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高中点拨数学必修1(R-B版)第三章过关测试卷


第三章过关测试卷 (100 分,60 分钟) 一、选择题(每题 5 分,共 30 分) 1.〈2013,湖南师大附中期中〉函数 f ?x ? ? ( )
1 ? 3 ? ? B. ? ? ? ,1? 1 ? 3 ?

3x 2 1? x

? lg(3x+1)的定义域是

? A. ? ? ? ,?? ?

/>
1 1? C. ? ?? , ? ? 3 3?

1? D. ? ? ? ?,? ? ? 3?

4 2. 〈2013,太湖中学期中〉化简 a ? 4 ?1 ? a ? 的结果是(

)

A.1 C.1 或 2a-1

B .2a-1 D.0 )

3. 〈2013,浙江理〉已知 x,y 为正实数,则(
lgx ? lgy ? 2 lgx ? 2 lgy A. 2

lg? x ? y ? ? 2 lg x ? 2 lg y B. 2

C. 2 lg x?lg y ? 2 lg x ? 2 lg y

D. 2

lg? xy ?

? 2 lg x ? 2 lg y
0.2

1? 4. 〈2014,潍坊一中期末〉设 a ? log 1 3 ,b= ? ? ? ,
2

? 3?

c ? 2 ,则(

1 3



A.a<b<c C.c<a<b

B.c<b<a D.b<a<c

5. 〈 2014, 大 连 育 明 中 学 期 末 〉 给 出 四 个 函 数 , 分 别 满 足 : ①f(x+y)=f(x)+f(y) ; ② g(x+y)=g(x)g(y) ; ③ h(x· y)=h(x)+h(y) ; ④ t ( x· y)=t(x)· t(y),又给出四个函数图象(如图 1),它们的正确匹配方案是 ( )

a

b

c 图1 A.①-a,②-b,③-c,④-d B.①-b,②-c,③-a,④-d C.①-c,②-a,③-b,④-d D.①-d,②-a,③-b,④-c

d

6. 〈2013,天津文〉已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间
? [0,+∞)上单调递增. 若实数 a 满足 f ?log 2 a ? ? f ? ? log 1 a ? ≤2f(1), 则 a 的 ?
2

?

? ?

取值范围是( A. [1,2]
? C. ? ? 2 ,2? ? ? 1


? 1? B. ? ? 0, ? ? 2?

D.(0,2]

二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
log 2 7. 〈2013,威海一中期中〉 计算:log2 8 ? lg20 ? lg5 ? 6 6 ? ?? 7.6? 0

=_____________. 8.函数 y ? 2
?x

? 1 (x>0)的反函数是___________.

? 1? ? 1? 9. 〈2013,丹东二中期中〉 已知 n∈{-2,-1,0,1,2,3},若 ? ? ? ? ? ? ? , ? 2 ? ? 3?
则 n=______________. 10.方程 log2 ?x ? 2? ? ? x 的实数解有___________个. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分)
x 11. (本题满分 12 分)已知 a>0 且 a≠1, f ?x? ? loga x ? a ,对任意

n

n

x∈[1,2] ,均有 f ?x? ? a 2 ,试探究有无满足条件的实数 a,若有,把 它求出来;若没有,说明理由.

12. (本题满分 12 分)化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量 不能超过 0.1%, 若初时含杂质 2%, 每过滤一次可使杂质含量减少 , 问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知 lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)
1 3

13. ( 本 题 满 分 13 分 ) 〈 2013, 德 州 一 中 高 一 月 考 〉 求 函 数
1 f ?x ? ? ?l o g ≤x≤4 时的最值,并给出取最值时对应的 2 4 x ? ? ?l o g 2 2x? 在 4

x 的值.

14.(本小题满分 13 分)〈2013,辽宁省实验中学高三模拟〉 对定义在 [0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为不等函数. ①对任意的 x∈[0,1] ,总有 f(x) ≥0; ②当 x1 ≥0, x 2 ≥0, x1 + x 2 ≤1 时,总有 f( x1 + x 2 )≥f( x1 )+f( x 2 )成立. 已知函数 g(x)= x 3 与 h(x)= 2 x ? a 是定义在[0,1]上的函数. (1) 试问函数 g(x)是否为不等函数?并说明理由;

(2)若函数 h(x)是不等函数,求由实数 a 组成的集合.

参考答案及点拨 一、1. B 点拨:要使函数有意义,必须满足 ? 即- 1 <x<1.
3

?1 ? x ? 0, ?3x ? 1 ? 0,

2. C 3. D

点拨:a+ 4 ?1? a?4 =a+|1-a|= ?

?1(a ? 1), ?2a ? 1(a ? 1).
lg? xy ?

