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数学卷·2017届辽宁省沈阳二中高一上学期期末考试(2015.01)


沈阳二中 2014—2015 学年度上学期期末考试 高一(17 届)数学试题
命题人:高一数学组 审校人:高一数学组
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题卡上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. 设集合 P

(满分 60 分



= {x | x 2 - 2 3 x ? 0}, m = 2 0.3 ,则下列关系中正确的是
B. m ? P C. {m} ? P ) D. (-?, 2) ) D. {m} ? ?P

A. m ? P
2 .函数 y

=

log 2 ( x - 1) 的定义域是( 2- x
B. (1, 2)

A. (1, 2]
3.

C. (2, +?)

已知空间两条不同的直线 m, n 和两个不同的平面 a , b ,则下列命题正确 的是( .. A.若 m // a , n ? a ,则 m // n C.若 m // a , n // a ,则 m // n B.若 a I b = m, m ^ n ,则 n ^ a ). ?1?x C.y=? ÷ è2? D.若 m // a , m ? b , a I b = n ,则 m // n D.y=x+ 1 x

4 .下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(

A.y=ln(x+2)

B.y=- x+1

5. 在空间直角坐标系中, 以点 A(4,1,9) ,B (10,-1,6) , C ( x, 4,3) 为顶点的 DABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,则实数 x 的值为( ) A. - 2 B. 2 C. 6 D. 2 或 6

?1? 6 . 已知函数 f ( x) = lg x - ? ÷ 有两个零点 x1 , x2 ,则有( è2?
A. x1 x2 < 0 B. x1 x2 = 1 C. x1 x2 > 1 )
7 .设 A, B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 ,且

x



D. 0 < x1 x2 < 1

PA = PB ,若直线 PA 的
D. 2 x + y - 7 = 0

方程为 x - y + 1 = 0 ,则直线 PB 的方程是( A. x + y - 5 = 0
8 .曲线

B. 2 x - y - 1 = 0

C. 2 y - x - 4 = 0

y = 4 - x 2 + 1 (-2 ? x ? 2) 与直线 y = kx - 2k + 4 有两个不同的交点时实数 k 的


范围是( A. (

5 3 , ] 12 4 1 3 C. ( , ) 3 4

5 , +?) 12 5 3 D. (-?, ) U ( , +?) 12 4
B. (

9.已知一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积是( ) A.

23 3

B.

23 6
第 1 页 共 7 页

C.

11 3

D.

10 3 2 3 6 , , ,则该三棱锥 2 2 2

10.三棱锥 P - ABC 三条侧棱两两垂直,三个侧面面积分别为

的外接球表面积为( A.



4p

B.

6p
2

C.

8p

D. 10p

1 ì ?x + , x > 0 11. 已知函数 f ( x ) = - x - 2 x, g ( x ) = í 若方程 g é 4x ? f ( x )ù ? - a = 0 的实数根 ? ? x + 1, x ? 0
的个数有 4 个,则 a 的取值范围( A. ) C.

é 5? 1, ÷ ê ? 4?
2 2

B.

[1, +? )

(1, +? )

D. ? -

? 5 ù ,1 è 4 ú ?

12.已知 x + y - 4 x - 2 y - 4 = 0 ,求 A. 2 B.

17 4

C.

29 5

2x + 3y + 3 的最大值_______________ x+3 13 D. 13 4

第Ⅱ卷

(满分 90 分)

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

ì x - 2, ( x ? 10) f ( x) = í ,则 f (5) 的值为___________________ ? f [ f ( x + 6)], ( x < 10) 2 2 14.已知圆 C: ( x - 2 ) + ( y - 3) = 25 ,点 P ( -1,7) ,过点 P 作圆的切线,则该切线的一般
13. 设

式方程为________________ 15. 已知函数 f ( x) = x + ax + 3 - a ,若 x ? [ -2, 2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围
2

_________________________ 16. 已知函数 f ( x ) = log 1 x 的定义域为 [a, b] ,值域为 [0, t ] ,用含 t 的表达式表示 b - a 的 最大值为 M (t ) , 最小值为 N (t ) , 若设 g (t ) = M (t ) - N (t ) , 则当 1 ? t < 2 时,g (t ) × [g (t ) + 1] 的取值范围是_______________ 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.[10 分]若 0 ? x ? 2 ,求函数 y
3

=4

x-

1 2

- 3 · 2 x + 5 的最大值和最小值.

