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2012年高考试题分类解析汇编:不等式


2012 年高考真题理科数学解析汇编:不等式
一、选择题 1 . ( 2012 年 高 考 ( 重 庆 理 ) )











? 1 ? A ? ?( x, y) ( y ? x)( y ? ) ? 0? , B ? ( x, y

) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , 则 A ? B 所 表 示 x ? ?

?

?

的平面图形的面积为 A.

( B. ?



3 ? 4

3 5

C.

2 . (2012 年高考(重庆理) 不等式 )

x ?1 ? 0 的解集为 2x ?1
C .

4 ? 7

D.

? 2
( )

A. ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

B. ??

? 1 ? ,1 ? 2 ? ? ? ? 1? ?

1? ? ? ? ?. ? ? ? ?1,??? 2? ?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,??? 2
3 . (2012 年高考(四川理) 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原 )

料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克.每桶甲产 品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求 每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两 种产品中,公司共可获得的最大利润是 ( ) A.1800 元 B.2400 元 C.2800 元 D.3100 元

? x ? 2y ? 2 ? 4 . 2012 年 高考 ( 山东理 ) 已知变量 x , y 满足 约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 ( ) ? 4 x ? y ? ?1 ?
z ? 3 x ? y 的取值范围是
A. [ ? ( )

3 , 6] 2

B. [ ?

3 , ?1] 2

C. [?1,6]

D. [ ?6, ] ( )

3 2

5 . (2012 年高考(辽宁理) 若 x ? [0, ??) ,则下列不等式恒成立的是 )

A. e ? 1 ? x ? x
x

2

B.

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x
1 2 x 8

1 C. cos x… ?

1 2 x 2

x D. ln(1 ? x )… ?

? x ? y ? 10 ? 6 . (2012 年高考(辽宁理) 设变量 x,y 满足 ?0 ? x ? y ? 20, 则 2 x ? 3 y 的最大值为 ) ?0 ? y ? 15 ?
( A.20 B.35 C.45 D.55 )

7 . (2012 年高考(江西理) 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金 )

8

不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本 每吨售价 /亩 黄瓜 4吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植 面积(单位:亩)分别为 ( ) A.50,0 B.30.0 C.20,30 D.0,50 . ( 2012 年 高 考 ( 湖 北 理 ) ) 设 a , b, c , x , y , z 是 正 数 , 且
a 2 ? b2 ? c 2 ? 10 , x2 ? y 2 ? z 2 ? 40 , ax ? by ? cz ? 20 ,则

a?b?c ? x? y?z
D.





A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

3 4

?y ? 2 ? 9 . (2012 年高考(广东理) 已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最大值 ) ?x ? y ? 1 ?
为 A.12 B.11 C.3 D. ?1 ( )

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? x 10.2012 年高考 ( (福建理)若函数 y ? 2 图像上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , ) ? ?x ? m ?
则实数 m 的最大值为 A. ( C. )

1 2

B.1

3 2

D.2 ( )

11. (2012 年高考(福建理) 下列不等式一定成立的是 )

1 2 A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0) 4
C. x ? 1 ? 2 | x | ( x ? R)
2

1 ? 2( x ? k? , k ? Z ) B. sin x ? sin x 1 ? 1( x ? R) D. 2 x ?1

12. (2012 年高考(大纲理) 已知 x ? ln ? , y ? log5 2, z )

? e 2 ,则
D. y ? z ? x

?

1





A. x ? y ? z
二、填空题

B. z ? x ? y

C. z ? y ? x

? x, y ? 0 ? 13. (2012 年高考(新课标理) 设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围 ) ? x? y ?3 ?
为_________[来源:]
14 . 2012 年 高 考 ( 浙 江 理 ) 设 a ? R, 若 x>0 时 均 有 [(a-1)x-1]( x -ax-1)≥0, 则 ( )
2

a=______________.
15. (2012 年高考(上海春) 若不等式 x ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? (1, 2) 恒成立,则实数 k 的 )
2

取值范围是______.
16. (2012 年高考(陕西理) 设函数 )

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴 f ( x) ? ? ??2 x ? 1, x ? 0

y

和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则

z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为___________.
17. (2012 年高考(陕西理) 观察下列不等式 )

1 -1

x

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1?
照此规律,第五个不等式为________________________________________. ...

c b c 18. (2012 年高考 (江苏) 已知正数 a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则 )
取值范围是____.

b 的 a

? 19. (2012 年高考(江苏) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, ?R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x ) b
的不等式

f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,则实数 c 的值为____. m

?x ? y ?1 ? 0 ? ? 20. (2012 年高考(大纲理) 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ) ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
_________________.

