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河北省承德市第八中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题(新)


2015-2016 学年度承德八中学校期中考试数学试卷
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 评卷人 得分 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3}, A ? {1,3} ,则集合 CU A ? A. ?0? B. ?1, 2? C. ?0, 2? D.

?0,1, 2?

2.下列说法错误的是
2 2 A.命题“若 x ? 5x ? 6 ? 0, 则 x ? 2 ”的逆命题是“ x ? 2, 则 x ? 5 x ? 6 ? 0 ”

B.已知命题 p 和 q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p 与 q 中必一真一假

? x? y? C.若 x, y ? R, 则“ x ? y ”是“ xy ? ? ? ”的充要条件 ? 2 ?
D.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0
2 3.已知集合 M ? {x | ?1 ? x ? 1} , N ? { y | y ? x , x ? M }, M ? N ? (

2

2



A. [ ?1,1]

B. [0,??)

C. (0,1)

D. [0,1]

2 4.设 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x? ? 2 x ? x ,则 f ?1? 等于

A.-3

B.-1

C.1

D.3

5. 函数 f ( x) ? 1 ? x ? lg( x ? 2) 的定义域为 A.(-2,1) B.[-2,1] C. ?? 2,??? D. ?? 2,1? ) D. e

6.设 f ( x) ? x ln x ,若 f ' ( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ( A. e
2

B. ln 2

C.

ln 2 2

7.在 R 上可导的函数 f ( x ) 的图象如图示, f ?( x ) 为函数 f ( x ) 的导数,则关于 x 的不等式

x ? f ?( x) ? 0 的解集为(



1

A. ( ??,?1) ? (0,1) C. ( ?2,?1) ? (1,2)
2

B. ( ?1,0) ? (1,?? ) D. ( ?? ,?2) ? ( 2,?? ) )

8.若曲线 y ? x ? ax ? b 在点(0,b)处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A. a ? 1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ?1 9.已知函数 f ( x) ? ? A. 5 B. 4
3 x

B. a ? ?1, b ? 1 D. a ? ?1, b ? ?1

x ? 1, x ? 4 ,则 f (3) ? ( ) ? f ( f ( x ? 2)), x ? 4 ?
C. 3 D. 2 )

10.函数 f ( x) ? x ? e ? ax 在区间 ?0,??? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是( A. ?0,1? B. ?0,1? C. ?1,??? D. ?? ?,1? ) C.

11.若 cos ? ? ? A.?

4 3

3 3? ) ,则 tan ? ? ( ,且 ? ? (? , 5 2 4 B. 3

3 4

D.?

3 4

2 12.设集合 M ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 ,集合 N ? ? x | ( ) x ? 4 ? ,则 M ? N ? (

?

?

? ?

1 2

? ?



A. ?x | x ? ?2?

B. ?x | x ? ?1 ?

C. ?x | x ? ?2?

D. R

2

第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 设 g ?x ? ? 2 x ? 3, g ?x ? 2? ? f ?x ? ,则 f ?x ? =________.
' 14.若函数 f ( x) ? 3 sin x ? 4 cos x ,则 f ( ) __________.

?

2

15.函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 1 ( x ?? ?1, 1? )的最大值等于 16.不等式 log3 (2 x ? 1) ? 1 的解集为 .

.

评卷人

得分 三、解答题(共 70 分)

17.设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 2 x ? 4 ? x ? 2} , C ? {x | x ? a ? 1} . (Ⅰ)求 A ? B ; (Ⅱ)若 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围. 18.已知函数 f ( x) ? x2 ? x ln x . (Ⅰ)求 f ?( x ) ; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 图象上的点 P(1,1) 处的切线方程. 19.已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 1} ,

1 ,求 A ? B ; 2 (2)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.
(1)若 a ? 20.已知 f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? )sin(?? ? sin( ? ? )sin(?? ? ? ) 2

?

3? ) 2 .

(1)化简 f (? ) ; (2)若 ? 是第三象限角,且 cos(? ?