第 2 页 共 7 页

18. [12 分]求过点 A(2,-1) ,圆心在直线 y

= -2 x 上, 且与直线 x + y - 1 = 0 相切的圆的方程. = 2 AD = 2 3 , AC = BC , F

19.[12 分]如图: C , D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB

是 AB 上一点,且 AF =

1 AB ,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 3
C C A F E

上,已知 CE = 2 . (1)求证: AD ^ 平面 BCE ; (2)求证: AD / / 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A - CFD 的体积.

A

F

B

B D

D 20. [12 分] 已知点 A(-3,0),B(3,0),动点 P 满足|PA|=2|PB|. (1)若点 P 的轨迹为曲线 C,求此曲线的方程;

(2)若点 Q 在直线 l1 :x+y+3=0 上,直线 l2 经过点 Q 且与曲线 C 只有一个公共点 M, 求|QM|的最小值.

21.[12 分]已知函数

f ( x ) = log a

1 - mx 是奇函数 ( a < 0且a ? 1) x -1

(1)求 m 的值 (2)判断 f ( x ) 在区间 (1, +? ) 上的单调性并加以证明 (3)当 a > 1, x ? 1, 3 时, f ( x ) 的值域是 (1, +? ) ,求 a 的值

(

)

22. [12 分 ] 已知函数 f ( x) = x +

m ( m 为正的常 数) , 它在 (0, +?) 内 的 单调变化 是: 在 x

(0, m ] 内递减,在 [ m , +?) 内递增.其第一象限内的图象形如一个“对号”.请使用 这一 .....
性质完成 下面的问题. .........

a 在 (0,1] 内为减函数,求正数 a 的取值范围; x 2 2 (2)若圆 C : x + y - 2 x - 2 y + 1 = 0 与直线 l : y = kx 相交于 P 、Q 两点,点 M (0, b) 且 MP ^ MQ .求当 b ? [1, +?) 时, k 的取值范围.
(1)若函数 g ( x) = 2 x +

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沈阳二中 2014—2015 学年度上学期期末考试 高一(17 届)数学答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

DBDAD DAADB AB 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) (13). 11 ,
三、解答题

(14)

3x-4y+31=0 , (15)

[-7,2] ,

(16)

[6, 72 )

17. 解:原式可变形为 y = 4 · 4
x

-

1 2

- 3 · 2x + 5 ,

(2 分) (4 分) (6 分) (8 分)

2 1 · ( 2x ) - 3 · 2x + 5 ( 0 ? x ? 2) 2 1 2 x 令 2 = t ,则问题转化为 y = t - 3t + 5 (1 ? t ? 4 ) 2 1 1 2 将函数配方有 y = ( t - 3) + (1 ? x ? 4 ) 2 2

即y=

根据二次函数的区间及最值可知:

1 . 2 5 当 t = 1 ,即 x = 0 时,函数取得最大值,最大值为 . 2
当 t = 3 ,即 2 = 3 时,函数取得最小值,最小值为
x

(10 分) (12 分)

解:设圆心为 (a,-2a ) ,圆的方程为 18.

( x - a )2 + ( y + 2 a )2 = r 2
ì(2 - a )2 + (- 1 + 2a )2 = r 2 ? 则 í a - 2a - 1 =r ? 2 ?
解得 a = 1 , r =

(2 分)

(6 分)

2
2 2

(10 分) (12 分)

因此,所求得圆的方程为 ( x - 1) + ( y + 2 ) = 2 19. (1)证明:依题意: AD ^ BD

Q CE ^ 平面 ABD Q BD I CE = E

∴ CE ^ AD ∴ AD ^ 平面 BCE . ………………4 分

(2)证明: RtDBCE 中, CE =

2 , BC = 6 ∴ BE = 2
第 4 页 共 7 页

RtDABD 中, AB = 2 3 , AD = 3 ∴ BD = 3 .


BF BE 2 = = . ∴ AD // EF BA BD 3

Q AD 在平面 CEF 外, EF 在平面 CEF 内,
∴ AD // 平面 CEF . ………………8 分

(3)解:由(2)知 AD // EF , AD ^ ED ,且 ED = BD - BE = 1 ∴ F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离为 1.

