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2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程高效测评新人教A版选修1-1资料


2016-2017 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及 其标准方程高效测评 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.动点 P 到点 M(1,0)及点 N(3,0)的距离之差为 2,则点 P 的轨迹是( A.双曲线 C.两条射线 B.双曲线的一支 D.一条射线 )

解析: 由已知|PM|-|PN|=2=|MN|,所以点 P 的轨迹是一条以 N 为端点的射线 NP. 答案: D 2. 已知双曲线 C:2- 2=1 的焦距为 10, 点 P(2,1)在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为( A. C. - =1 20 5 - =1 80 20

x2 y2 a b

)

x2 x2

y2

B. - =1 5 20 D. - =1 20 80

x2

y2

y2

x2

y2

解析: 由焦距为 10,知 2c=10,c=5.将 p(2,1)代入 y= x 得 a=2b.a +b =c 5b =25,b =5,a =4b =20,所以方程为 - =1. 20 5 答案: A
2 2 2

b a

2

2

2,

2

x2

y2

?9 ? 3.已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线过点(3,-4 2),? ,5?,则双曲线的标 ?4 ?
准方程为( A. C. )

- =1 16 9 - =1 16 9

y

2

x

2

B. - =-1 16 9 D. - =-1 16 9

y2 x2

x2 y2

x2

y2

解析:
2

y2 x2 ?9 ? 设所求双曲线方程为 2- 2=1,将(3,-4 2)、? ,5?代入方程,联立解方 a b ?4 ?
2

程组得 a =16,b =9. 答案: A 4.椭圆 + =1(m>n>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F1 和 F2,P 是两条 曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为( )

x2 y2 m n

x2 y2 a b

1

1 A. (m-a) 2 C.m -a
2 2

B.m-a

2

D. m- a

解析: 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2 m, 由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=2a, 所以|PF1|·|PF2|=m-a . 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.与双曲线 - =1 具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可). 8 10 解析: 与 - =1 具有相同焦点的双曲线方程为 - =1(-8<k<10). 8 10 8+k 10-k 答案:
2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

x2
6



y2
12

=1

y2 x2 6.设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 - =1 的一个焦点,则 m=________. m 9
解析: 由已知条件知 m+9=5 ,所以 m=16. 答案: 16 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.设圆 C 与两圆(x+ 5) +y =4,(x- 5) +y =4 中的一个内切,另一个外切,求
2 2 2 2 2

C 的圆心轨迹 L 的方程.
解析: 依题意得两圆的圆心分别为 F1(- 5,0),F2( 5,0),从而可得|CF1|+2=

|CF2|-2 或|CF2|+2=|CF1|-2, 所以||CF2|-|CF1||=4<|F1F2|=2 5. 所以圆心 C 的轨迹是双曲线, 其中 2a=4,2c=|F1F2|=2 5, 即 a=2,c= 5,所以 b =c -a =1, 故轨迹 L 的方程为 -y =1. 4 8.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=2 5,经过点 A(2,-5),焦点在 y 轴上; (2)焦点分别为 F1(-10,0),F2(10,0),且经过点(3 5,-4);
2 2 2

x2

2

? 4 10? (3)a=4,经过点 A?1, ?. 3 ? ?
解析: (1)因为双曲线的焦点在 y 轴上,
2

所以双曲线的标准方程可设为 2- 2=1(a>0,b>0). 由题设知,a=2 5,且点 A(2,-5)在双曲线上,

y2 x2 a b

? ?a=2 5, 所以?25 4 2 - 2=1, ? ?a b

解得 a =20,b =16.

2

2

故所求双曲线的标准方程为

- =1. 20 16

y2

x2

(2)由题设知双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=10.

x2 y2 所以可设它的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b
从而将双曲线的标准方程化为

x2

100-b

2- 2=1,

y2 b

将点(3 5,-4)代入并化简整理, 得 b -39b -1 600=0, 解得 b =64 或 b =-25(舍去), 故所求双曲线的标准方程为 - =1. 36 64
2 2 4 2

x2

y2

x2 y2 (3)若所求的双曲线标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b
则将 a=4 代入得 - 2=1. 16 b

x2

y2

? 4 10? ∵点 A?1, ?在双曲线上, 3 ? ?
∴ 1 160 - 2 =1, 16 9b
2

由此得 b <0,不合题意舍去. 若所求的双曲线标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 同理解得 b =9. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 16 9
2

y2 x2 a b

y2

x2

9. (10 分) 设 P 为双曲线 x -

2

y2
12

= 1 上的一点, F1, F2 是该双曲线的两个焦点,若

|PF1|∶|PF2|=3∶2,求△PF1F2 的面积. 解析: 由已知得 2a=2,
3

又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2, ∵|PF1|∶|PF2|=3∶2,∴|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2 13, 6 +4 -52 由余弦定理,得 cos∠F1PF2= =0, 2×6×4 1 ∴三角形为直角三角形.∴S△PF1F2= ×6×4=12. 2
2 2

4


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