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5

21.已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3) (0 ? a ? 1) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的零点;
3

(Ⅱ)若函数 f ( x ) 的最小值为 ? 4 ,求 a 的值. 22.已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 2x ? c 在 x ? ?2 时有极大值 6,在 x ? 1 时有极小值. (1)求 a , b, c 的值; (2)求 f ( x) 在区间[-3,3]上的最大值和最小值. 附加题(20 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 1,(a ? 0) , g ( x) ? x3 ? bx 。 (1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线,求 a , b 的值; (2)当 a ? 3, b ? ?9 时,若函数 f ( x) ? g(x) 在区间 [k, 2] 上的最大值为 28 ,求 k 的取值范 围。

4

2015-2016 学年度承德八中学校期中考试数学试卷 数学答题卡 Ⅱ卷答题卡 二、填空题(每小题 5 分共 20 分) 13 14

15

16

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分,解答应写出文字说明,演算步骤) 17(10 分)

18(10 分)

19(10 分)

20(10 分)

5

21(10 分)

22(10 分)

附加题(20 分)

6

参考答案 1.C 【解析】 2} , B ? {1,, 2 3} .则根据子集的定义可得: A ? B . 试题分析:由题 A ? {1, 考点:集合间的关系. 2.B 【解析】 试题分析:由逻辑连接词“或”的意义,可知命题 p 和 q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p 与 q 必为假,故选 B. 3.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 , N ?{ y | y ?2

x, ?x

} M ? {

所1 以 y | ?0 ,?y }

M? N ?{
4.A 【解析】

x | 0 ?

x ?,故选 1 } D.

试题分析:由题当 x ? 0 时, f ?x? ? 2 x 2 ? x ,则 f ? ?1? ? 2 ? (?1) ? 3 。又因为 f ?x ? 为 奇函数, 所以 f ? ?1? ? ? f (1), f (1) ? ?3 。 考点:奇函数的性质. 5.D 【解析】 试题分析:由函数解析式得定义域为: ? 考点:常见函数的定义域. 6. 【解析】D 试题分析: f ' ( x) ? ln x ? 1,?ln x0 ? 1 ? 2,? x0 ? e ,故选 D. 考点:导数的运算. 7.A 【解析】
' ' 试题分析:当 x ? 0 时有 f ( x) ? 0 ? x ? (??,?1) 当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ? x ? (0,1) ,故选

?1 ? x ? 0 ,解得: ?? 2,1? . ?x ? 2 ? 0

A. 考点:导数与函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查了导数与函数的单调性之间的关系。通过分类 讨论的思想,将 问题转化成判断导函数大于零可小于零的问题.用导数的知识解决单调性的问题是高中常见 的题型,由此只看原函数的单调性即可.本题也是从数形结合的思想的角度向我们阐述了导 数与原函数的关系.本题是导数中的常考题型,难度中等.

7

8.A 【解析】 试题分析:? (0, b) 在直 线 x ? y ? 1 ? 0 上,? b ? 1 ,由题意知 f ' (0) ? 1,? a ? 1 ,故选 A. 考点:导数的几何意义. 9.C 【解析】 试题分析:由 f ( x) ? ? 注: f (5) ? 5 ? 1 ? 4 考点:函数解析式的应用. 10.D 【解析】
2 x 2 x 试 题 分 析 : 导 函 数 f ' ( x )? 3x , 令 f '( x) ? 0 , 则 a ? 3x ? e 恒 成 立 , 其 中 ? e ? a

x ? 1, x ? 4 , x ? 3 ? 4, f ( f (5)) ? f (4) ? 3 . ? f ( f ( x ? 2)), x ? 4 ?

x ??0, ??? , a ? (3x2 ? e x )min ,而函数 g ( x) ? 3x2 ? ex 在 x ??0, ??? 上为增函数 ,所以
g ( x)min ? g (0) ? 1,所以 a ? 1 ,故选 D.
考点:利用单调性求参数取值范围. 11.B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 ? ? (? ,

3? 3 ) , 所 以 ? 在 第 三 象 限 , 又 cos ? ? ? , 所 以 有 2 5 sin ? 4 4 ? ,故本题正确选项为 B. sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ,则 tan ? ? cos ? 3 5

考点:三角函数的基本性质. 12.D 【解析】 试 题 分 析 : 由 题

M ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? ? ? x | x ? ?2或x ? ?1?