S DFAD =

1 3 × 3 ×1 = . 2 2

Q CE ^ 平面 ABD
∴ V A-CFD = VC - AFD =

1 1 3 6 . ………………12 分 × S DFAD × CE = × × 2= 3 3 2 6
2

20. :(1)设点 P 的坐标为(x,y), 则

x+3

2

+y =2
2 2

x-3

2

+y ,

2

化得可得(x-5) +y =16 即为所求.-------------------4 分 (2)曲线 C 是以点(5,0)为圆心,4 为半径的圆,如图.

由题意知直线 l2 是此圆的切线,连接 CQ, 则|QM|= |CQ| -|CM| = |CQ| -16, 当 CQ⊥l1 时,|CQ|取最小值,|CQ|= |5+3| =4 2, 2
2 2 2

此时|QM|的最小值为 32-16=4.----------12 分 21. (1)Q f ( x ) 是奇函数

第 5 页 共 7 页

\ f ( - x ) = - f ( x ) 在其定义域内恒成立,即 log a

1 + mx 1 - mx = - log a -x -1 x -1

\1 - m 2 x 2 = 1 - x 2 \ m = -1或m = 1( 舍去 ) \ m = -1 -----------4 分
(2)由(1)得 f ( x ) = log a 设 t ( x) =

x +1 , 任取 x1 , x2 ? (1, +? ) , 且x1 < x2 x -1

x +1 ( a > 0且a ? 1) x -1

\ t ( x1 ) - t ( x2 ) =

2 ( x2 - x1 ) x1 + 1 x2 + 1 = x1 - 1 x2 - 1 ( x1 - 1)( x2 - 1) x1 + 1 x2 + 1 > x1 - 1 x2 - 1

Q x1 > 1, x2 > 1, x1 < x2 \ t ( x1 ) > t ( x2 )即
所以当 a > 1 时, log a

x1 + 1 x +1 > log a 2 即f ( x1 ) > f ( x2 ) 函数为减函数 x1 - 1 x2 - 1 x1 + 1 x +1 < log a 2 即f ( x1 ) < f ( x2 ) 函数为增函数------8 分 x1 - 1 x2 - 1

所以当 0 < a < 1 时, log a

(3)当 a > 1 时, f ( x ) = log a

x +1 在 1, 3 上位减函数,要使 f ( x ) 在 1, 3 上值域是 x -1 x +1 x +1 2 x +1 > 1 ,可得 > a 。令 g ( x ) = = 1+ 在 1, 3 上是减函 (1, +? ) ,即 log a x -1 x -1 x -1 x -1

(

)

( (

) )

数。所以 g ( x ) ? ? 1 +

? è

2 2 ? , +? ÷ 所以 a = 1 + = 2 + 3 。所以 a = 2 + 3 3 -1 3 -1 ?

a a a 22. 1)由性质,可知函数 g ( x) = 2 x + = 2( x + 2 )(a > 0) 在 (0, ] 内为减函数. x x 2 a a ] ,故 ?1 得a ? 2 2 2 ∴ a 的取值范围是 [2, +?) . (2)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ∵ MP ^ MQ ∴ k MP gk MQ = -1
依题意, (0,1] ? (0, ∴

( y1 - b)( y2 - b) = -1 即 x1 x2 + ( y1 - b)( y2 - b) = 0 x1 x2 又 y1 = kx1 , y2 = kx2
∴ x1 x2 + ( kx1 - b)(kx2 - b) = 0 即 (1 + k ) x1 x2 - kb( x1 + x2 ) + b = 0 ()
2 2

由í

ì ? y = kx 2 2 得 (1 + k ) x - 2(1 + k ) x + 1 = 0 2 2 ? ?x + y - 2x - 2 y +1 = 0
第 6 页 共 7 页

由 D = [2(1 + k )] - 4(1 + k ) = 8k > 0
2 2

得k > 0



2(1 + k ) 1 , x1 x2 = 代入()中得 2 1+ k 1+ k 2 1 2(1 + k ) 2 (1 + k 2 ) - kb +b = 0 2 1+ k 1+ k 2 2k (1 + k ) 1 即 =b+ . 2 1+ k b 1 1 1 由性质知, b + 在 b ? [1, +?) 时为增,故 b + ? 1 + = 2 . b b 1 2k (1 + k ) ∴ ? 2 ,得 k ? 1 ② 1+ k 2 由①②得 k ? 1 .
且 x1 + x2 =

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