? x?0 ? 21.2012 年高考 ( (安徽理)若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ) ?2 x ? y ? 3 ?

2012 年高考真题理科数学解析汇编:不等式参考答案 一、选择题

【答案】D [来源:] 【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识, 考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题. 2. 【答案】A
1.

【解析】

?( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0 1 x ?1 ? ?0?? ? ? x ?1 2x ?1 2 ?2 x ? 1 ? 0 ?

【考点定位】 本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质, 属于基 础试题,属基本题. 3. [答案]C [解析]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则 由已知,得 Z=300X+400Y

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? 且? ?X ? 0 ?Y ? 0 ?
画可行域如图所示, 目标函数 Z=300X+400Y 可变形为 Y= ?

3 z x? 4 400

这是随 Z 变化的一族平行直线

解方程组 ?

?2x ? y ? 12 ?x ? 2y ? 12

?x ? 4 即 A(4,4) ?Z max ? 1200? 1600? 2800 ?? ?y ? 4

[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作 (作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).
4. 【解析】 做出不等式所表示的区域如图,由 z ? 3x ? y 得 y ? 3x ? z ,

平 移 直 线 y ? 3x , 由 图 象 可 知 当 直 线 经 过 点 E (2,0) 时 , 直 线

y ? 3x ? z 的截距最小,此时 z 最大为 z ? 3x ? y ? 6 ,当直线经过

?4 x ? y ? ?1 C 点时,直线截距最大,此时 z 最小,由 ? ,解得 ?2 x ? y ? 4
1 ? 3 3 ?x ? 2 ,此时 z ? 3x ? y ? ? 3 ? ? ,所以 z ? 3x ? y 的取值范 ? 2 2 ?y ? 3 ?
围是 [?

3 ,6] ,选 A. 2

5.

【答案】C 【解析】设 f ( x) ? cos x ? (1 ? 所 以

1 2 1 x ) ? cos x ? 1 ? x 2 ,则 g ( x) ? f ?( x) ? ? sin x ? x, 2 2
? ≥, c
所 x? o 以 s 当1

g ?(

? x)

x ?0 ??) [0,

时, g ( x)为增函数,所以g ( x) ? f ?( x)≥g (0) ? 0,

? 同理 f ( x)≥f (0) ? 0, cos x ? (1 ?

1 2 1 x )≥0, cos x… ? x 2 ,故选 C 1 即 2 2

【点评】 本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式, 考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 6. 【答案】D 【解析】画出可行域,根据图形可知当 x=5 ,y=15 时 2x+3y 最大,最大值为 55,故选 D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优 解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值. 7. B 【解析】 本题考查线性规划知识在实际问题中的应用, 同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜 和韭菜的种植面积分别为 x,y 亩,总利润为 z 万元,则目 标 函 数 为

z ? (0.55 ? 4 x ? 1.2 x) ? (0.3 ? 6 y ? 0.9 y) ? x ? 0.9 y .

线 性 约 束 条 件 为

? x ? y ? 50, ?1.2 x ? 0.9 y ? 54, ? 即 ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?

? x ? y ? 50, ?x ? y ? 5 0 , ?4 x ? 3 y ? 180, ?4 x ? 3 ? 1 8 0 , y ? ? 作出不等式组 ? 表示的可行域,易求得点 ? x ? 0, x ? 0, ? ? ? y ? 0. ?y ? 0 ? ?

A? 0,50? , B ?30,20? , C ? 0,45? . [来源:]
平移直线 z ? x ? 0.9 y ,可知当直线 z ? x ? 0.9 y 经过点 B ? 30, 20? ,即 x ? 30, y ? 20 时,z 取得最大值,且 zmax ? 48 (万元).故选 B. 【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求 最值问题.

8.

考点分析:本题主 要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 解析:由于 (a2 ? b2 ? c )(x2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz)2
2

等号成立当且仅当

a b c ? ? ? t , 则 a=t x b=t y c=t z , t 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 x y z
题 知







t ? 1/ 2

,



a b c a?b?c a?b?c ? ? ? , 所以 ? t ? 1 / 2 ,答案选 C. x y z x? y?z x? y?z
9.