?2 1 x 1 x ?1? ? ? ? ? ? ? N ? ? x | ( ) ? 4 ? ? ? x | ( ) ? ? ? ? ? N ? ? x | x ? ?2? ,? M ? N ? R ,选 D 2 2 ? ? ? ?2? ? ? ?

考点:集合的运算 13. 2x+7 ; 【解析】 试题分析:由题 f ? x ? ? g ? x ? 2? , g ? x ? ? 2x ? 3, 得: f ? x ? ? 2( x ? 2) ? 3 ? 2x ? 7 考点:函数的概念及符合表示. 14.4 【解析】

8

试题分析: f ( x) ? 3sin x ? 4cos x ? f ' ? x ? ? 3cos x ? 4sin x ? f ' ?

?? ? ??4 ?2?

考点:函数导数计算 15.4 【解析】 试题分析:因为对称轴为 x ? 2 ? [?1,1] ,所以函数在[-1,1]上单调递增,因此当 x ? 1 时,函 数取最大值 4. 考点:二次函数最值

1 ( ,2]. 16. 2
【解析】

log3 (2 x ? 1) ? 1 ,所以 试题分析:因为

log 3 (2 x ? 1) ? log 3 3,0 ? 2 x ? 1 ? 3,

1 ? x ? 2. 2 解

1 ( ,2]. 集为 2 解对数不等式注意去对数时,真数大于零这一隐含条件.
考点:解 对数不等式 17. (1) ?x | 2 ? x ? 3? 【解析】 试题分析: (1) 由题已知集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , 由交集的定义易得 A ? B B ? {x | x ? 2} , (2)由已知 B ? C ? C ,可得: B ? C ,结合数轴可求出 a ? 3 . 试题解析: (Ⅰ)由题意知, B ? {x | x ? 2} 所以: A ? B ? ?x | 2 ? x ? 3? 源.. (2) a ? 3

(Ⅱ)因为 B ? C ? C ,所以: B ? C 所以: a ? 1 ? 2 ,即 a ? 3 . 考点:1.交集的定义; 2.并集与集合的关系及数形结合思想. 18. (Ⅰ) 2x ? ln x ?1; (Ⅱ) 3x ? y ? 2 ? 0 . 【解析】 试题分析: (1)由导数的运算可求得 f ?( x ) 的值; (2)由导数的几何意义可得切线在切点处 的斜率,由点斜式可求得直线方程. 试题解析: (Ⅰ) f ?( x ) ? ( x 2 ) ? ? ( x ln x ) ? ? 2 x ? 1 ? ln x ? x ? (Ⅱ)由题意可知切点的横坐标为 1, 所以切线的斜率是 k ? f ?(1) ? 2 ? 1 ? ln 1 ? 1 ? 3 , 所以切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 2 ? 0 . 考点:1、求导公式;2、导数的几何意义. 【易错点晴】求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,

1 ? 2 x ? ln x ? 1 ; x

9

要先设出切点. (2)切点既在原函数的图象上也在切线上, 可将切点代入两者的函数解析式建立方程组. (3) 在切点处的导数值 就是切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.本题放在解答题的位 置,难度不大,是得分的主要题型. 19. (1) ?0,1? ; (2) a ? 2 或 a ? ? 【解析】

1 . 2

1 时,分别出集合 A 或 B,根据结合的运算,得出 A ? B ;(2)通过数 2 轴,得到只要 a ? 1 ? 1 或 2a ? 1 ? 0 ,就能够满足 A ? B ? ? . 1 a? 试 题 解 析 : 解 : ( 1 ) 当 时 , 2 1 1 A ? {x ? ? x ? 2}, B ? {x 0 ? x ? 1} , ? A ? B ? {x ? ? x ? 2} ? {x 0 ? x ? 1} 2 2
试题分析:(1)当 a ?