点拨: 由指数和对数的运算法则可知, 2

?2

lg x ?lg y

? 2 ? 2lg y ,

lg x

∴D 正确. 4. A
0.2

点拨: ∵由指数、 对数函数的性质可知: a= log 1 3 < log 11 =0,0<b=
2 2

?1? 1 ? ? <1, c= 2 3 >1,∴a<b<c. ?3?
5. D 点拨:一次函数 y=kx 适合①;指数函数 y=10x 适合②;对数 函数 y=lgx 适合③;幂函数 y=x2 适合④,与图象进行对照,可知选 D. 6. C 点拨:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 log 1a =- log 2a ,
2
2

∴f( log 2a )+f( log 1a )=f( log 2a )+f(- log 2a )=2f( log 2a )≤2f(1),即 f( log 2a )≤ f(1), ∵函数 f(x)在区间 [0,+∞)上单调递增, ∴f(| log 2a |)≤f(1), 即| log 2a
? |≤1,∴-1≤ log 2a ≤1,解得 ≤a≤2,即 a 的取值范围是 ? 2? ,选 ? ,
1 2

1 ?2 ?

C. 二、7.
13 2

点拨:原式= log 2 2 2 ? lg(20 ? 5) +2+1= +2+3=

3

3 2

13 . 2

8. y= log 2 y= log 2

1 ,x∈(1,2) x ?1

点拨:∵x>0,∴1< 2 ? x +1<2,∴反函数为

1 ,x∈(1,2). x ?1

9. -1 或 2

? ? ? 点拨:∵- <- ,且 ? ? ? >?? ? , ? 3 2 ? 2? ? 3?
1 1

1

n

1

n

∴y= x n 在(-∞,0)上是减函数, 又 n∈{-2,-1,0,1,2,3},∴n=-1 或 n=2. 10. 1 点拨:在同一坐标系中分别画出 y1 =

log 2( x ? 2) 与 y 2 = ? x 的图象,

答图 1 如答图 1 所示.观察图象知,二者有且仅有一个交点,所以 方程 log 2( x ? 2) AB = ? x 有且仅有一个实数解. 三、11. 解:不存在满足条件的实数 a. 理由如下:当 a>1 时,函数 f(x)= logax ? a x 在(0,+∞)上是增函数,∴
log a 2 ? a 2 < a ,
2

??? ?

即 log a2 <0,此种情况不存在; 当 0<a<1 时, 函数 f(x)= logax ? a x 在(0,+∞)上是减函数, ∴ log a1 ? a <a2, 即 a(a-1)>0,∴a>1 或 a<0,此种情况不存在,故不存在满足条件的 实数 a.

?2? 1 ?2? 2 12. 解:设需过滤 n 次,则 0.02 ?? ? ≤0.001,即 ? ? ≤ ,∴nlg 3 ? 3 ? 20 ?3?
n

n

1 1 1 ? lg 2 ≤lg ,即 n≥ 20 = ≈7.4, 2 lg 3 ? lg 2 20 lg 3 lg

又∵n∈N,∴n≥8, ∴至少应过滤 8 次才能使产品达到市场要求. 13. 解: (x)=( log 24 x )· ( log 22 x )=( log 2 x+2)( log 2 x+1)=

?

log 2x

? ? 3log x
2 2

+2. 令 log 2 x=t,则 f(x)=g(t)=
1 4

t

2

? 3? 1 +3t+2= ? t ? ? ? . ? 2? 4
3 2

2

∵ ≤x≤4,∴-2≤t≤2. ∴当 t=- 时,g(t)取得最小值,最小值为
1 ? 3? g? ? ? ? ? ; 4 ? 2?

当 t=2 时,g(t)取得最大值,最大值为 g(2)=12. 由 log 2x ? ? 得,x=
1 4 3 2

2 2 ;由 log 2x ? 2 得,x=4.因此当 x= 时,f(x)有最小 4 4

值- ;当 x=4 时,f(x)有最大值 12. 14. 解: (1)函数 g(x)是不等函数.理由如下:当 x∈[0,1]时,总有 g(x)=
3 x ≥0,满足①,

当 x1 ≥0,

x ≥0, x1 + x2 ≤1 时,
2

2 g( x1 + x 2 )= ? x1 ? x 2 ? = x1 ? x 2 ? 3x1 ? x 2 ? 3x1?x 2 ≥ x13 ? x23 =g( x1 )+g( x 2 ),
3

3

3

2

满足②. ∴函数 g(x)是不等函数. (2)∵h(x)= 2 x -a(x∈[0,1])为增函数,∴h(x)≥h(0)=1-a≥0, ∴a≤1. 由 h( x1 + x 2 )≥h( x1 )+h( x 2 ),得 2 x ? x ? a ≥ 2 x ? a ? 2 x ? a ,
1 2 1 2

即 a≥1-( 2 x -1)( 2 x -1).∵ x1 ≥0, x 2 ≥0, x1 + x 2 ≤1,
1

2

∴0≤ 2 x1 -1≤1,0≤ 2 x 2 -1≤1,且不同时等于 1. ∴0≤( 2 x1 -1)( 2 x -1)<1,∴0<1-( 2 x1 -1)( 2 x 2 -1)≤1,∴a≥
2

1.综上所述:a∈{1}.


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