解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点 A 时,取到最大值.联立

?y ? 2 ?x ? 3 ,解得 ? , 所以 z ? 3x ? y 的最大值为 11. ? ? y ? x ?1 ?y ? 2
10. 【答案】B

【解析】 x ? y ? 3 ? 0 与 y ? 2 x 的交点为 (1, 2) ,所以只有 m ? 1 才能符合条件,B 正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑 推理能力和求解计算能力. [来源:]
11. 【答案】C

【解析】由基本不等式得 x2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R) ,答案 C 正确. 【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查 综合运用 能力,掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键. 12.答案 D 【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方 法. 【解析】 ln ? ? ln e ? 1 , log 5 2 ? log 5 5 ?
1 ? 1 1 1 1 ,z ?e 2 ? ? ? ,故选答案 D. 2 e 4 2

二、填空题 13. 【解析】 z ? x ? 2 y 的取值范围为 [?3,3]

约束条件对应四边形 OABC 际及内的区 边 域: O(0,0), A(0,1), B(1, 2), C (3,0) 则 z ? x ? 2 y ?[?3,3]
14. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: ? (a-1) x-1 ? 0 (A) ? 2 , 无解; ? x -ax-1 ? 0

(B) ?

? (a-1) x-1 ? 0 , 无解. 2 ? x -ax-1 ? 0

因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在 x>0 的整个区间 上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答 图) 2 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1 ,y2=x -ax-1 都过定点 P(0,—1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M(
2

1 ,0),还可分析得:a>1; a ?1 1 ,0), 代 入 得 : a ?1
a ? 1 ? ?1 ? 0 , 解 之 ? ? ? a ?1? a ?1 ?
2

考 查 函 数 y2=x -ax-1: 显 然 过 点 M( 得: a ? 0 or 【答案】 a ?
15. ( ??, 2]

3 3 ,舍去 a ? 0 ,得答案: a ? . 2 2 3 2

?1 ? ,x ?0 16.解析: y ? f ?( x) ? ? x , f ?(1) ? 1 ,曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 (1, 0) 处的切线方 ??2, x ? 0 ?
程为 y = x - 1,围成的封闭区域为三角形, z ? x ? 2 y 在点 (0, - 1) 处取得最大值 2.
17.解析:第五个不等式为 1 ? ... 18. 【答案】 ? e, ? . 7

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? 22 32 42 52 62 6

【考点】可行域.

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b c 【解析】条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥a ?c lnc 可化为: ? ? ? 4 . ?c c a ?b ? ? ec ?c


a b =x,y = ,则题目转化为: c c

?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 y ? 已知 x y 满足 ? ,求 的取值范围. , x x ?y ? e ? x > 0,y > 0 ?
作出( x y )所在平面区域(如图).求出 y =e x 的切 ,

线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? , 则

y0 ex0 ? m m = =e ? ,要使它最小,须 m =0 . x0 x0 x0



y 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e .此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e x 上 A, B 之间. x

? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y 当( x y )对应点 C 时, ? ?? ? y =7 x ? =7 , , x ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x

y 的最大值在 C 处,为 7. x b y ∴ 的取值范围为 ? e, ? ,即 的取值范围是 ? e, ? . 7 7 a x

19. 【答案】9.

【考点】函数的值域,不等式的解集.
2 ? 【解析】由值域为 [0 , ?) ,当 x 2 ? ax ? b =0 时有 V? a ? 4b ? 0 ,即 b ?

a2 , 4

∴ f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? x 2 ? ax ?

a2 ? a? ??x? ? . 4 ? 2?

2

a? a a a ? ∴ f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c , ? c ? ? x ? c ? . 2? 2 2 2 ?
m ∵不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,∴ ( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 .
20. 答案: ?1

2

a 2

a 2

【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要 正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值. 【解析】做出不等式所表示的区域如图,由 z ? 3x ? y 得 y ? 3x ? z ,平移 直线 y ? 3x ,由图象可知当直线经过点 C (0,1) 时,直线 y ? 3x ? z 的截距 最 大,此时 z 最小,最小值为 z ? 3x ? y ? -1 .
21. 【解析】 x ? y 的取值范围为 _____ [?3, 0]

约束条件对应 ?ABC 边际及内的区域: A(0,3), B(0, ), C (1,1) 则 t ? x ? y ?[?3,0]

3 2


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