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2016-2017学年高中数学苏教版选修2-3学业测评:2.3.2 事件的独立性 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1 1.从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为3,视力合 1 1 格的概率为6,其他几项标准合格的概率为5,从中任选一名学生,则该生三项均 合格的概率为(假设三项标准互不影响)________. 【解析】 【答案】 1 1 1 1 该生三项均合格的概率为3×6×5=90. 1 90

2.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为 p 和 q,则恰有一株成活 的概率为________. 【导学号:29440048】 【解析】 由于两株花卉成活与否互不影响,故恰有一株成活的概率为 p(1

-q)+q(1-p)=p+q-2pq. 【答案】 p+q-2pq

3.如图 232 所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机 会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________.

图 232 4 2 【解析】 左边圆盘指针落在奇数区域的概率为6=3,右边圆盘指针落在奇 2 2 2 4 数区域的概率为3,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为3×3=9. 【答案】 4 9

4.在某道路 A,B,C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时 间分别为 25 秒、35 秒、45 秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车

的概率为________. 5 7 3 【解析】 由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为12,12,4.在这 5 7 3 35 个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为12×12×4=192. 【答案】 35 192

1 5.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为5,身 1 体关节构造合格的概率为4,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是 ______.(假定体型与身体结构合格与否相互之间没有影响) 1?? 1? 3 ? 【解析】 这两项都不合格的概率是?1-5??1-4?=5, 所以至少有一项合格 ? ?? ? 3 2 的概率是 1-5=5. 【答案】 2 5

6.如图 233,用 K,A1,A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工 作且 A1,A2 至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知 K,A1,A2 正常工作 的概率依次为 0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为________.

图 233 【解析】 可知 K,A1,A2 三类元件是否正常工作相互独立,所以 A1,A2

至少有一个正常工作的概率为 1-(1-0.8)2=0.96, 所以系统正常工作的概率为 0.9×0.96=0.864. 【答案】 0.864

7.(2016· 济南高二检测)甲袋中有 8 个白球,4 个红球,乙袋中有 6 个白球, 6 个红球,从每袋中任取一球,则取到相同颜色的球的概率是________. 8 2 4 1 【解析】 从甲袋中任取一球是白球的概率为12=3, 是红球的概率为12=3; 6 1 6 1 从乙袋中任取一球是白球的概率为12=2,是红球的概率为12=2,故所求事件的

2 1 1 1 1 概率为3×2+3×2=2. 【答案】 1 2

8.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源, 大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫 星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为 0.8,0.7,0.9 , 各 卫 星 间 相 互 独 立 , 则 在 同 一 时 刻 至 少 有 两 颗 预 报 准 确 的 是 ________. 【解析】 设甲、乙、丙预报准确依次记为事件 A,B,C,不准确记为 A , B,C, 则 P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(C)=0.9, P( A )=0.2, P( B )=0.3, P( C )=0.1, 至少两颗预报准确的事件有 AB C ,A B C, A BC,ABC,这四个事件两两 互斥且独立. ∴至少两颗预报准确的概率为 P=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)+P(ABC) =0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9 =0.056+0.216+0.126+0.504=0.902. 【答案】 二、解答题 9.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为 0.5,购买乙种保险 的概率为 0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率; (2)求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 【解】 记 A 表示事件:该地的 1 位车主购买甲种保险; 0.902

B 表示事件:该地的 1 位车主购买乙种保险; C 表示事件:该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种; D 表示事件:该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买; E 表示事件:该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买.

(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8. (2)D= C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, P(E)=0.8×0.2×0.8+0.8×0.8×0.2+0.2×0.8×0.8=0.384. 10.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位游客游览这 3 个景点的概率分 别是 0.4,0.5,0.6,且游客是否游览哪个景点互不影响,用 ξ 表示该游客离开该城 市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值,求 ξ 的分布列. 【解】 设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件 A1,A2,A3,已知 A1,

A2,A3 相互独立,且 P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6,游客游览的景点数可 能取值为 0,1,2,3,相应的游客没有游览的景点数可能取值为 3,2,1,0,所以 ξ 的可 能取值为 1,3. 则 P(ξ=3)=P(A1· A2· A3)+P( A 1·A 2·A 3) =P(A1)· P(A2)· P(A3)+P( A 1)· P( A 2)· P( A 3) =2×0.4×0.5×0.6=0.24. P(ξ=1)=1-0.24=0.76. 所以分布列为: ξ P 1 0.76 3 0.24

[能力提升] 1.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是 ________. 【解析】 1 1 ∵P(A)= ,P(B)= , 2 6

1 5 ∴P( A )=2,P( B )=6. 又 A,B 为相互独立事件, ∴P( A 1 5 5 B )=P( A )P( B )= × = . 2 6 12

∴A,B 中至少有一件发生的概率为

1-P( A 【答案】

5 7 B )=1- = . 12 12 7 12

2.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时, 均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概 率的两倍,如图 234 所示.假设现在青蛙在 A 荷叶上,则跳三次之后停在 A 荷 叶上的概率是________. 【导学号:29440049】

图 234 【解析】 2 1 由已知逆时针跳一次的概率为3,顺时针跳一次的概率为3.则逆

2 2 2 8 时针跳三次停在 A 上的概率为 P1=3×3×3=27, 顺时针跳三次停在 A 上的概率 1 1 1 1 为 P2=3×3×3=27.通过分析跳三次停在 A 荷叶上只有这两种情况, 所以跳三次 8 1 1 之后停在 A 上的概率为 P=P1+P2= + = . 27 27 3 【答案】 1 3

3. 设每门高射炮命中飞机的概率为 0.6, 今有一架飞机来犯, 问需要________ 门高射炮射击,才能至少有 99%的概率击中它.(lg 2=0.301) 【解析】 设需要 n 门高射炮才可达到目的,用 A 表示“命中飞机”,用

Ai 表示“第 i 门高射炮命中飞机”, 则 A1, A2, ?, An 相互独立, 且 A=A1A2?An. ∴P(A)=1-P( A )=1-P( A1 )P( A2 )?P( An )=1-(1-0.6)n, 由 P(A)≥0.99,所以 1-0.4n≥0.99,所以 n≥5.02, 又 n∈N,故 n=6. 【答案】 6

4.在一个选拔项目中,每个选手都要进行四轮考核,每轮设有一个问题, 能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、 5 4 3 1 三、四轮问题的概率分别为6,5,4,3,且各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率; (3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为 X,求随机变量 X 的概率 分布. 【解】 设事件 Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”,由已

5 4 3 1 知 P(A1)=6,P(A2)=5,P(A3)=4,P(A4)=3. (1)设事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”, 则 P(B)=P(A1A2 A3 )=P(A1)P(A2)P( A3 ) 3? 1 5 4 ? =6×5×?1-4?=6. ? ? (2)设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”, 则 P(C)=P( A1 +A1 A2 +A1A2 A3 ) =P( A1 )+P(A1 A2 )+P(A1A2 A3 ) 3? 1 1 5 1 5 4 ? =6+6×5+6×5×?1-4?=2. ? ? (3)X 的可能取值为 1,2,3,4. 1 P(X=1)=P( A1 )=6, 4? 1 5 ? P(X=2)=P(A1 A2 )=6×?1-5?=6, ? ? 3? 1 5 4 ? P(X=3)=P(A1A2 A3 )=6×5×?1-4?=6, ? ? 5 4 3 1 P(X=4)=P(A1A2A3)=6×5×4=2, 所以,X 的概率分布为 X P 1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 2


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