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2018高中数学人教a版必修1学案:3.2.1函数模型及其应用课堂导学案(含答案)


3.2.1 函数模型及其应用 课堂导学 三点剖析 一、常见函数模型 【例 1】 (一次函数模型)某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,茶杯每个 定价 5 元,该店推出两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠送一个茶杯; (2)按总价的 92%付款. 某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干(不少于 4 个),若需茶杯 x 个,付款数为 y(元),试分 别建立两种优惠办法中 y 与 x 的函数关系,并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算. 思路分析:本题考查的是建立一次函数模型,并应用一次函数模型解决实际问题的 能力.第一种优惠方法中,实际付款是 4 个茶壶的钱和(x-4)个茶杯的钱.第二种优 惠方法只需将货款总数乘以 92%,而后再作差比较二者的大小即可. 解:由优惠办法(1)可得函数关系式:y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4), 由优惠办法(2)可得函数关系式: y2=(5x+4×20)×92%=4.6x+73.6. 比较:y1-y2=0.4x-13.6(x≥4). ①当 0.4x-13.6>0,即 x>34 时,y1>y2, 即当购买茶杯个数大于 34 时,优惠办法(2)合算. ②当 0.4x-13.6=0,即 x=34 时,两种优惠办法一样合算. ③当 0.4x-13.6<0,即 4≤x<34 时,y1<y2.优惠办法(1)合算. 温馨提示 1.建立函数模型后,如果结论不能确定,应注意对其进行分类讨论. 2.用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模.函数模型是应用 最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函 数的性质把握问题并解决问题.读题是解决实际问题的重要环节.一般的实际问题 的叙述都比较长,需要逐字逐句地把问题看懂,这是建立数学模型的前提. 二、利用函数模型分析问题 【例 2】 (指数函数模型)按复利计算利息的一种储蓄,设本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,写出本金和利息总和 y(元)与 x 的函数表达式.如果存入本金 10 000 元, 每期 1.98%,试计算 5 期后,本息总和是多少? 思路分析:本题考查的是与我们生活中息息相关的储蓄问题,其数学模型是指数函 数.由题意知,每期到期后,其本利总和是前一期的(1+r)倍,所以可从第一期开始以 此类推. 解:∵本金为 a 元, ∴1 期后本息和为 a+ar=a(1+r); 2 期后本息和为 a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2; 3 期后本息和为 a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3; …… x 期后本息和为 y=a(1+r)x. 将 a=10 000,x=5,r=1.98%代入上式得, y=10 000(1+1.98%)5=11 029.99(元). 温馨提示 在实际问题中,常遇到有关平均增长率的问题,若基数为 a,平均增长率为 p,则总量 y 与时间 x 的关系式为 y=a(1+p)x,此为指数型函数. 各个击破 类题演练 1 (二次函数模型)某旅店有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天客满.旅店欲提高 档次,并提高租金,如果每间客房每日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间.若不考 虑其他因素,旅店将租金定为多少时,每天客房的总收入最高? 解析: 设定租金 x 元, 总收入最高, 则总收入 y=x(300600] , 当 x=40 时,y 最大且最大值为 5×1 600=8 000(元). 答案:40 元 变式提升 1 某工厂生产某种产品, 固定成本为 20 000 元, 每生产一件产品

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