? {x 0 ? x ? 1}.
(2) 若 A ? B ? ? ,则 a ? 1 ? 1 或 2a ? 1 ? 0 ,解得: a ? ? 考点:集合的运算 20. (1) ? cos? ; (2)

1 或a ? 2. 2

2 6 . 5

【解析】 试题分析: ( 1 )利用三角函数的诱导公式对函数进行化简即可; ( 2 )由于函数化简后为

f (? ) ? ? cos? ,所以只要求得 ? cos? 便可,由 cos(? ?
第三象限角,可求得 cos? ,从而求得 f (? ) 的值.

3? 1 ) ? 可求得 sin ? ,又 ? 是 2 5

试 题 解 析 :( 1 ) 根 据 已 知 的 关 系 式 , 结 合 诱 导 公 式 可 知

sin ? ? cos ? ? (? cos ? ) ? ? cos ? ; cos ? ? sin ? 3? 1 )? , (2)因为 ? 是第三象限角,且 cos(? ? 2 5 f (? ) ?
那么可知 sin ? ? ? , cos ? ? ? 考点:三角函数诱导公式的运用. 21. (1) ?1 ?

1 5

2 6 2 6 ,所以 f (? ) ? ? cos ? ? 5 5

3

(2) a ?

2 2

【解析】 试题分析: (1)已知函数解析式,先求出定义域。化运 用对数的运算性质为二次方程,解 出的函数 f ( x ) 的零点

10

(2)运用对数运算性质结合定义域,可求出真数的取值范围。又因为 0 < a < 1 ,运用对数 的单调性,可建立关于 a 的方程,求出。 试题解析: (Ⅰ)要使函数有意义:则有 ?

?1 ? x > 0 ,解之得: ?3 < x < 1 ?x ? 3 > 0

函数可化为

f ( x) ? loga (1 ? x)( x ? 3) ? loga (?x2 ? 2x ? 3)
2

由 f ( x) ? 0 ,得 ? x

? 2x ? 3 ? 1 ,

即x

2

? 2 x ? 2 ? 0 , x ? ?1 ? 3

∵-1 ? 3 ? (?3,1)

∴ f ( x) 的零点是 ?1 ? 3

2 2 (Ⅱ) 函数化为: f ( x) ? log a (1 ? x)( x ? 3) ? log a ( ? x ? 2 x ? 3) ? log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ?

∵ ?3 ? x ? 1
2 ∵ 0 < a < 1 ∴ log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? ? log a 4

?0 ? -(x ? 1)2 ? 4 ? 4

即 f ( x)min ? log a 4

由 loga 4 ? ?4 ,得 a

?4

? 4 ,∴ a ? 4? 4 ?

1

2 2

考点:1.对数的运算性质及零点的定义; 2.复合函数的单调性及对数方程. 22. (1) a ? 【解析】 试题分析: (1)由 f ? ?2? ? 6, f ' ??2 ? ? 0, f ' 1 (2)求出函数 f ? x ? ? ??0 求出 a, b, c 的值; 在 ? ?3,3? 上的单调性,比较 f ? x ? 的极值与端点处的值得大小,求出最大值和最小值. 试题解析:解(1) f ' ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 2 ,由条件有
2

1 1 8 61 3 ,b ? ,c ? ; (2)最大值为 ,最小值为 . 3 2 3 6 2

? f ' ? ?2 ? ? 12a ? 4b ? 2 ? 0 ? 1 1 8 ? ? f ' ?1? ? 3a ? 2b ? 2 ? 0 解得 a ? , b ? , c ? 3 2 3 ? f ? ?2 ? ? ?8a ? 4b ? 4 ? c ? 6 ? ?
(2) f ? x ? ?

1 3 1 2 8 x ? x ? 2 x ? , f ' ? x ? ? x2 ? x ? 2 3 2 3

11

由上表知,在区间 ? ?3,3? 上,当 x ? 3 时, f ? x ? max ? 考点:用导数研究函数的极值、最值. 附加题

61 3 ,当 x ? 1 时, f ? x ? min ? 6 2

12


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