= 0 ,

5

化简,得 AP =

1 5 ,则 a + b . 设 AD =t AP (t∈R) 3 12 1 5 AD = t a + t b . ① 3 12
, BD =k BC (k∈R)

又设 由 而 ∴

BC = AC - AB = b - a ,得
AD = AB + BD = a + BD ,

. BD =k( b - a )

AD = a +k( b - a )=(1-k) a +k b .



由①②,得

?1 t ? 1? k ? 4 ?3 解得 t = . 将之代入①,有 ? 3 ? 5 t ? k. ? ?12

AD =

4 5 a+ b. 9 9

课堂小结 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”? (1) (2) (3) 作业 见同步练习 拓展提升 一、 选择题 1.给出下面四个结论: ① 若线段 AC=AB+BC,则向量 AC ? AB ? BC ; ② 若向量 AC ? AB ? BC ,则线段 AC=AB+BC; ③ 若向量 AB 与 BC 共线,则线段 AC=AB+BC; ④ 若向量 AB 建立平面几何与向量的联系, 通过向量运算,研究几何元素之间的关系, 把运算结果“翻译”成几何关系.

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?
??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

与 BC 反向共线,则 AB ? BC ? AB ? BC . ( )
6

??? ?

其中正确的结论有

A. 0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

2.河水的流速为 2 m / s ,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m / s 的速度驶向对岸,则小 船的静止速度大小为 ( A.10 m / s ) C. 4 6 m / s D.12 m / s )

B. 2 26 m / s

3.在 ?ABC 中,若 (CA ? CB) ? (CA ? CB) =0,则 ?ABC 为 ( A.正三角形 二、填空题 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定

4.已知 ?ABC 两边的向量 AB ? e1 , AC ? e2 ,则 BC 边上的中线向量 AM 用 e1 、 e2 表 示为 .

参考答案 1.B 2.B 3.C 4. AM ?

1 (e1 ? e2 ) 2

7


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